《吉林大学大一高数第二章第三节无穷小与无穷大.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林大学大一高数第二章第三节无穷小与无穷大.ppt（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、,第二章,都是无穷小.,第三节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大,定义1. 设函数 在点,的某去心邻域内有定义 ,若,则称函数 是当,时的无穷小量.,当,时，有,时, 有,一、 无穷小及其性质,性质1. 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,( P38, 题 5 (2) ),解答见课件第二节 例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,性质
2、2 . 有界变量与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,性质3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,利用性质 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,证:,取,当,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,设,则,时，有,其中,且有,设,则,当,时，有,即,第二章,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、,二、无穷小的比较,定义2.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明: 当,时,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运
4、算的下述规则.,若 = o() ,(2) 和差代替规则:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(3) 因式代替规则:,界, 则,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,
5、但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 等价无穷小替换定理,Th 2,作业：P58 题5，8.,常用等价无穷小 :,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,
吉林大学大一高数第二章第三节无穷小与无穷大.ppt
