线性代数高教版习题册.pdf

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1、姓名 班级 学号 1 第 1 章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量 x, y 到变量 x1, y1 的 线性变换的系数矩阵： (1) = =0 1 1y xx ； (2) += = co ssi n si nco s 1 1 yxy yxx 2.(通路矩阵 )a 省两个城市 a1,a2 和 b 省三个城市 b1,b2,b3 的交通连接情况如图所示，每条线 上的数字表示连接 这两城市的不同通路总数 .试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况 . 3. 设 = 111 111 111 ， = 150 421 321 B ，求 3AB-2A 和 ATB. 4. 计算 (1) 2 210 013 112

2、 4 。 b1 a1。 3 1 b2 a2。 2 2 b3 2 (2) 1 )1,( 21 22212 11211 y x cbb baa baa yx 5. 已知两个线性变换 3213 3212 311 54 232 2 yyyx yyyx yyx += += += , += += += 323 312 211 3 2 3 zzy zzy zzy ,写出它们的矩阵表 示式 ,并 求从 321 , zzz 到 321 , xxx 的线性变换 . 姓名 班级 学号 3 6. 设 f (x)=a0 xm+ a1xm-1+ + am， A 是 n 阶方阵，定义 f (A)=a0Am+ a1Am-1+

3、 + amE. 当 f (x)=x2-5x+3， = 33 12A 时，求 f (A). 7. 举出反例说明下列命题是错误的 . (1) 若 A2= O， 则 A= O. (2) 若 A2= A，则 A= O 或 A= E. . 4 7. 设方阵 A 满足 A2-3A-2E=O，证明 A 及 A-2E 都可逆，并用 A 分别表示出它们的逆矩阵 8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵： (1) = 1321 2642 1321 A 姓名 班级 学号 5 (2) = 03341 43121 01101 22413 B . 9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及 B 和 A 之间的关系式

4、. = 1211 2132 2101 A 122rr 1211 2330 2101 13cc+ 1311 2330 2001 =B. 6 10. 设 APP =1 ，其中 = 11 41P ， = 20 01 ，求 A9. 11. 设 = 200 030 004 A ，矩阵 B 满足 AB=A+2B，求 B. 姓名 班级 学号 7 12. 设 1 0 2 2 1 2 5 3 3 A = , 利用初等行变换求 A-1. 8 复习题一 1. 设 A, B, C 均为 n 阶矩阵，且 ABC=E,则必有（ ） . (A) ACB=E； (B) CBA=E； (C) BAC=E； (D) BCA=E.

5、 2. 设 = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , + = 133312321131 131211 232221 aaaaaa aaa aaa B , = 100 001 010 1P , = 101 010 001 2P ，则必有 ( ) . (A) AP1P2=B； （ B） AP2P1=B； (C) P1P2A=B； (D) P2P1A=B. 3. 设 A 为 4 阶可逆矩阵，将 A 的第列与第列交换得 B，再把 B 的第 2 列与第 3 列交 换得 C，设 = 0001 0100 0010 1000 1P ， = 1000 0010 0100 00

6、01 2P ，则 C -1=（ ） . (A) A-1P1P2； (B) P1A-1P2； (C) P2P1A-1； (D) P2A-1P1. 4. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（ ） . (A) A-E 不可逆 ； (B) A-2E 不可逆 ； (C) A-3E 可逆； (D) A-E 和 A-2E 都可逆 . 5. 设 A=(1,2,3)， B=(1,1/2,1/3)，令 C=ATB，求 Cn. 姓名 班级 学号 9 6. 证明：如果 Ak=O，则 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1， k 为正整数 . 7.设 A,B 为三阶矩阵 , =

7、 7 100 0 4 10 00 3 1 A ,且 A-1BA=6A+BA，求 B. 10 8. 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求 1 OOB A . 9. 设 = 0000 0000 0000 0000 1 2 1 n n a a a a X （ 021 naaa ），求 X -1. 姓名 班级 学号 11 第 2章 行列式 习 题 1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组 =+ =+ =+ 0 132 22 321 321 321 xxx xxx xxx 2.当 x 取何值时， 0 01 04 13 x x x . 12 3.求下列排列的逆序数： (1) 315624； (

8、2)13 (2n-1)24 (2n). 4. 证明： 3 232 a cbabaa cbabaa cba = + + . 5. 已知四阶行列式 |A|中第 2 列元素依次为 1,2,-1,3， 它们的余子式的值依次为 3,-4,-2,0 ,求 |A|. 姓名 班级 学号 13 6. 计算下列行列式 : (1) 1111 1111 1111 1111 (2) yxyx xyxy yxyx + + + (3) 0111 1011 1101 1110 14 (4) 12 22 12 33 12 1 1 1 xx xx xx （ 5） n n a a a D + + + = 111 111 111 2

9、 1 ，其中 021 naaa 姓名 班级 学号 15 7 设 A,B 都是三阶矩阵， A*为 A 的伴随矩阵，且 |A|=2， |B|=1，计算 |-2A*B-1| 8.设 = 111 012 112 A ， 利用公式 求 A-1. 16 复习题二 1设 A, B 都是 n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为 A*、 B*，证明： (AB)*= B*A* 2.设 = 2200 0200 0034 0043 A ，求 A-1 姓名 班级 学号 17 3.已知 A1, A2, B1, B2 都是 31 矩阵，设 A=( A1, A2, B1,)， B=( A1, A2, B2)， |A|=2， |B|

10、=3，求 |A+2B| 4设 A, B 都是 n 阶方阵，试证： ABE EA BE = 18 第 3 章 向量组 习 题 1. 设 1=(1,-1,1)T, 2=(0,1,2)T, 3=(2,1,3)T， 计算 31-22+3 2. 举例说明“若 1, 2, 3两两线性无关 ,则未必有 1,2,3 线性无关” . 3. 判别下列向量组的线性相关性 : (1) 1=(-1,3,1)T, 2=(2,-6,-2)T, 3=(5,4,1)T ； (2) 1=(2,3,0)T, 2=(-1,4,0)T, 3=(0,0,2)T . 姓名 班级 学号 19 4. 设 1=1, 2=1+2, 3=1+2+a

11、3，且向量组 1, 2, 3 线性无关，证明向量组 1, 2, 3 线 性无关 5. 设有两个向量组 1, 2, 3 和 1=1-2+3, 2=1+2-3, 3= -1+2+3，证明这两个向量 组等价 . 6. 求向量组 1=(1,2,-1)T, 2=(0,1,3)T, 3=(-2,-4,2)T, 4=(0,3,9)T的一个极大无关组 ，并将其 余向量用此极大无关组线性表示 . 20 7. 设 1, 2, , n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 1,2, ,n 能由它们线性表示， 证明： 1, 2, ,n 线性无关 8. 设有向量组 1, 2, 3, 4, 5，其中 1, 2,

12、3 线性无关， 4=a1+b2,5=c2+d3(a, b, c, d 均为不为零的实数 )， 求向量组 1, 3, 4, 5的秩 9. 设矩阵 A= (1,2, ,n), B=(n,n-1, ,1)，求秩 R(ATB). 姓名 班级 学号 21 10. 设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 6 4 3 6 9 6 9 - - = A ，求 A 的秩，并写出 A 的一个最高阶非零子式 . 11. 已知矩阵 + = 1201 451 2402 3021 ttA ，若 A 的秩 R(A)=2，求参数 t 的值 . 22 12. 设 向量组 A： 12 23 02, 11 31

13、- - - = , 34 54 6 , 3 9 - -4 -5 -5 = ，求 向量组 A 的秩，并写出 它的一个极大无关组 . 13. 设 A 为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，证明：如果 A2=A,则 R(A)+R(A-E)=n 姓名 班级 学号 23 14. 已知 向量空间 3R 的两组基为 = = 0 1 0 , 0 1 1 21 , = 1 13 0 和 = = 1 1 1 , 0 1 1 21 - , = 1 1 0 3 ， 求由基 1, 2, 3到基 1, 2, 3 的过渡矩阵 . 24 复习题三 1.设矩阵 = k k k k 111 111 111 111 A ，已知

14、 A 的秩为 3，求 k 的值 . 2设向量组 A: 1, ,s与 B: 1, ,r，若 A 组线性无关且 B 组能由 A 组线性表示为 (1, ,r) (1, ,s)K，其中 K 为 rs 矩阵 , 试证： B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 R(K) r. 姓名 班级 学号 25 3设有三个 n 维向量组 A： 1, 2, 3； B： 1, 2, 3, 4； C： 1, 2, 3, 5若 A 组和 C 组 都线性 无关，而 B 组线性相关，证明向量组 1, 2, 3, 4-5 线性无关 4设向量组 A: 1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,3=(0,1,1)T 和 B:

15、1=(-1,1,0)T,2=(1,1,1)T,3=(0,1,-1)T (1) 证明： A 组和 B 组都是三维向量空间 3R 的基； (2) 求由 A 组基到 B 组基的过渡矩阵； (3) 已知向量 在 B 组基下的坐标为 (1,2,-1)T,求 在 A 组基下的坐标 26 第 4 章 线性方程组 习 题 1. 写出方程组 =+ =+ =+ 322 35 122 5 4321 4321 21 xxxx xxxx xx 的矩阵表示形式及向量表示形式 . 2.用克朗姆法则解下列线性方程组 =+ =+ = 0 32 2 azcx bcbzcy abaybx ,其中 0abc 姓名 班级 学号 27

16、3.问 , 取何值时，齐次线性方程组 =+ =+ =+ 02 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解？ 4. 设有 线性方程组 =+ =+ =+ 42 - 4 321 2 321 321 xxx kxkxx xkxx ，讨论当 k 为何值时， (1)有唯一解？ (2)有无穷 多解？ (3)无解？ 28 5. 求齐次线性方程组 =+ =+ =+ 0 26 83 0542 02108 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的一个基础解系 . 6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1, 2, 3是它的三个解向量，且 1=(2,3,4,5

17、)T, 2+3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解 姓名 班级 学号 29 7 .求下列非齐次线性方程组的通解： =+ =+ =+ 322 35 122 5 4321 4321 21 xxxx xxxx xx 8. 设有向量组 A： 12 12 2 , 1 31 = ， 3 1 1 0 = 及向量 1 3 1 = ， 问向量 能否 由向量组 A 线性表示？ 30 9. 设 *是非齐次线性方程组 AX=b 的一个解， 1, 2, , n-r 是它的导出组的一个基础解系， 证明： （ 1） *, 1, 2, , n-r 线性无关； （ 2） *, *+1, *+2, , *+n-r 线性无关

18、 姓名 班级 学号 31 复习题四 1.设 = 101 10 2121 a aaA ，且方程组 AX=的解空间的维数为 2，则 a= . 2设齐次线性方程组 a1x1+a2x2+ +anxn=0,且 a1,a2, ,an 不全为零，则它的基础解系所含向 量个数为 . 3.设有向量组 ： 1=(a,2,10)T, 2=(-2,1,5)T, 3=(-1,1,4)T及向量 =(1,b,-1)T，问 a, b 为何值时 , （ 1）向量 不能由向量组 线性表示； （ 2）向量 能由向量组 线性表示，且表 示式唯一； （ 3）向量 能由向量组 线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式 32 4设四元齐次

19、线性方程组 （） = =+ 00 42 21 xx xx （） =+ =+ 00 432 321 xxx xxx 求 : (1) 方程组 ( )与 ( )的基础解系； (2) 方程组 ( )与 ( )的公共解 5设矩阵 A=(1, 2, 3, 4)，其中 2, 3, 4 线性无关， 1=22-3，向量 =1+2+3+4， 求非齐次线性方 程组 Ax= 的通解 姓名 班级 学号 33 6. 设 = 3 2 1 a a a , = 3 2 1 b b b , = 3 2 1 c c c ,证明三直线 =+ =+ =+ 0: 0: 0: 3333 2222 1111 cybxal cybxal cy

20、bxal 3,2,1,022 =+ iba ii 相交于一点的充分必要条件是向量组 , 线性无关，且向量组 , 线性相关 34 第 5 章 矩阵的特征值和特征向量 习 题 1.已 知向量 1=(1,-1,1)T，试求两个向量 2, 3，使 1, 2, 3为 R 3的一组正交基 2.设 A, B 都是 n 阶正交矩阵，证明 AB 也是正交矩阵 3. 设 A 是 n 阶正交矩阵，且 |A|=-1，证明： -1是 A 的一个特征值 ，即 |A+E|=0 姓名 班级 学号 35 4. 求矩阵 2 1 10 2 0 4 1 3 的特征值和特征向量 . 36 5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3

21、，计算行列式 |A3-5A2+7E| 6.设矩阵 = 124 22 421 xA 与 = 400 00 005 y 相似，求 yx, ；并求一个正交矩阵 P， 使 P -1AP= 姓名 班级 学号 37 7.将下列对称矩阵相似对角化： （ 1） 020 212 022 （ 2） 310 130 004 38 8. 设 是可逆矩阵 A 的特征值，证明： (1) A 是 A*的特征值 (2)当 1,-2,3 是 3 阶矩阵 A 的特征值时，求 A*的特征值 姓名 班级 学号 39 9.设 三 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=6, 2=3=3，属于特征值 1=6 的特征向量为 p1=(1,1,1)

22、T，求矩阵 A 40 复习题五 1.设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 2.已知 3阶矩阵 A, A-E, E+2A 都不可逆，则行列式 |A+E|= 3.设 = 11 1 11 b ba a A ， = 200 010 000 B ，已知 A 与 B 相似，则 a, b 满足 4.设 A 为 2 阶矩阵 , 1, 2为线性无关的 2维列向量， A1=0, A2=21+, 2，则 A 的非零特 征值为 . 5.已知矩阵 = 504 13 102 xA 可相似对角化，求 x 6.设矩阵 A 满足 A2-3A+2E=O，证明 A 的特征值只能是 1或 2 姓名 班级 学

23、号 41 7.已知 p1=(1,1,-1)T 是对应矩阵 = 21 35 212 b aA 的特征值 的 一个特征向量 (1) 求参数 a, b 及特征值 ； (2) 问 A 能否相似对角化？说明理由 8. 设 = 32 23A ，求 (A)=A10-5A9 42 第 6 章 二次型 习 题 1.写出下列二次型的矩阵表示形式： 423241312124232221 46242 xxxxxxxxxxxxxxf += 2.写出对称矩阵 = 32 201 11 21 21 A 所对应的二次型 3. 已知二次型 3221232221321 64),( xxxxaxxxxxxf += 的秩为，求 a 的

24、值 姓名 班级 学号 43 4.求一个正交变换将 32232221321 4332),( xxxxxxxxf += 化成标准形 44 5.用配方法将二次型 2 2 21 2 3 1 3 2 322 +f x x x x x x x= + + +化成标准形，并写出所用的可逆线性 变换 6. 设二次型 )0(2332 32232221 += axaxxxxf ，若通过正交变换 Pyx= 化成标准形 232221 52 yyyf += ，求 a 的值 姓名 班级 学号 45 7. 判别下列二次型的正定性： （ 1） 3121232221 22462 xxxxxxxf += （ 2） 43423121

25、24232221 126421993 xxxxxxxxxxxxf += 8. 设 323121232221 4225 xxxxxaxxxxf += 为正定二次型，求 a 的取值范围 46 复习题六 1. 设 A 为 nm 矩阵， B=E+ATA，试证： 0 时，矩阵 B 为正定矩阵 2.设 = 2100 1200 0001 0010 A ,写出以 A, A-1 为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形 姓名 班级 学号 47 3. 已知二次曲面方程 522 3121232221 =+ xxxbxaxxx ，通过正交变换 X=PY 化为椭圆 柱面方程 52 2221 =+ yy ，求 ba，

26、 的值 4. 设矩阵 = 101 020 101 A ， 2）（ AEB += k ，其中 k 为实数，求对角矩阵 ，使 B 与 相似，并讨论 k 为何值时， B 为正定矩阵 48 测试题一 一、计算题： 1.计算行列式 111 131 112 + = n D n . 2设 = 2 0 1 A ， = 210 530 001 B ，计算 TBA3 3设 A 、 B 都是四 阶正交矩阵，且 0B ， *A 为 A 的伴随矩阵 ,计算行列式 *2BAA 4设三阶矩阵 A 与 B 相似，且 = 3 2 1 A ， 计算行列式 EB 22 5设 = 241 11 20 201 b aA ，且 A 的秩

27、为 2，求常数 ba, 的值 二、解答题： 6设 4,3,2,1),1( 32 = ittt Tiiii ，其中 4321 , tttt 是各不相同的数，问 4 维非零向量 能 否由 4321 , 线性表示？说明理由 7求齐次线性方程组 =+ =+ =+ 05105 0363 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的一个基础解系 8问 k 取何值时， 线性方程组 =+ =+ =+ 2 321 321 321 1 kxxkx kxkxx kxxx (1)有唯一解； (2)有无穷多解； (3)无解 9已知四阶方阵 A （ 4321 , ），其中 321 , 线性无关，

28、324 3 = ，求方 姓名 班级 学号 49 程组 4321 +=Ax 的通解 10三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1,2,3.矩阵 A 的属于特征值 1,2 的特征向量分别是 T)1,1,1(1 = , T)1,2,1(2 = ,求 A 的属于特征值 3 的所有特征向量 ,并求 A 的一个相似 变换矩阵 P 和对角矩阵 ,使得 = APP 1 . 三、证明题 : 11设 211 2 += ， 322 23 += ， 133 34 += ，且 321 , 线性无关，证明： 321 , 也 线性无关 12设 A 为实对称矩阵，且满足 OEAA = 22 ，证明 EA 2+ 为正定矩阵 50 测

29、试题二 一、 填空题 : 、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列 134782695的逆序数为 ； 、已知 A 为三阶正交矩阵，且 A ，则 *AA = ； 、设方阵 A = 245 23 121 x ，若 A 不可逆，则 =x ； 、设 = APP 1 ，其中 = 54 32P ， = 10 01 ，则 6A = ； 、“若向量组 321 , 线性无关，向量组 432 , 线性相关，则 4 一定能由 32, 线性表示”该命题正确吗？ 。 二、计算下列各题 : 1、 计算行列式 0321 021 301 321 = n n n D n 2、设 = 3 2 1 A ， = 1 2 3 B

30、 ，且 =ABC ，求 5C 3、利用初等行变换求矩阵 = 40111 13302 51120 22111 A 的秩，并写出矩阵 A 的列向量组的一个 极大线性无关组 三、 设非齐次线性方程组 =+ =+ =+ 313115 793 13 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 姓名 班级 学号 51 （ 1）求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系；（ 2）求原方程组的通解 四、求一个可逆变换将二次型 32232221 4332 xxxxxf += 化为标准形，并判别其正定性 五、设 = = = = 2 321 1 ,1 1 , 1 1 , 1 1 a a a a a ，

31、问 a 为何值时， 可由 321 , 线性表示，且表示式不唯一？并说明不唯一的理由 六、已知矩阵 A 与 B 相似，其中 = 320 230 002 A ，计算行列式 EB 32 2 . 七、 证明题 : 、已知 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系，证明 21 + ， 31 + ， 32 + 也是它的一个基础解系 、设 A 、 B 均为 n 阶方阵， E 为 n 阶单位矩阵，且 ( ) ( )AEAEB += 1 ，证明 ( ) 21 EAEB +=+ 52 测试题三 一、 填空题 : 已知齐次线性方程组 =+ =+ =+ 094 032 0 3 2 21 321

32、321 xaxx axxx xxx 有非零解，则 a 应满足的条件是 ； 已知 A 为三阶矩阵，且 A =2，则 *AA = ； 已知两个线性变换 = += 322 3211 5 32 yyx yyyx 和 += += += 213 212 211 2 43 32 zzy zzy zzy ，则 从 21, zz 到 21, xx 的线性变换为 ； 若二次型 3221232221321 22),( xkxxxxxxxxxf += 是正定的，则 k 的取值范围是 ； 设 A 为实对称矩阵， ， 为非零向量，且 32 = AA ， ，则 T = . 二、计算下列各题 : 1 计算行列式 0 0 0

33、aa aa aa D n = 2设 = APP 1 ，其 中 = 11 11P ， = 10 01 ，计算 11A 三、解答题 : 设向量组 ： = 1 1 1 1 ， = 1 1 1 2 ， = 2 1 1 3 ， = 3 3 1 4 ， = 1 2 0 5 （ 1）求向量组 的秩，并写出它的一个极大无关组； 姓名 班级 学号 53 （ 2）令 ），（ 4321 =A ，求方程组 5=Ax 的通解 四、解答或证明 下列各题 : 1命题一：“若方阵 A 满足 AA=2 ，则 OA= 或 EA= ” 命题二：“若方阵 A 满足 AA=2 ，则 0=A 或 0=EA ” 以上两个命题是否正确？若正

34、确给出证明，若不正确举例说明之 2设 是四元非齐次线性方程组 bAx= 的一个解， 21, 是对应的齐次线性方程组的解空 间的一组基，证明 ， 21, 线性无关 五 、解答题 : 设矩阵 = 2100 1200 0001 0010 A （ 1）求矩阵 A 的特征值； （ 2）令 EAAB 322 += ，求一个对角矩阵 ，使 B 与 相似； （ 3）求以 1A 为矩阵的二次型 54 测试题四 一、填空题： 1.设 A=(-1,0,1)， B=（ 1, 2, 3）， 则 (ATB)6= ； 2.行列式 33 22 11 11 11 ba ba ba + + + ； 3.设四阶方阵 A、 B 满足

35、 AB+2B+E ,且 |A+2E| 2， 则 |B| ； 4.设 A 为 n 阶方阵 ,且 |A|=2,|3E A| =0, 则 A 的伴随矩阵 A*必有一个特征值是 ； 5.设矩阵 = 222 11 111 xA ,已知齐次线性方程组 AX=的解空间的维数为 2,则 x= . 二、选择题： 1.下列集合中不 能构成向量空间的是 ( ). （ A） (x1, ,xn)T xi R 且 x1+ +xn=1； （ B） (x1, ,xn)T xi R 且 x1+ +xn=0； （ C） (0,x2, ,xn)T xi R ； （ D） =11+ +ss, i R,i 为 n 维向量 . 2设 =

36、 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , + + + = 33333231 13131211 23232221 aaaa aaaa aaaa B , = = 110 010 001 , 100 001 010 QP , 则 A=（ ） （ A） Q-1BP-1； （ B） P-1BQ-1； （ C） QBP； （ D） PBQ. 3.n（ n3）维向量 1, 2, 3 线性无关的充分必要条件是（ ） (A) 1, 2, 3 中任意两个向量线性无关； (B) 1, 2, 3全是非零向量； (C) 对于任何一组不全为零的数 k1, k2, k3，都有 k11+k2

37、2+k33 ； (D) 1, 2, 3能由单位坐标向量 1, 2, 3线性表示 4设 n 阶方阵 A、 B 满足 AB= ,则下列命题中错误的是 ( ). (A) 若 |A| 0，则 B=O； (B) 若 R(A)=r，则 R(B) n-r； (C) |A|、 |B|中至少有一个为零 ； (D) 若 B O，则 A=O 5 设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组 AX=b 的导出组为 AX=.如果 m n，则 ( ) . (A) AX=b 必 有 无穷多解； (B) AX=b 必 有 唯一解； (C) AX=必有非零解； (D) AX=必有唯一解 三、 设 A 为三阶方阵，且 |A|=3，计

38、算行列式 |(2A)-1 A*|. 姓名 班级 学号 55 四、设 = 4242 7511 2121 1032 A ,求矩阵 A 的秩，并分别写出 A 的列向量组和行向量组 的一个极大无关组 五 、 设矩阵 = 000 021 011 A ，且 AB=2A B，求矩阵 B 六 、 设向量组 = 1 3 1 1 ， = 4 8 3 2 ， = m 3 1 3 ， = n 1 0 4 已知方程组 x11+x22+x33=4 有无穷多解，求 m, n 的值，并求该方程组的通解 七、 设 = 21 1,01 10 21 kAA ,已知 3 是矩阵 = 21 AO OAA 的一个特征值 . (1) 求参

39、数 k 的值； (2) 求 A-1，并写出以 A-1 为矩阵的二次型 (3)计算行列式 |B2 3E|，其中 B 与 A 相似 . 八、设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1， 1， -1已知属于特征值 1 的两个线性无关的特征 向量为 = 2 2 1 1 ， = 2 1 2 2 ，求矩阵 A 及 A12 . 九、 设方程组 =+ =+ =+ 0 0 0 333232131 323222121 313212111 xaxaxa xaxaxa xaxaxa 的系数行列式 det(a ij)=0，而 A11 0， 证明 (A11,A12,A13)T 是该方程组的一个基础解系其中 Aij是元素 aij

40、的代数余子式 56 复习题与测试题参考答案或提示 复习题一 1. (D). 2. (C). 3. (C). 4. (C). 5. = 1233 3 212 3 1 2 11 3 1nnC . 6. 提示： )12 k-kk AAAA ) ( E(EAE += . 7. = 100 020 003 B . 8. OA BO1 1 . 9. = 000 000 000 000 1 1 1 2 1 1 1 1 n n a a a a X （ 021 naaa ） . 复习题二 1. 提示：利用 A*=|A|A-1 2. = 2 1 2 1 2 1 25 3 25 4 25 4 25 3 1 -O 0

41、 O A . 3.72. 4. 提示：利用 = E -A BO BEEA BEEA OE . 复习题三 1 k= -3. 2.必要性利用定理 3.12(2),充分性利用定理 3.7 及其证明方法 . 3.利用线性无关的定义及定理 3.2. 4 (1)证明 A 组及 B 组线性无关； (2) = 01 11 10 21 21 21T ； (3) 在 A 组基下的坐 标为 (0,1,2)T 复习题四 1 a=1. 2 n-1 3 (1)a 4 且 b 0 时 ,不能线性表示； (2)a 4 时，能唯一线性表示； 姓名 班级 学号 57 (3)a 4 且 b 0 时， 表示式不唯一，且 =k1- (

42、2k-1)2+3 4 (1)方程组 ( )的一组基础解系为 1=(-1,1,0,0)T, 2=(0,0,1,0)T. 方程组 ( )的一组基础解系为 1=(0,1,1,0)T, 2=(1,1,0,-1)T. (2)公共解 x=k(-1,1,2,1)T, k 为任意实数 5利用方程组的向量表示式及解 的结构，可得通解为 x=k(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1)T， k 为任意实数 复习题五 1. n,0, 0 2. 1. 3. a=b=0 4. A 的非零特征值为 1. 5. x =3 6. 说明 A 的任意特征值的取值范围 . 7. (1)a -3， b 0， -1； (2)A 不能对

43、角化，因为 A 没有 3 个线性无关的特征向量 8. ； = 11 112)(A 复习题六 1. 提示：证明二次型 xTBx 正定 2. 43212423 2222 xxxxxxAxxf T += ,其标准形为 24232221 3 yyyyf += 432124231 3223232 xxxxxxxAxf T += ， 其标准形为 , 2 4232221 31 yyyyf += 3. a=1, b=0 4. + += 2 2 2 2)(k 2)(k k ， 2k,0k 时， B 为正定矩阵 测试题一 一、 1. )11(! 1=+ n i in . 2. 16400 000 001 . 3.

44、-16. 4.-14. 5.a=2, b=1 二、 6.能由 1, 2, 3, 4 线性表示 . 7. TT )0,1,0,1(,)0,0,1,2( 21 = 8.当 k1 且 k-2 时，有唯一解； 当 k=1 时，有无穷多解； 当 k=-2 时，无解 . 9. T)1,3,1,0( = 是导出组的基础解系 T)1,1,1,1(= 是原方程组的特解 ,通解为 +=kx 10.属于 3 的所有特征向量为 k3=k(1,0,1)T， k 0 令 = 2 1 6 1 3 1 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 0P ， = 3 2 1 ,则 P-1AP= . 三、 12.A2-A-2E=(A+

45、E)(A-2E)=O，所以 A 的特征值只能取 -1 或 2,因此 A+2E 的特征值只能取 1 或 3,故 EA 2+ 为正定矩阵 58 测试题二 一、 1 10. 2 -1. 3 -4. 4 E . 5正确 . 二、 1. Dn=n!. 2. C5=A(BTA)4B =104 369 246 123 . 3. R(A)=3, 极大无关组为 (1,0,2,1)T, (1,2,0,1)T, (2,1,3,0)T. 三、 一个基础解系为 (1,2,1,0)T, (-2,3,0,1)T , 通解为 x=k1(1,2,1,0)T+k2(-2,3,0,1)T+(4,-1,0,0)T 四、 = 3 2

46、1 321 320 230 002 ),( x x x xxxf , 矩阵为正定 . 五、当 a=1时， 可由 1, 2, 3线性表示，且表示式不唯一 . 六、 -235 . 测试题三 一、 1 a=2或 a=3. 2 8. 3 = = 212 211 7 22 zzx zzx . 4 22 k . 5 0 . 二、 1. (-1)n-1(n-1)an. 2 A11=PP-1 =E. 三、 1 R()=2, 的一个最大无关组为 1, 3. 2基础解系为 1=(1,1,0,0)T, 2=(1,0,2,1)T, 特解为 =(1,0,1,0)T, 通解为 x=k11+k22+. 四、 1命题一不正确

47、例如： AAA = = 2,00 01 ，但 AO且 AE. 命题 二 正确 . 证明：由 A(A-E)=O,可得 |A|A-E|=0，所以 |A|=0或 |A-E|=0 五 (1)1=2=1, 3=3, 4=-1. (2) B的特征值为 2, 2, 6, 6 . = 6 6 2 2 ,则 B与 相似 . (3) = 3231 3132 1 00 00 0001 0010 A , 432124231 3223232 xxxxxxxAxf T += 测试题四 一 . 1 321 000 32132 . 2. ab(b-a)(a-1)(b-1) . 3. 1/2. 4. 2/3. 5. 1. 姓名

48、 班级 学号 59 二 . 1. (A ). 2. (B). 3. (C). 4. (D). 5. (C). 三 . (2A)-1 A* -(125/24). 四 . R(A) 2,A 的列向量组的一个极大无关组为 (2,1,1,-2)T, (3,2,-1,-4)T; A 的行向量组的一个极大无关组为 (2,3,0,-1)T, (1,2,1,-2)T 五 . B 2(A+E)-1A = 000 031 010 2 . 六 . m=-1, n=7, 基础解系 =(-1,0,1) T,特解 * (-3,1,0)T, 通解 x=k+*. 七 . (1) k 2 . (2) = = 3231 3132

49、12 111 00 00 0001 0010 AO OAA , f xTA-1x 43212423 3223232 xxxxxx + (3)A 的特征值为 1,1,-1,3, B2 2E 的特征值为 2,-2,-2, 6. B2 3E 48 . 八 3 (-2, 2, 1)T,令 = = 100 010 001 , 122 212 221 31 P ，则 P-1AP . A PP-1 PPT 744 418 481 91 , A12 P12P-1 PEP-1 E. 九 .由 det(aij)=0， A11 0 知方程组的系数矩阵的秩为 2，因此方程组的基础解系只含一个非零解向量。 由行列式的按行展开定理知 a11A11+a12A12+a13A13=det(aij) 0， a21A11+a22A12+a23A13 0， a31A11+a32A12+a33A13 0， 又 A11 0，因此 (A11,A12,A13)T 是该方程组的一个非零解向量，即为该方程组的一个基础解系 .