函数基本模型应用题同步讲师.pdf

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1、 高一同步课程 “ 函数基 本模型 应用题 ” 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲 内容：函 数模 型应 用 题的解题 思 想、 解题 步骤 ； 几种 基本 函数 模型 介绍 掌握 目标：了解 解答函 数 模型应 用题 的思想 和方 法 ， 会根据 实际 应 用题找 出 相关的 相等 与 不等关 系 ； 掌握 几种 基本 的函数 模型 ， 会根 据函 数 的一些 性质 对实 际问 题进 行分析 考试 分析： 函数模型 实际 应 用题是 高考 的必 考内 容 ， 一 般每年 都 以 一道 大题 的 形 式进行 考察 。 知识梳理 1. 解应用题的基本思想 2. 解答函数应用题

2、的基本 步骤 求解函 数应 用题 时一 般按 以下几 步进 行： 第一步 ：审 题 弄清题 意， 分清 条件 和结 论，理 顺数 量关 系， 初步 选择模 型. 第二步 ：建 模 在细心阅 读与 深入理 解题 意的基础 上， 引进数 学符 号，将问 题的 非数学 语言 合理转化 为 数学语 言， 然后 根据 题意 ，列出 数量 关系 ，建 立函 数模型 第三步 ：求 模 运用数 学方 法及 函数 知识 进行推 理、 运算 ，求 解数 学模型 ，得 出结 果. 第四步 ：还 原 把数学 结果 转译 成实 际问 题 作出 解答 ， 对于 解出 的结 果要代 入原 问题 中进 行检 验、 评判 ，

3、使其符 合实 际背 景. 知识点 一： 一次 函数模型 一次函 数模 型: ) 0 ( ) ( k b kx x f 【试题 来源 】 【题目 】 为了 估计上 积雪 融化后 对下 游灌 溉的 影响 ， 在 山上 建立 了一个 观察 站， 测量 最大 积 雪深 度 x 与 当年 灌溉 面积 y ，现有 连 续 10 年的 实测 资 料，如 下表 所示. 年序 最大积雪 深度 x (cm) 灌溉面积 y ( 公顷) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7

4、34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 （1） 描点 画出 灌溉 面积 随 积雪深 度变 化的 图象 ； （2） 建立 一个 能基 本反 映 灌溉面 积变 化的 函数 模型 ，并画 出图 象； （3） 根据 所建 立的 函数 模 型，若 今年 最大 积雪 深度 为 25cm ，可 以灌 溉土 地多 少公顷 ？ 【答案 】见 解析 【解析 】 （1 ）利 用计 算机 几何画 板软 件， 描点 如图 甲. （2）从图甲中 可以看到 ， 数据点大致落 在一条直 线 附近，由此， 我们假设 灌 溉面积 y 和最大 积雪 深 度 x 满 足线 性函数 模 型 y = a + bx.

5、取其中 的两 组数 据(10.4, 21.1) ，(24.0, 45.8) ， 代入 y = a + bx，得 ， 用计 算器可 得 a 2.4 ，b 1.8. 这样， 我们 得到 一个 函数 模型；y = 2.4 + 1.8x. 作出 函数图 象如 图乙 ，可 以发 现，这 个 函数模 型与 已知 数据 的拟 合程度 较好 ，这 说明 它能 较好地 反映 积雪 深度 与灌 溉面积 的关 系. （3）由 y = 2.4 + 1.8 25 ， 求得 y = 47.4 ， 即当 积雪 深 度为 25cm 时， 可 以灌 溉土 地 47.4 公顷. 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适

6、用 场合 】 当 堂例 题 【难度 系数 】2 【 试题 来源 】 【题目 】 在固定电压差 （电压差为 常数）下，当 电流通过圆 柱体电线时， 其强度 I 与电线半径 r 的三 次方成 正比 。 （1） 写出 函数 解析 式； （2） 若电 流通 过半 径为 4 毫米的 电线 时， 电流 强度 为 320 安 ，求 电流 通过 半 径为 r 毫 米的电 线时 ，其 电流 强度 的表达 式； （3） 已知 （2 ）中 的 电流通 过的 电线 半径 为 5 毫米， 计算 该电 流的 强度 。 【答案 】见 解析 【解析 】 解： （1） 3 kr I （ k 为常数 ） 。 （2） 由（1 ）知

7、 ： 3 4 320 k ， 解得： 5 k 。 所以， 电流 通过 半径 为 r 毫米的电 线时 ，其 电流 强度 的表达 式为 3 5r I 。 （3） 由（2 ）中 电流 强度 的表达 式， 将 5 r 代入得 ： 625 5 5 3 I 安。 评注： 本题 是 以物 理 概念为 背 景 建立 函 数关 系的 问题 ， 关 键是 分 清各 个量 的物 理 意义 及相关 关系 。 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当 堂练习 【难度 系数 】2 知识点 二 ：反比例 函数模 型 反比例 函数 模型 ： ) 0 ( ) ( k b x k x f 【试题 来源 】

8、 21.1 10.4 45.8 24.0 ab ab 【题目 】若 等腰 三角 形周 长为 20 ： (1) 若底边 长 为 x， 腰长 为 y ，将 y 表示成 x 的 函数 ； (2) 若腰长 为 x ，底 边长 为 y ，将 y 表示成 x 的 函数 。 【答案 】见 解析 【 解析 】 (1) 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当 堂例 题 【难度 系数 】1 【试题 来源 】 【题目 】某 地上 年度 电价 为 0.8 元， 年用 电量 为 1 亿千瓦 时， 本年 度计 划将 电价调 至 0.55 元0.75 元 之间 ，经 测算 ， 若电价 调至 x 元

9、 ，则 本年 度新增 用电 量 y （亿千瓦 时）与(x-0.4) 元成反 比。 又 当 x=0.65 时，y=0.8. (1) 求 y 与 x 之间的 函数 关系 式； (2) 若每千 瓦时 电的 成本 量 为 0.3 元， 则电 价调 至多 少时 ， 本年 度电 力部 门的 收益 将逼上 年 增加 20% ？ 【收 益= 用电 量 （实际 电价- 成本 价） 】 【答案 】 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当 堂练 习 【难度 系数 】2 知识点 三 ：二次 函数模型 二次函 数模 型： ) 0 ( ) ( 2 a c bx ax x f 【试题

10、来源 】 【题目 】一个 小 服装 厂生 产某种 风衣 ， 月销量 x（ 件）与 售价 P （元/ 件） 之间 的函 数关 系 式 为 P=160-2x，生产 x 件的 成本 R=500+30 x 元 （1） 该厂的月 产量 为 多大 时， 月 获得 的利 润不 少 于 1300 元 （2） 月产量 为多 少时 利润 最大 ， 最大 利 润是 多少 ？ 【答案 】 （1 ）2045 件 （2 ）32 或 33 件时， 利润 最 大为 1612 元 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 例题 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 某 工厂 生

11、产 某产 品所需 要的 费用 为 P 元， 而卖 出 x 吨 的价 格为 每吨 Q 元 ， 已 知 P = 1000 + 5x + ，Q = a + ，若 生产出 的产 品能 够全 部卖 掉，且 在产 量 为 150 吨时 利润最 大，此 时每 吨价 格 为 40 元 ，求实 数 a ，b 的值. 【答案 】 【解析 】根 据题 意得 利润 函数解 析式 为： . 依题意 得 ， 解得 . 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 当 堂练 习 【难度 系数 】2 知识点 四 ：指数 函数模型 指数函 数模 型： ) 1 且 0 , 0 ( a a k b ka y x

12、【试题 来源 】 【题目 】 灌 满开 水的 热水 瓶盖上 瓶盖 放在 室内 ， 如果 瓶内 开水 原来 温度 是 1 度， 室内 气温 是 0 度， 那么 t 分钟 时 间过 后，开水 的 温度 可由 公式 0 1 0 ( )e kt 求得 ， 这里 k 是一个 与热 水瓶 有关 的一 个正的 常量 。 现有 已 知某 种类型 的 热 水瓶 灌满 开水 ， 测得 瓶内 温度 为 100 度 ， 过 一个 小时 后 测得温 度 为 98 度。 已知 某种 奶粉 必须 用不 低 于 85 度的 开水 调 ， 现 在这种 类型 的热 水瓶 在早 上 6 点灌满 100 度的 开水 ， 问 ： 能否

13、 在 这 一天 的中 午 12 点用 这瓶 开水冲调 上 述奶 粉？ （假 定 室温 为 20 度 不变 ） 【答案 】可以 【解析 】 2 1 10 x x b 45 30 a b 2 1 ( ) (1000 5 ) 10 x y Qx P x a x x b 2 11 ( ) ( 5) 1000 10 x a x b 5 150 11 2( ) 10 150 40 a b a b 45 30 a b 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 例题 【难度 系数 】3 【试题 来源 】 【题目 】设 海拔 x 米 处 的 大气压 强是 y 帕，y 与 x 之间的 函

14、数 关系 是 kx y ce ，其中 c,kl 是 常量 ， 已知 某地 每天 海 平面 处 的大 气压 值为 5 1.01 10 Pa ，1000m 高空的大 气压 为 5 0.90 10 Pa ，求 600m 高空的 大气 压 数值（保留 3 位 有效 数字 ） 【答案 】 5 0.943 10 Pa 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 练习 【难度 系数 】2 知识点 五 ：对数 函数模型 对数函 数模 型： ) 1 且 0 , 0 ( log ) ( a a m n x m x f a 【试题 来源 】 【题目 】大西 洋 鲑鱼 每年 都要逆

15、 流而上 ， 游回 产卵 地 ，研 究鲑鱼 的科学 家发现 鲑鱼 的游 速 可以 表 示为 函数 3 1 log 2 100 O v ，单 位是 米/ 秒， 其中 O 表示 鱼的 耗 氧量的 单位 数 （1） 当一条 鱼 的 耗氧 量 是 2700 个 单位 时 ， 它的 游 速是 多 少？ （2） 计算一 条鱼 静止 时的 耗氧 量 的单 位数 【答案 】 （1 ）1.5m/s （2）100 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 例题 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】有时 可 用函 数 ) 6 ( , 4 4 . 4 ) 6 ( ,

16、ln 15 1 . 0 ) ( x x x x x a a x f 来 描述 学习 某学 科知识 的 掌握程 度， 其中 x 表示 学习 的次 数， 因此 x 为整 数， f(x) 表示 对 该 学科知 识的 掌握 程度 ， 正 实数 a 和 学科 的类别 有关 。 （1） 证明： 当 x6 时 ， 掌握程度的 增长 量 f(x+1)-f(x) 总是下降 的 。 （2） 根据学 科经 验， 学科 甲乙丙 对应 的 a 取值 区间 为(115, 121, (121,127, (127, 133 。 当 x7 时 ， 学习 次 数相 同 时， 试确 定学 科甲 乙丙 在 学习中 掌握 程度 的高

17、低， 并说明 理由 。 【答案 】见 解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 练习 【难度 系数 】3 知识点 六 ：幂函数 模型 幂函数 模型 ： ) 0 ( ) ( a b ax x f n 【试题 来源 】 【题目 】某公司 每生 产一 批产品 都能维 持一段 时间 的市场 供应， 若公 司 本次 新品生产 开始 x 月后， 公司 的存 货量 大致 满足 模型 3 (x) 2x 6 20 fx ，那么 下次 生 产应该 在_ 月 后开始 。 【答案 】2 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 例题 【

18、难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】某 新型 智能 在线 电池的电量 p（ 单位 ：kwh ） 随时 间 t （h） 的变化 规 律 为： ) 0 , 0 ( 2 2 1 m t m p t t ， 其中 ，m 是 智能 芯片实 时 控制的 参数 。 （1） 当 m=2 时 ， 求 经过 多少 时间电池 电量是 5kwh （2） 如果电 池的 电量 始终 不低 于 2kwh ，求 参数 m 的取 值范围 【答案 】见 解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 练习 【难度 系数 】3 知识点 七 ：分段 函数模型 【试题 来源 】 【题目

19、】我国 是一个 水资 源比较 贫乏的 国家， 目前 ，某市 为了节 水 问题 召开 市民听 证会 ， 对水价 进行了 激烈的 讨论 ， 会后 拟定方 案如 下： 以 户为单 位， 按 月收 缴 ， 水价按 照 用户 每月用 水量 分成 三等 级， 第一级 为每 月 用 水量 不超 过 12 吨， 每吨 3.5 元； 第二级 计量 范 围为超 过 12 吨不超过 18 吨的部 分 ； 第三 级 计 量范 围为超 过 18 吨的 部分 ，一 二三级 水价 的 单价 按 1:3:5 计价 （1） 写出用户 每 月水 费 y 与用水量 x 之间 的函 数关 系式 （2） 某户居 民 当 月缴 纳水费

20、63 元 ， 该用 户当 月用 水多 少 吨？ 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 例 题 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】某 集团 公司 在 2000 年 斥巨 资分 三期 兴建 垃 圾资源 化处 理工 厂， 如下 表： 一期 2000 年投 入 1 亿元 兴建垃 圾堆 肥厂 年处理 有机 肥十 多万 吨 年综合 收益 2 千万 元 二期 2002 年投 入 4 亿元 兴 建 垃 圾 焚 烧 发 电 一 厂 年发电 量 1.3 亿 kw/h 年综合 收益 4 千万 元 三期 2004 年投 入 2 亿元 兴 建 垃 圾 焚 烧 发 电 二 厂

21、年发电 量 1.3 亿 kw/h 年综合 收益 4 千万 元 如果每 期的 投次 从第 二年 开始见 效， 且不考 虑存 贷 款利息 ， 设 2000 年以 后 的 x 年 的总 收益 为 f(x) （单 位： 千万 元 ） ，试 求 f （x ）的 表达 式， 并预测 到哪 一年 能收 回全 部投资 款。 【答案 】2010 年 【解析 】由 表中 的数 据知 ，本题 需用 分段 函数 进行 处理。 由表 中的 数据 易得 ， f(x)= 。 显然， 当 n 4 时， 不能 收 回投资 款。 当 n5 时 ，由 f(n)=10n-2470 ， 得 n9.4 ，取 n=10 。 所以 到 20

22、10 年 可以 收回 全 部投资 款。 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当堂 练习 7 6 5 ), 4 ( 4 ) 2 ( 4 2 4 3 ), 2 ( 4 2 2 1 , 2 ， ， ， ， x x x x x x x x x 【难度 系数 】2 课后练习 【 试题 来源 】 【题目 】 某家 报刊售 点从 报社买 进报 纸的 价格 是每 份 0.35 元 ， 卖 出的 价格 是 每份 0.5 元 ， 卖 不掉的 报纸 还可 以以 每 份 0.08 元 的价 格退 回报 社。 在一个 月 （30 天 ） 里， 有 20 天每 天可 以 卖出 400 份 ， 其

23、余每 天只 能卖 出 250 份 。 设每 天 从 报社买 进的 报纸 的数 量相 同， 则每 天应 从 报社买 进多 少份 ，才 能使 每月所 获的 利润 最大 ？并 计算该 销售 点一 个月 最多 可赚多 少元 ？ 【答案 】见 解析 【解析 】 分析： 每 月所 赚 的钱= 卖 报收 入的 总价 付 给报社 的总 价。 而收 入的 总数分 为三 部 分： 在卖 出 400 份的 20 天里， 收入 为 20 5 . 0 x ；在 可卖 出 250 份的 10 天 里在 x 份报 纸中， 有250 份 报纸 可卖 出， 收 入为 10 250 5 . 0 ； 没有 卖掉 的 ) 250 (

24、 x 份报 纸可 退回 报社， 报社 付出 10 08 . 0 ) 250 ( x 的钱 。注 意写出 函数 式的 定义 域。 解：设每 天应 从报 社买 x 份 ，易知 400 250 x 。设 每月 赚 y 元，得 ： y 20 5 . 0 x 10 250 5 . 0 30 35 . 0 10 08 . 0 ) 250 ( x x 400 , 250 , 1050 3 . 0 x x 因为 1050 3 . 0 x y 在其定 义域 上为 增函 数， 所以， 当 400 x 时， 每 月所 获的 利 润最大 ， 最 大值 为 1170 1050 120 max y （元） 。 答：每 天

25、应 从报 社买 进 400 份， 才能 使每 月所 获的 利润最 大， 每月 可 赚 1170 元。 评注： 现实 生 活中 很 多事例 可 以 用一 次 函数 模型 表示 ， 例 如： 匀 速直 线运 动的 时 间和 位移的 关系 ， 弹 簧的 伸长 和拉力 的关 系等 ， 对 一次 函数来 说， 当一 次项 系数 为正时 ， 表 现为 匀速增 长, 即为 增函 数， 一 次项系 数为 负时 为减 函数 。 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 随 堂课 后练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】经过 长 期观 测 得 到： 在 繁忙 的时 段内 ，

26、 某 公路 的 汽车 车流 量 y （千辆/ 小时 ）与 汽 车的平 均速 度 v （千 米/小时 ）之间 的 函数 关系 式为 ： 2 920 ( 0) 3 1600 v yv vv （1） 在该时 段内， 当汽 车的 平 均速度 为多 少时 ，车 流量 最大， 最大 车 流量 是多 少 ？ （2） 若 要求该 时段 内的车 流量超过 10 千辆/ 小时 ， 那么 汽车的 平均 速度应在 什么 范围 内？ 【答案 】见 解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 随 堂课 后练 习 【难度 系数 】3 【题目 】 运货 卡车 以每 小 时 x 千米 的

27、速度 匀速 行驶 130 千米50 100 x ， 假 设汽 油 价 格是 每 升 2 元， 而汽 车每 小时 油耗 2 (2 ) 360 x 升 ， 司机 的工资 是 每 小时 14 元 （1） 求这次 行车 总费 用 y 关于 x 的表 达式 （2） 当 x 为 何值 时， 总 费用 最 低，并 求出 总费 用 【答案 】 max 2340 13 (1) y x;(2) x 18 10, 26 10 18 y x 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 随 堂课 后练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 有 两个 投资 项目 A,B ，

28、 根据 市场 调 查和 预测 ， A 项目 的利 润 与 投资 成 正比， 其关 系如 图 甲，B 项目 的利润与 投资 的算 术平 方根 成正 比， 其关 系如 图乙 ： （注 ： 利润 与投 资单 位万元 ） （1） 分别 将 A 、B 两 个项 目的 利润表示 为投资 x（ 万元 ）的函 数关 系式 （2） 现将 x 万元 （0 10 x ） 投资 A 项 目， 10-x 万 元投 资 B 项目 ，h(x) 表示 投资 的利 润总和 ， 求 h(x) 的 最大 值 ， 并 指出 x 为 何值 时 h(x) 取到 最 大值 。 【答案 】 （1 ） 15 (x) (x 0),g(x) (x

29、 0) 44 f x x （2） max 65 3.75, (x) 16 xh 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】随堂 课 后练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【 题目 】物 体在 常 温下 的 温 度变化可 以用牛顿 冷却规律 来描述 ：设物 体的初始 温度 是 0 T ， 经过 一 定时 间 t 之 后温 度 为 T ， 则 T 满足 0 1 (T T )( ) 2 t h aa TT ， 其中 a T 指的 是 环境 温度 ， h 称为 半衰 期 。 现有 一杯 用 88 度热 水冲 的速 溶咖 啡 ， 放在 24 度的 房间 中， 如

30、果咖 啡降温 到 40 度需 要 20 分钟 ，那么 降温 到 35 度 需要 多长 时 间？ 【答案 】25 分钟 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】随堂 课 后练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题 目 】某地投资 建印染厂， 为了保护环境 ，需制定治 污方案. 甲 方案为永久性 治污方案 ， 需一次 投 入 100 万元 ； 乙 方案为 分期 治污 方案 ， 需 每月投 资 5 万元 ， 若 投资 额以月 利 润 1% 的复利 计算 ， 试比 较投 产 几个月 后甲 方案 与乙 方案 的优势. ( 必 须时 可用 以下 数据 ：lg1.

31、010 = 0.0043 ，lg1.253 = 0.0980 ，lg1.250 = 0.0969 ，lg1.235 = 0.0917) 注：1 + q + q 2 + +q n = . 【答案 】见 解析 【解析 】设经过 x 个 月后 ，甲、 乙两 方案 总的 本息 分别 为 y ，z ，则 y = 100 (1 + 1%) x z = 5 1 + (1+1%) + (1+1%) 2 + +(1+1%) x 1 = . 设 100 (1+1%) x 500(1.01 x 1) ，则 1.01 x , 两边取 常用 对数 得， 1 1 ( 1) 1 n q q q 5(1.01 1) 500(

32、1.01 1) 0.01 x x 5 4 x 故工厂 投 产 23 个月 后， 甲 方案优 于乙 方案 ，投 产 1 至 22 个月 乙方 案优 于甲 方 案 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】随堂 课 后练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 如 图， 要设 计一 张矩形 广告 ， 该 广告 含有 大小相 等的 左右 两个 矩形 栏目 （ 即图 中阴 影部分 ） ， 这两 栏的 面积 之 和为 18000cm 2, 四周空 白的 宽度 为 10cm ，两 栏之 间的 中缝空 白的 宽度 为 5cm ，怎样 确定 广 告的高 与宽 的尺 寸（ 单位

33、 ：cm ） ，能使 矩形 广告 面 积最小 ？ 【答案 】高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可 使广 告的 面积最 小 【解析 】解法 1 ：设 矩形 栏目的 高 为 a cm ，宽 为 b cm ，则 ab=9000. 广告的 高 为 a+20，宽为 2b+25 ，其 中 a0，b 0. 广告的 面 积 S(a+20)(2b+25) 2ab+40b+25a+500 18500+25a+40b 18500+2 b a 40 25 =18500+ . 24500 1000 ab 当且仅 当 25a40b 时 等号 成立， 此时 b= a 8 5 ,代入 式 得 a=120 ，从 而

34、b=75. 即当 a=120 ，b=75 时,S 取 得最小 值 24500. 故广告 的高 为 140 cm,宽为 175 cm 时，可 使广 告的 面积最 小. 解法 2 ：设 广告 的高 为宽 分别 为 x cm ，y cm ，则每 栏的高 和宽 分别 为 x 20 ， , 2 25 y 其中 x 20 ，y 25 两栏面 积之 和 为 2(x 20) 18000 2 25 y , 由此 得 y= , 25 20 18000 x 广告的 面 积 S=xy=x( 25 20 18000 x ) 25 20 18000 x x, 整理 得 S= . 18500 ) 20 ( 25 20 36

35、0000 x x 因为 x 20 0，所以 S2 . 24500 18500 ) 20 ( 25 20 360000 x x 当且仅 当 ) 20 ( 25 20 360000 x x 时等号 成立 ， lg1.25 0.0969 22.53. lg1.01 0.0043 此时有(x 20) 2 14400(x 20) ， 解得 x=140，代入 y= 20 18000 x +25, 得 y 175 ， 即当 x=140 ，y 175 时，S 取得 最小 值 24500 ， 故当广 告的 高 为 140 cm ，宽为 175 cm 时， 可使 广告 的面积 最小. 【知识 点】 函数 基本 模

36、型 应用题 同步 【适用 场合 】课后 一 个月 练习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】有 一个 湖泊 受污 染，其 湖水 的容 量为 V 立 方米， 每天 流入 湖的 水量 等于流 出湖 的 水量。 现假 设下 雨和 蒸发 平衡， 且污 染物 和湖 水均 匀混合 。 用 ) 0 ( ) 0 ( ) ( p e r p g r p t g t v r ， 表示 某一 时刻 一立 方米 湖水中 所含 污染 物的 克数 （ 我 们称其 湖水 污染 质量 分数 ） ， ) 0 ( g 表示 湖水 污染 初始 质量 分数。 （1） 当湖 水污 染质 量分 数 为常数 时， 求湖 水污

37、染初 始质量 分数 ； （2） 分析 r p g ) 0 ( 时， 湖水 的污 染 程度如 何。 【答案 】 （1 ） r p g ) 0 ( （2） 污染 越 来越严 重 。 【解析 】 （1 ）设 2 1 0 t t ， 因为 ) (t g 为常数 ， ) ( ) ( 2 1 t g t g ，即 0 ) 0 ( 2 1 t v r t v r e e r p g ， 则 r p g ) 0 ( ； （2）设 2 1 0 t t ， ) ( ) ( 2 1 t g t g ) 0 ( 2 1 t v r t v r e e r p g = 2 1 1 2 ) 0 ( t t v r t v

38、 r t v r e e e r p g 因为 0 ) 0 ( r p g ， 2 1 0 t t ， ) ( ) ( 2 1 t g t g 。污染 越来 越严 重。 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】阶 段测验 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】现 有某 种细 胞 100 个， 其中 有占 总数 1 2 的 细 胞每小 时分 裂一 次， 即 由 1 个细 胞分 裂成2 个细 胞， 按这 种规 律发展 下去 ， 经 过多 少小 时， 细 胞总 数可 以超 过 10 10 个？ （参 考数 据：lg3 0.477,lg2 0.301 ）. 【答案 】4

39、6 小时 【解析 】现 有细 胞 100 个 ，先考 虑经 过 1 、2 、3、4 个小时 后的 细胞 总数 ， 1 小时 后， 细胞 总数 为 1 1 3 100 100 2 100 2 2 2 ； 2 小时 后， 细胞 总数 为 1 3 1 3 9 100 100 2 100 2 2 2 2 4 ； 3 小时 后， 细胞 总数 为 1 9 1 9 27 100 100 2 100 2 4 2 4 8 ； 4 小时 后， 细胞 总数 为 1 27 1 27 81 100 100 2 100 2 8 2 8 16 ； 可见， 细胞 总数 y 与时 间 x （小时） 之间 的函 数关 系为 ：

40、3 100 2 x y ，xN 由 10 3 100 10 2 x ， 得 8 3 10 2 x ， 两 边取 以 10 为 底 的对数 ，得 3 lg 8 2 x ， 8 lg3 lg 2 x ， 88 45.45 lg3 lg 2 0.477 0.301 ， 45.45 x . 答：经 过 46 小 时， 细胞 总 数超过 10 10 个 。 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 阶 段测 验 【难度 系数 】3 【 试题 来源 】 【题目 】 某工 厂生 产的 商 品 A ， 若 每件 定价 为80 元 ， 则 每年 可销 售 80 万 件， 政府税 务部 门

41、对市场 销售 的商 品A 要征 收附加 税， 为增 加国 家收 入又要 有利 于生 产发 展， 必须合 理确 定税 率， 根据 市场 调查 ， 若 政府 对商 品 A 征 收附 加税 率为 % p 时， 每年 销售 额将 减少 p 10 万 件。 据此， 试问 ： （1） 若税 务部 门对 商品A 征收的 税金 不少 于 96 万 元 ，求 p 的范围 ； （2） 若税 务部 门仅 仅考 虑 每年所 获得 的税 金最 高， 求此时 p 的值 。 【答案 】 （1 ） p 的范围 是 6 , 2 （2） 当税 率为4%时 ，税 务部门 获得 最高 税 金128 万元。 【解析 】 分析： 将税

42、务部 门对商 品 A 征收 的税 金表 示出来 ，注 意考 虑一 些实 际情况 。 （1） 设每 年征 收的 税金 为 y 万元， 则 % ) 10 80 ( 80 p p y ， 由题意 得： 96 % ) 10 80 ( 80 0 10 80 0 p p p p ， 解之得 ： 6 2 p 。 所以， p 的范 围是 6 , 2 。 （2） 由题 意知 ： 0 10 80 0 p p ， 8 0 p ， 由 128 ) 4 ( 8 % ) 10 80 ( 80 2 p p p y ， 当 4 p 时， 128 max y 。 答：当 税率 为 4% 时 ，税 务 部门获 得最 高税 金 1

43、28 万 元。 在 第 二 问即 二 次函 数 求最值 问 题 ，一 定 要注 意 隐含条 件 0 10 80 p 。 所 以 应 用题 中 变量的 取值 范围 是一 个非 常值得 重视 的问 题。 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 课 后一 个月 练习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】某 汽车 销售 公司 在 A 、B 两地 销售 同一 品 牌的汽 车， 在 A 地 的销 售 利润（ 单位 ： 万元） 为 ，在 B 地 的销 售 利润 （ 单位 ： 万 元） 为 ， 其中 x 为销 售 量（单 位： 辆） 。若 该公 司 在两地 共销 售 16

44、辆 这种 品 牌汽车 ，则 能获 得的 最大 利润是 （） A. 10.5 万元 B. 11 万元 C. 43 万元 D. 43.025 万元 【答案 】C 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 课 后两 周练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】有 一个 圆柱 形的 无盖杯 子， 它的 内表 面积 是 100 ，试用 解析 式将 杯 子的容 积 V 表示成 底面 半 径 x 的 函数 。 【答案 】见 解析 【 解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 随 便练 练 【难度 系数 】1 【试题 来源 】 【

45、题目 】 建造 一个 容器 为 8 ， 深 为 2m 的无 盖水 池 ， 如 果池底 与池 壁的 造价 每平 方米分 别 是 120 元和 80 元， 则水 池 的最低 造价 为_ 。 【答案 】1760 元 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 随 便练 练 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 一轮 船行驶 时 ， 单位时 间的 燃料 费 u 和其 速度 v 的立 方成 正比 ， 若 轮船的 速度 为每 小时10km ， 燃 料费为 每小 时 35 元， 其余 费用 每小 时 为 500 元， 这部 分费 用不 随 速度而 变化 。 已知该

46、 轮船 的最 高时 速可 以达到 25km/h ， 则轮 船速 度为( )km/h 时， 轮船 行每千 米的 费 用最少 A. B. C. D. 25 【答案 】 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 随 便练 练 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 如图 ， 有一 个圆 柱 形的无 盖纸 杯 ， 它 的表 面 积是 100 ， 设 地面 的半 径 为 x （cm ） (1) 写出杯 子的 高 度 h 关于 x 的函数 关系 式； (2) 写出杯 子的 容 积 V 关于 x 的函数 关系 式。 【答案 】 【解析 】 【知识 点】 函数 基本

47、 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 课 后两 周练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 某 市粮 食储 备库 的设计 容量 为 30 万 吨， 年 初库储 备粮 食 10 万 吨， 从 1 月份 起， 计 划每月 收购 粮食 M 万 吨， 每月供 给市 面粉 厂粮食 1 万吨， 另外 每月 还有 大量 的粮食 外调 任 务。已 知 n 个月 内外 调粮 食的总 量为 w 万 吨与 n 的 函数关 系为 。要 使在 16 个月 内每 月粮 食收 购之后 能满 足内 、外 调需 要，且 每月 粮食 调出 后粮 库内有 不超 过 设计容 量的 储备 粮， 求 M 的范围 。 【

48、答案 】 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】当 堂练 习题 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 经英 国相 关机 构 判断 ， MH370 在 南印 度洋 海域消 失 。 中 国两 舰艇 随 即在边 长 为 100 海里的 某正 方 形 ABCD （ 如图） 海域 内展 开搜 索。 两 艘搜救 船 在 A 处 同时出 发 ， 沿直 线 AP 、 AQ 向前联合搜索，且 角 ， 搜 索 区 域 为 平 面 四 边 形 APCQ 围 成 的 海 平 面 ， 设 角 ，搜索 区域 的面 积 为 S 。 (1) 试建 立 S 与 的关系 式， 并

49、指出 的取值 范围 ； (2) 求 S 的最 大值 ，并 求此 时 的值。 【答案 】 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】随 堂 课 后练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】如 图，ABCD 是 正方形 空地 ，边 长为 30m ，电源 在点 P 处 ，点 P 到边 AD 、AB 的 距离分别 为 9m 、3m 。某广告公司计划在此空 地上竖立起一块长方形液 晶广告 屏 MNEF 。 MN:NE=16:9 ， 线段 MN 必 须经过 点 P ， 端 点 M 、N 分别在 边 AD 、AB 上， 设 AN= x （m）， 液晶广 告 屏

50、MNEF 的面积 为 S （ ）。 (1) 用 x 的 代数 式表 示 AM ， 并写 出 x 的 取值 范围 ； (2) 求 S 关于 x 的 函数 关系 式 。 【答案 】 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】课 后一 个月 练习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】如 图， 一动 点 P 自边长 为 1 的正 方形 ABCD 的 顶点 出发 ，沿 正方 形 的边界 运动 一 周， 再 回 到 A 点。 若 点 P 运动的 路程 为 x，点 P 到 顶点 A 的距 离为 y。求 A 、P 两 点之 间的 距离 y 和点 p 的 路程 与 x

51、 之间的 函数 关系 式。 【答案 】见 解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】阶 段测 验 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】某 房地 产公 司要 在荒地 ABCD （如 图） 上 划出一 块长 方形 的地 面修 建一座 公寓 楼。 问如何 设计 才能 使公 寓楼 地面的 面积 最大 ，并 求出 最大的 面积 。 【答案 】 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】随 便练 练 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】某 汽车 租赁 公司 拥有 20 辆汽 车， 据统 计， 当每辆 车的 日租

52、金为 400 元时， 可以 全 部租出 ；当 每辆 车的 日租 金每增 加 50 元， 未出 租车 辆将增 加 1 辆。 公司 平均 每日的 各项 支 出共计 4800 元， 设公 司每 日租出 车辆 时， 日收 益为 y 元。 （日收益= 日租 金收 入 平均 每日 各项支 出） (1) 公司每 日租 出 x 辆车 时， 每辆车 的租 金为_ 元 (2) 当每日 租出 多少 辆时 ，租 赁公司 日收 益最 大？ 最大 为多少 元？ (3) 当每日 租出 多少 辆时 ，租 赁公司 的日 收益 不盈 也不 亏？ 【答案 】 见解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用

53、 场合 】随 堂课 后练 习 【难度 系数 】3 【试题 来源 】 【题目 】某 商场 购进 一批 L 型服装（数量 足够 多） ， 进价为 40 元每 件，以 60 元每件 售出 ， 每天销 售 20 件。 根据 市场 调研， 若每 件降 价 1 元 ， 则每天 销售 数量 比原 来多 出 3 件。 现商 场决定 对 L 型服装开 展降 价促销 活动 ，每 件降 价 x 元（x 为 正整 数） 。在 促销 期间， 商场 要 想每天 获得 最大 销售 利润 ， 每件 降价 多少 元？ 每天 最大销 售毛 利润 是多 少？ （毛利 润指 每件 服装的 销售 价和 进货 价的 差） 【答案 】 见

54、解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】随 堂课 后练 习 【难度 系数 】2 【试题 来源 】 【题目 】 游 泳池 经常 需要 进 行换水 清洗 ， 图 中的 折线 表 示的是 游泳 池换 水清 洗过 程 “排水 清洗 灌水 ” 中水 量 y( ) 与实 践 t(min) 之间的关系 式。 (1) 根据图 中提 供的 信息 ， 求整个 换水 清洗 过程 中水 量 y 与时间 t 之间 的函 数 解析式 ； (2) 求排水 、清 洗、 灌水 各 花多少 时间 ？ 【答案 】 见解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合

55、 】课 后两 周练 习 【难度 系数 】3 【试题 来源 】 【题目 】 某 私营 服装 厂根 据 2011 年 市场 分析 ， 决 定 2012 年调 整服 装制 作方 案 ， 准备 每周 （按 120 工 时计 算） 制作 西服 、休闲 服、 衬衣 公 360 件 ，且衬 衣至 少 60 件。 已知 每件服 装的 收 入和所 需工 时如 下表 所示 ： 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/ 件 收入（百 元）/ 件 3 2 1 设每周 制作 西 服 x 件 ，休 闲服 y 件，衬 衣 z 件。 (1) 请你分 别从 件数 和工 时数 两个方 面用 含 有 x，y 的代 表式表 示衬 衣的 件 数 z 。 (2) 求 y 与 x 之间的 函数 关系 式。 (3) 问每周 制作 西服 、 休 闲服 、 衬衣 各多 少件 时， 才 能 使总收 入最 高？ 最高 总收 入为多 少 ？ 【答案 】 见解析 【解析 】 【知识 点】 函数 基本 模型 应用题 同步 【适用 场合 】 随 便练 练 【难度 系数 】3