工程数学(近世代数).ppt

《工程数学(近世代数).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学(近世代数).ppt（68页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、近世代数,高等工程数学,2,代数结构部分,第4章 知识准备 第5章 群 第6章 环和域,3,第4章 知识准备,二元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 交换律、结合律、消去律 分配律 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元,4,二元运算的定义及其实例,定义 设 S 为集合,映射 f：SSS 称为 S 上的二 元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的加法、乘法. (2) Z 上：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 为 S 上二

2、元运算.,5,二元运算的实例（续）,(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算.,6,二元运算的表示,算符：, , , , 等符号 表示二元运算 对二元运算 ，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy = z； 表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表,7,公式表示 例2 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ： x, yR, x y = x. 那么 3 4 = 3 0.5 (-3) = 0.5 运算表（表

3、示有穷集上的二元运算）,二元运算的表示（续）,8,运算表的形式,9,运算表的实例（续）,例3 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , 模 5 加法的运算表,10,二元运算的性质,定义 设 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x y = y x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z S 有 (x y) z = x (y z), 则称运算在 S 上满足结合律.,(3) 如果对于任意的 x, y, zS， 若 x y = x z，则 y = z 若 y x = z x, 则 y = z 那么称 运算满足 消去律.,11,消去律,实例

4、: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律. Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于 模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律.,12,二元运算的性质（续）,定义 设 和 为 S 上两个不同的二元运算, 如果 x, y, zS 有 (x y) z = (x z) (y z) z (x y) = (z x) (z y) 则称 运算对 运算满足分配律.,13,实例分析,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实矩阵集合, n2；,14,二元运算的特异元素,

5、单位元 定义 设为S上的二元运算, 如果存在eS，使 得对任意 xS 都有 e x = x e = x， 则称 e是 S 中关于 运算的 单位元. 单位元也叫做 幺元.,定理 若 S 中关于运算存在单位元，则 单位元是 唯一的.,15,二元运算的特异元素（续）,零元 设 为 S 上的二元运算, 如果存在S，使 得对任意 xS 都有 x =x = )， 则称是S 中关于 运算的 零元.,定理 若 S 中关于运算存在零元，则 零元是 唯一的.,16,二元运算的特异元素（续）,可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算的单位元. 对于 xS，如 果存在yS 使得 y x = x y= e， 则称

6、y是 x 的 逆元. 如果 x 的逆元存在，则唯一，记为x-1 ,称 x 是 可逆的.,17,实例分析,18,例题分析,解 (1) 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取x, y, zQ, (x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,例4 设 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 运算

7、是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 运算的单位元、零元和所有可逆元.,19,给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此当 x 1/2时， 是 x 的逆元.,例题分析（续）,(2) 设运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于 任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元.,对于任意 x 有 x = 成立，即 x+2 x = x + 2 x = 0 = 1/2,20,代数系统定义与实例,定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f

8、2, , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数，记做 V=.,21,实例, , 是代数系统， + 和 分别表示普通加法和乘法. 是代数系统， + 和 分别表示n 阶 (n2) 实矩阵的加法和乘法. 是代数系统，Zn0, 1, , n-1， 和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,yZn， xy = (xy) mod n，xy = (xy) mod n 也是代数系统， 和为并和交，为绝对补,22,5.1 群的定义与性质 5.2 子群 5.3 循环群 5.4 置换群,第5章 群,23,5.1 群的定义及性质,群的定义 群中的相关概念 有限群、无限群与群的阶 Abel群 群中元素的幂 元素的阶

9、 群的性质 幂运算规则、 群方程的解 消去律 群的运算表的排列,24,群的定义,定义 设G是非空集合， 为G上的二元运算. 如果 (1) 此运算是封闭的； （2）此运算满足结合律； （3）存在单位元 eG，即对任意x G，有 e x= x e = x （4）对 G 中的任何元素 x 都有 x1G，即 x1 x= x x1 = e 则称 G 关于是 群.有时也记作,25,群的实例 ,是群； ,不是群. (2) 是群，而不是群. (3) 是群. Zn= 0,1, , n1，为模 n 加.,26,Klein四元群,设G = e, a, b, c ，G上的运算由下表给出， 称为 Klein四元群,运算

10、表特征： 对称性-运算可交换 主对角线元素都是幺元 -每个元素是自己的逆元 a, b, c 中任两个元素运算 都等于第三个元素.,27,二、群中的相关概念,若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称为无限群. 群 G 的所含元素的个数称为群G的 阶 有限群 G 的阶记作|G|. 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群 或 阿贝尔(Abel)群.,28,实例, 和 是无限群 是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群 G = e, a, b, c是 4 阶群 上述群都是交换群 n 阶 (n2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.,29,实例 在中有 23=(21)3=13=

11、111=0 在 中有 (2)3=23=2+2+2=6,定义 设G是群，xG，nZ，则 x 的 n 次幂 xn 定义为 ,二、群中的相关概念,30,设G是群，xG，使得等式 xk = e 成立的最小正 整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称 x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为 无限阶元.,在中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在.,二、群中的相关概念,31,三、群的性质-幂运算规则,定理1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足： (1) xG，(x1)1

12、 = x. (2) x, yG，(xy)1 = y1x1. (3) xG，xnxm = xn+m，n, mZ. (4) xG，(xn)m = xnm，n, mZ. 注： (xy)n = (xy)(xy)(xy), 是 n 个xy 运算，G为 交换群，才有 (xy)n = xnyn.,32,三、群的性质-群方程存在唯一解,定理2 G为群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且仅有惟一解. a1b 是 ax=b的解. ba1 是 ya = b 的唯一解.,33,三、群的性质-消去律,定理3 G 为群，则G适合消去律，即a,b,cG 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (

13、2) 若 ba = ca，则 b = c.,34,三、群的性质-运算表排列规则,定理4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列 都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列） 的置换都不相同. 注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.,35,5.1 群的定义与性质 5.2 子群 5.3 循环群 5.4 置换群,第5章 群,36,子群,定义 子群的判定定理 重要的几类子群,37,子群的定义,定义 设 G 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 关 于 G 中的运算构成群，则称 H 是 G 的子群, 记作 HG. 若 H 是 G 的子群，且 HG，则称 H 是 G 的真子群，记作 HG.,

14、实例 nZ（n是自然数）是整数加群 的 子群. 当 n1 时, nZ 是 Z 的真子群. 对任何群 G 都存在子群. G 和 e 都是 G 的 子群，称为 G 的平凡子群.,38,子群判定定理,判定定理 1 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群当且仅当 x, yH 有 xy1H. 判定定理 2 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群当且仅当 x, yH 有 xyH且x1 H.,39,重要子群,生成子群 定义 设 G 为群，aG，令 H = ak | kZ ， 则 H 是 G 的子群，称为由 a 生成的子群，记作 . 证 首先由 a 知道. 任取 am,

15、 al ，则 am (al)1 = am al = aml 根据判定定理可知G.,40,实例,整数加群， 由 2 生成的子群是 = 2k | kZ = 2Z 模 6 加群 中 由 2 生成的子群 = 0, 2, 4 Klein四元群 G = e, a, b, c 的所有生成子群是： = e , = e, a , = e, b , = e, c .,41,群G的中心C 设 G 为群, 令 C = a | aG且xG有ax=xa，则 C 是 G 的子群，称为 G 的中心. 证 eC. C是 G 的非空子集. 任取 a, bC，证明 ab1与 G 中所有的元素都可交换. xG，有 (ab1)x =

16、ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知 CG.,重要子群（续）,42,5.1 群的定义与性质 5.2 子群 5.3 循环群 5.4 置换群,第5章 群,43,循环群,定义 循环群的分类 生成元 循环群的子群,44,循环群的定义,定义 设 G 是群，若存在 aG 使得 G = ak | kZ 则称 G 是循环群，记作 G=，称 a 为 G 的生成 元. 实例 整数加群 G = = = 模 6 加群 G = = = ,45,循环群的分类,设 循环群 G = ，根据生成元 a 的阶

17、可以分 成两类： n 阶循环群和无限循环群. 设 G = 是循环群，若a 是 n 阶元，则 G = a0=e, a1, a2, , an1 那么 |G|= n，称 G 为 n 阶循环群. 若 a 是无限阶元，则 G = a0=e, a1, a2, 这时称 G 为无限循环群.,46,循环群的生成元,定理 设 G = 是循环群. (1) 若G是无限循环群，则 G 只有 a 和 a1 两个生成元. (2) 若 G 是 n 阶循环群，则 ar 是 G 的生成元当且仅当 r 是小于等于 n 且与 n 互质的正整数.,47,设G=e, a, , a11是12阶循环群， 则小于或等于12且与12互素的数是

18、1, 5, 7, 11, 由定理可知 a，a5，a7和 a11 是 G 的生成元. (2) 设G=是模9的整数加群， 则小于或等于 9且与 9 互素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理，G的生成元是 1, 2, 4, 5, 7 和 8. (3) 设 G=3Z=3z | zZ, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个生成元：3 和 3.,生成元的实例,48,循环群的子群,定理 设G=是循环群. 设G=是循环群，则 G 的子群仍是循环群. 若G=是无限循环群，则 G 的子群除e以外都是无限 循环群. (3) 若G=是 n 阶循环群，则对 n 的每个正因子d， G 恰好含有一个d 阶

19、子群.,49,（1）G=是无限循环群，对于自然数mN，1 的 m 次幂 是 m，m 生成的子群是 mZ，mN. 即 = 0 = 0Z = mz | zZ = mZ， m0 (2) G=Z12是12阶循环群. 12的正因子是1, 2, 3, 4, 6 和12， 因此G 的子群是： 1 阶子群 =0，2 阶子群 = 0,6 3 阶子群 =0,4,8，4 阶子群 = 0,3,6,9 6 阶子群=0,2,4,6,8,10，12 阶子群 = Z12 ,子群的实例,50,5.1 群的定义与性质 5.2 子群 5.3 循环群 5.4 置换群,第5章 群,51,置换群,置换及置换的表示 N次对称群,52,n元

20、置换的定义,定义 设 S = 1, 2, , n , S上的双射函数 :SS 称为 S上的 n元置换. 一般将 n 元置换记为 例如 S = 1, 2, 3, 4, 5 , 则 都是 5元置换.,53,n元置换的表示,置换符号表示 轮换表示 对换表示,54,k 阶轮换与对换,定义 设是 S = 1, 2, , n上的 n 元置换. 若(i1)=i2 ,(i2)=i3, ,(ik1)=ik,(ik)=i1 且保持 S 中的其他元素不变，则称为 S上的 k 次轮换，记作 (i1i2ik). 若 k=2，称为S上的对换. 例如 5元置换 分别是 5阶和 2 阶轮换=(1 2 3 45),=(1 3)

21、, 其中 也叫做对换,55,n元置换分解为轮换,设 S=1,2,n，对于任何 S 上的 n 元置换，一 定可以写成若干个轮换的乘积 =1 2 t,56,分解实例,例 设 S = 1, 2, , 8 , =(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8) =(1 8 3 4 2) (5 6 7) 注意：在轮换分解式中，1 阶轮换可以省略. ,57,n元置换的乘法与求逆,两个 n 元置换的乘法就是函数的复合运算 n 元置换的求逆就是求反函数. 例 设 使用轮换表示是： = (1 5 4) (2 3) (1 4 2 3) = (1 5 2) = ( 1 4 2 3) (

22、1 5 4) (2 3) = (3 5 4) -1= (1 5 4)-1 (2 3)-1 = (4 5 1) (2 3) = (1 4 5) (2 3),58,n元置换群及其实例,考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn （1）Sn关于置换的乘法是封闭的. （2）置换的乘法满足结合律. （3）恒等置换(1)是 Sn 中的单位元. （4）对于任何 n元置换Sn，逆置换1是 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n次对称群. n元对称群的子群称为 n次置换群. 例 设 S = 1, 2, 3，3次对称群 S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3),

23、 (1 3 2),59,S3 的运算表,60,S3的子群,S3 = (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)， A3 = = (1), (1 2 3), (1 3 2)， = (1) = (1), (1 2), = (1), (1 3), = (1), (2 3),61,第6章 环与域,环的定义与实例 特殊的环 交换环 含幺环 无零因子环 整环 域,62,环的定义,定义 设是代数系统，+和是二元运算. 如果满足以下条件: （1）构成交换群 （2）构成半群（封闭，结合律） （3）运算关于+运算适合分配律 则称是一个环.,63,环的实例,(1) 整数集、

24、有理数集、实数集和复数集关于普 通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有 理数环Q，实数环R 和 复数环C.(2) n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加 法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3) 设Zn0,1,.,n1，和分别表示模n的 加法和乘法，则构成环，称为模n的整 数环.,64,环中的相关概念,通常称+运算为环中的加法， 运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0 乘法单位元（如果存在）记作 1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 x1.,65,特殊的环,定义 设是环， (1) 若环中乘法适合交换律，则称 R是

25、交换环. (2) 若环中乘法存在单位元，则称 R是含幺环. (3) 若a, bR，a b=0 a=0或b=0，则称R是无零因子环. (4) 若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称 R 是整环. (5) 若 R为整环，|R|1, 且aR*=R0，a1R, 则称 R 为域.,66,零因子的定义与存在条件,设是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子环. 实例 ，其中 23=0，2 和 3 都是零因子. 无零因子环的条件： 可以证明：ab = 0 a=0或 b=0 消去律,67,特殊环的实例,(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、

26、复数环C都是交换环、 含幺环、无零因子环和整环. 其中除Z之外都是域 (2)令2Z= 2z | zZ ，则构成交换环和无零因子环. 但不是含幺环和整环. (3)设nZ, n2, 则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和 乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环， 也不是整环. (4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子 环和整环. 注意：对于一般的 n, Zn是整环且是域 n是素数.,68,例题,判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域. (1) A=a+bi |a,bQ, i2= 1, 运算为复数加法和乘法. (2) A=2z+1 | zZ, 运算为普通加法和乘法 (3) A=2z | zZ, 运算为普通加法和乘法 (4) A= x | x0 xZ, 运算为普通加法和乘法. (5) ，运算为普通加法和乘法,解 (2), (4), (5) 不是环. 为什么？ (1) 是环, 是整环, 也是域. (3) 是环, 不是整环和域.,