大学物理量子力学初步03波函数、不确定度关系.ppt

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1、1,一. 德布罗意假设,L.V. de Broglie （法，1892-1986）,一个总能量为E（包括静能在内）,动量为 P 的实物粒子同时具有波动性, 且:,1.5 粒子的波动性,2,有限空间能稳定存在的波 必是驻波。,他用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的 轨道量子化条件：, 德布罗意波长。,与粒子相联系的波称为物质波，或德布罗意波。,3,经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注， 物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。,论文答辩会上有人问: “这种波怎样用实验来证实呢？！”,德布洛意答： “用电子在晶体上的衍射实验可以证实。”,爱因斯坦对此论文评价极高，说： “他揭开了自然界舞台上巨大帷幕的

2、一角！”,导师朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，,4,1. 戴维逊革末实验（1927年）,实验装置示意图（测电子波长、电子束强度）,估算电子的波长:,二.实验验证电子衍射实验,5,=C，2C,3C, 此时电表中应出现 最大的电流。,即,(),假如电子具有波动性，应满足布喇格公式,6,电子通过金属多晶薄膜的衍射实验。,2. G.P.汤姆逊（1927年）,1927年 G.P.汤姆逊（J.J.汤姆逊之子） 也独立完成了电子衍射实验。与 C.J.戴维森共获 1937 年诺贝尔物理学奖。,演示qh,7,1929年 德布洛意获诺贝尔物理奖。,1937年 戴维逊 与 G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。,此后，

3、又有人作出了,后来实验又验证了：质子、中子和原子、分子 等实物粒子都具有波动性，并都满足 德布洛意 关系。,电子的单缝、双缝、三缝、四缝实验：,8,一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？,估算：质量m = 0.01kg，速度 v =300m/s的子弹 的德布洛意波长为,波长小到实验难以测量的程度(足球也如此)， 它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。,三. 一切实物粒子都有波动性,9,物质波的波速 u 并不等于相应粒子的 运动速度v，它们之间的关系是,证明：,波的相速度为 ，,根据德布洛意公式，相应粒子有,两式相乘得,光波的波速 等于光子的运动速度， 两者都等于c 。,注意2：,有,德布洛意证明

4、：物质波的群速度为相应粒子的运动速度v。,注意1：,10,每一特定频率的光波速度称为相速度(相位传播的速度）；不同频率的波迭加形成波包，波包的顶部传播速度称为群速度。相速度与群速度在真空中是一致的，但在具有高度吸收或散射光波的介质中，二者又不相同，相速度群速度c2。 对于真实的物理问题，理想的单色平面波是不存在的，我们用波包表示“真实”的波，波包是一系列不同波长的单色平面波的迭加，只有“波形”发生变化，才能携带有效的信息，因此只有波包的群速度可代表信号传播的速度。在量子力学中，群速度也对应为粒子运动的速度，它是小于光速c的。 而相速度则可以超过光速c，但这并不与狭义相对论矛盾，因为光速仍然是最

5、快的实物运动速度和通讯速度。,11,在有些情况下，我们可由粒子的动能求 德布洛意波长。可利用相对论公式,相对论情况,非相对论情况,注意3：,12,解：,例题：试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、,1GeV的电子的德布罗意波长。(电子静能E0=m0c2=0.51MeV),（2）当EK=1keV 时， 有：,以上两个结果均与X射线的波长相当.,13,（3）当EK= 1MeV 时，有：,宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。,（4）当EK= 1GeV 时，,则：,例如：0.5，以v=10m/s运动的棒球，其,14,如何对波粒二象性正确理解？,1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了 一

6、个非常精确的弱电子流衍射实验。,电子几乎是一个一个地通过双缝， 底片上出现一个一个的点子。 （显示出电子具有粒子性）,开始时底片上的点子“无规”分布，随着 电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。,一 .二象性是单个微观粒子的属性,1.6 概率波与概率幅,15,7个电子,100个电子,3000,20000,70000,说明衍射图样不是电子 相互作用的结果,它来源 于单个电子具有的波动性。,单电子双缝衍射实验：,16,衍射图样对一个电子来说，每个电子到达屏上 各点有一定概率，衍射图样是一个电子出现概率的 统计结果。,应该注意，概率本身是一个统计概念。,微观粒子所呈现的统计规律性和以前分子动理论 中大量经

7、典粒子所呈现的统计规律性是不同的。,微观粒子的二象性是单个粒子所具有的本性。,实物粒子的二象性就统一在“概率波”上。,德布洛意波（物质波）也称为概率波。,17,（2）波动性, 指它在空间传播有“可叠加性”， 有“干涉”、“衍射”、等现象。, 但不是经典的波！因为它没有某种实际 物理量（如质点的位移、电场、磁场等） 的波动。,（1）粒子性, 指它与物质相互作用的“颗粒性”或 “整体性”。, 但不是经典的粒子！因为微观粒子 没有确定的轨道，在屏上以概率出现。,应抛弃“轨道”的概念！,怎样理解微观粒子的二象性：,18,少女？,老妇？,微观粒子在某些条件下表现出粒子性， 在另一些条件下表现出波动性，

8、而两种性质虽寓于同一体中， 却不能同时表现出来。,例如：,两种图象寓于 同一幅画中；,但两种图象不会同时出现在你的视觉中。,19,1926年玻恩为了把“颗粒性” 与“可叠加性” 统一起来，提出，,要描述微观粒子的运动，应该用一个函数（称为 波函数），它必须能把“颗粒性”与 “可叠加性” 统一起来！,人们常用复函数 代表微观粒子的波函数。,的物理意义在于： 波函数的模的平方（波的强度）代表时刻 t、在空间 点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。,二 .玻恩对波函数的统计诠释,20,不同于经典波的波函数，它无直接的物理 意义。,有意义的是,在时刻 t、空间 点处， 体积元 dv 中发现微观粒子的概

9、率为：,称为“概率（振）幅”。,称为 概率密度。,1954年 玻恩获诺贝尔物理奖。,21,（2）自然条件 单值、有限、连续。,（1）归一化条件,粒子在空间各点的 概率总和应为l，这与经典波完全不同。,（3）状态叠加原理,统计解释对波函数 提出的要求：,“若体系具有一系列不同的可能状态 1 , 2 ， 则它们的线性组合 = C11+C22+ 也是该体系 的一个可能的状态，其中C1 , C2 为复常数。 模方 分别表示 态的粒子处于 1 , 2 各态的概率”。,三 .概率幅(波函数)应满足的物理条件,22,这是因为状态为 12 =1 + 2 ，分布为,同时开缝1,2-分布不是 I1+ I2 ,而是

10、双缝干涉分布！,(状态为1,分布为 ),(状态为2,分布为 ),例.用状态叠加原理说明“电子双缝干涉实验”:,23,电子有波动性,其状态服从叠加原理。,当双缝齐开时,即使只有一个电子，,两个概率幅的叠加，就会产生干涉项。,它的状态也要用叠加态 来描述，,于是，就说明了“弱电子流的双缝干涉实验”， 在屏上出现 双缝干涉分布的现象。,电子有粒子性,一个电子只能从一个缝通过；,24,波恩认为：电子的形状具有颗粒性，但无固定的轨道，其分布具有波动性。电子衍射实验表明：它与光的衍射是类似的，从波动的角度看，物质波强度与波函数的平方成正比；从粒子的角度看，电子在该处出现的几率与波函数的平方成正比。微观粒子

11、遵从统计规律，微粒是不连续的，但其出现的几率却按波的方式连续传播。因此，在微观世界中，统计规律是最基本的规律，统计描述代替了严格的因果描述，非决定论将取代决定论。,海森堡认为：人们对微观世界的每次观察都意味着对客体行为的重大干涉，这种干扰无法控制更无法忽略，造成所测量的结果与粒子原来的状态不完全相同，因果率不再适用，数学公式描述的不再是事件本身，而是某些事件出现的几率。,25,其中E和b均为确定的常数。,求：归一化的波函数和几率密度的表达式。,即：,解：由归一化条件，有：,例题： 设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：,26,几率密度为：,如图所示，在区间 （b/2,b/2)以外找 不

12、到粒子。在x=0 处找到粒子的几率 最大。,归一化的波函数为：,27,一.不确定关系,波动性使微观粒子没有确定的轨道，坐标和动量不能同时取确定值，存在一个不确定关系。,以电子的单缝衍射实验来说明不确定关系：,电子沿 z 方向通过狭缝后， 假设全部散布在中央亮纹的范围内。,衍射角1、缝宽 a 和入射波波长 间满足 a sin1 = ,1.7 不确定关系,28, x 方向动量的不确定范围:可由电子能到达 屏上的位置来估算 px p sin 1,x px h,对坐标 x 测量得越精确（x 越小）， 动量不确定性 px 就越大(衍射越厉害)。,得, x 坐标不确定范围：x a,狭缝处的电子,单缝衍射：

13、asin 1,x px /2 y py /2 z pz /2,严格的理论给出坐标与动量的不确定关系为：,29,例1 给您一个全新概念:,若电子Ek = 10eV 则,原子线度 r 10 -10 m,由不确定关系有,二 .用不确定关系作粗略估算,所以原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念,而用电子云图象（说明电子在空间的概率分布）,电子的速度与速度的不确定度数量级相当， 波动性十分显著。,原子中电子运动不存在“轨道”。,分析:,30,即 x = 0.0001 m,加速电压U=102V 电子准直直径为0.1mm,什么条件下可以使用轨道的概念？,如电子在示波管中的运动：,例2 给您以启示:,31,宏观现

14、象中,可看成经典粒子 从而可使用轨道概念,分析: 由,电子的横向弥散可以忽略 轨道有意义,32,1)从量子过渡到经典的物理条件,如粒子的活动线度 h,如例2所示的电子在示波管中的运动 故这时将电子看做经典粒子,2) 微观粒子的力学量的不确定性 意味着物理量与其不确定量的数量级相 同 即P与P量级相同 r与r量级相同 如例1所示的原子中运动的电子,讨论,33,判断电子不是原子核的基本成分 (电子不可能稳定在原子核内),由不确定关系,例3 不确定关系在理论上的一个历史作用,分析: 原子核线度,这样的动量对应的电子能量有多大？,34,什么样的核可以把它束缚住呢？ 目前最稳定核的能量(最大的能量)是,

15、这就是说 目前还没有能量是20MeV的核,结论：电子不是原子核的组成部分,35,tE /2,例.能级寿命和能级宽度的不确定关系：,设原子处于某能级状态的寿命为 ，, E /2,则测得的该能级能量，必有不确定度E， E 称为该能级的自然宽度。,满足关系,所以，只有基态能级的自然宽度才为零。,（推导见书P35）,（在 时间内测量能量，它都处于该能级状态）,相对论改变了我们的时空观； 量子论告诉我们，不能做绝对确定性的断言， 只能做具有某种可能性的断言。,三、 时间与能量的不确定关系,36, E=6 10-8电子伏，试估算原子处于第一激发态的寿命t。,解:根据时间与能量的不确定关系，有:,例题:某原

16、子的第一激发态的能级宽度为,37,分析:根据时间与能量的不确定关系有:,思考:为什么原子光谱具有一定的自然宽度？,由于电子在任一激发态中都有一定的停留时间t，电子所处的能级就会有一定的宽度，所以相应的光谱就具有一定的宽度：E=h=hc/,38,不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基本客观规律，它是波粒二象性的深刻反应，也是对波粒二象性的进一步描述。,不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的，而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确度也要受到限制。,不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不再适用。,不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理，起关健作用的是普朗克恒量h的大小。,4. 不确定关系的意义,