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1、第八章 立体几何测试题班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1【2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第二次模拟】已知是两条不同直线，是平面，则下列命题是真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B2【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】已知表示两条不同的直线， 表示平面，下列说法正确的是A. 若， ，则 B. 若， ，则C. 若， ，则 D. 若， ，则【答案】D【解析】对于A， ， ，则可能相交，可能异面，也可能平行，命题错误；对于B， ， ，则， 或与斜交，命题错
2、误；对于C， ， ，则，或，命题错误；对于D，若， ，则，显然正确故选：D.3【2018届河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考】已知球与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A4【2018届北京西城161高三上期中】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是， ， ， ，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为.选D.5【2017届广东省广州高三下学期第一次
3、模拟】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C6【2018届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考】多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，由三棱锥的三视图得：该三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形，设该三棱锥的外接球的半径为球心为则 故则该三棱锥的外接球的表面积为 选D.7【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥中，若三条侧棱两两垂直，且，则正三棱锥的高为（ ）A. B. 2 C
4、. D. 3【答案】C【解析】8【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知直三棱柱的6个顶点都在表面积为的球的球面上，若， ，则该三棱柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D9【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次模拟】已知正四棱锥中， 分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知则，则故本题答案选10【2017年福建省数学基地校】已知是球的直径上一点, ,平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的体积为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】如图，1
5、1【2018届四川省乐山外国语学校高三上练习三】三棱锥中， 互相垂直， ， 是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D. 【答案】B三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为选B.12【2018届浙江省源清中学高三9月月考】如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的最小值为（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】D【解析】.显然且.所以.因为，所以.所以当， 取得最小值12.所以的最小值为.故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题
6、中的横线上。）13【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知棱长为4的正方体，球与该正方体的各个面相切，则以平面截此球所得的截面为底面，以为顶点的圆锥体积为_【答案】【解析】平面与平面平行且把正方体的体对角线三等分，因此球心到平面的距离为，由于球的半径为2，所以截面圆的半径，圆锥体积为.14【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校高三上第一次联考】已知三棱锥， 为边三角形， 为直角三角形， ，平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】15【2017届广东省揭阳市届高三上学期期末】鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即
7、榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为R, ，所以该球形容器的表面积的最小值为.16.【2018届福建省数学基地校】为正方体对角线上的一点，且 ()下面结论：；若平面，则；若PAC为钝角三角形，则；若，则为锐角三角形其中正确的结论为_(写出所有正确结论的序号)【答
8、案】以点为坐标原点， 所在射线分别为轴， 轴， 轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则又，所以若为钝角三角形，只能是是钝角，所以解得，所以错误；由可知若，则为锐角三角形，正确，所以正确的结论序号为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本小题10分）【2017届云南省红河州高三统一检测】如图1,在直角梯形ABCD中, , 点E为AC中点将三角形ADC沿AC折起, 使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示（I）在CD上找一点,使AD/平面；(II)求点到平面的距离【答案】（1）的中点（2） 在中, 分别为的中点为的
9、中位线 平面, 平面平面 （II）平面 平面且，面交面，平面 而， 平面， 即 ，三棱锥的高, 即.18（本小题10分）【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】如图，四棱锥中，底面是直角梯形， ， 是正三角形， 是的中点（1）求证： ；（2）判定是否平行于平面，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）取AD中点M,连接CM、PM,推导出，从而平面，由此能证明（2）取PA的中点F，连接BF、FE，推导出四边形BCEF为平行四边形，从而CEBF，由此能证明CE平面PAB试题解析：（1）又，故平面，又平面，故.（2）平行于平面，理由如下：取的中点为，连接
10、可知，又，所以四边形为平行四边形，故.又平面平面，所以平面.19（本小题12分）如图，平面，为中点（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到平面的距离【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）、分别为、中点，且，又且且，四边形为平行四边形，则，平面，平面又平面，平面平面，为中点，且，平面，平面取的中点和的中点，分别以、所在直线为、轴建立如图空间直角坐标系，则， 设面的法向量，则，取，取面的法向量，由，故二面角的大小为由，面的法向量，则点到平面的距离， 20（本小题12分）【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】如图所示，四棱锥中， 平面， ， ， ， 为线段上一点， ， 为线段上
11、一点， .（1）证明： 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)详见解析;(2) .试题解析：（）证明：由已知得，如图，取上靠近的四等分点，连接，由知， 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是因为平面， 平面，所以平面（）解：如图，取的中点，连接由得，从而，且以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由题意知， ， ， ， ， ， ， 设为平面的一个法向量，则即可取于是，所以直线与平面所成角的正弦值为 21（本小题13分）【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】如图，在四棱锥中，底面是菱形， 平面， 是棱上的一个动点（）若为的中点，求证： 平面；（）求证：平
12、面平面；（）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值【答案】（）见解析；（）见解析；（） .试题解析：（）证明：如图，设交于,连接因为底面是菱形，所以是的中点又因为为的中点，所以因为平面, 平面，所以平面 （）证明：因为底面是菱形，所以又因为平面， 平面，所以因为，所以平面因为平面，所以平面平面（）设四棱锥的体积为因为平面，所以又因为底面是菱形，所以，所以根据题意， ，所以又因为，所以22（本小题13分）【2018届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中, , 分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.() 求证: ； () 在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.() 求点到的距离.【答案】（1）见解析；（2）（）由PF平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离试题解析：()连结,由翻折不变性可知, , , 在中, ,所以 在图中,易得,在中, ,所以又, 平面, 平面,所以平面.() 当为的三等分点(靠近)时, 平面. 证明如下: 因为, ,所以 又平面, 平面,所以平面. （注：学生不写平面,扣1分） () 由()知平面,所以为三棱锥的高. 设点到平面的距离为,由等体积法得,即,又, 所以,即点到平面的距离为.
浙江版2018年高考数学一轮复习第08章立体几何测试题
