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1、,概率论与数理统计,主讲教师：关 丽,北京工业大学应用数理学院,第八章 假设检验,8.1 基本概念,下面，我们讨论不同于参数估计问题的另一类统计推断问题根据样本提供的信息，检验总体的某个假设是否成立的问题。,这类问题称为假设检验。,假设检验,参数检验,非参数检验,总体分布已知情 形下，检验未知 参数的某个假设,总体分布未知情形 下的假设检验问题,先看一个例子。,例1：某工厂生产 10 欧姆的电阻，根据以往生产的电阻实际情况，可以认为: 电阻值 X服从正态分布 N(, 0.12)。现在随机抽取10个电阻, 测得它们的电阻值为: 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10
2、.0, 10.5, 10.1, 10.2. 问: 从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平均值 = 10 欧姆?, 确定总体：记 X 为该厂生产电阻的测量值，则 X N(, 0.12)； 明确任务：通过样本推断 “X 的均值 是否 等于10欧姆”； 假设：“X 的均值 =10” 这一假设是否成立?,I. 如何建立检验模型,原假设的对立面是 “ X 的均值 10”，称为 “对立假设” 或 “备择假设”，记成 “ H1: 10”。把原假设和对立假设合写在一起，就是:,H0： =10； H1：10.,在数理统计中，把 “ X 的均值 =10” 这样一个待检验的假设记为 “原假设” 或 “零假设”,记成
3、“ H0： =10”。,II. 解决问题的思路,因样本均值是 的一个很好的估计。所以，当 =10，即原假设 H0 成立时, 应比较小；,如果该值过大, 想必 H0 不成立。,于是，我们就用 的大小检验 H0 是否成立。,合理的做法应该是：找出一个界限 c，,这里的问题是：如何确定常数 c 呢？,细致地分析:,根据定理 6.4.1，有,于是，当原假设 H0：=10 成立时，有,为确定常数 c，我们考虑一个很小的正数， 如 = 0.05。当原假设 H0: =10 成立时，有,于是，我们就得到如下检验准则:,为原假设 H0 的拒绝域。,用以上检验准则处理我们的问题，,所以，接受原假设 H0:=10。
4、,因为，当原假设是 H0: =10 成立时，,所以，当 很小时，若 H0 为真(正确), 则检验统计量落入拒绝域是一小概率事件 (概率很小，为 )。前面我们曾提到：“通常认为小概率事件在一次试验中基本上不会发生”。,III. 方法原理,那么，如果小概率事件发生了，即:,发生, 就拒绝接受 H0 成立，即认为 H0不成立。,IV. 两类错误与显著性水平,当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了正确假设； H0 是不正确的，但被我们接受了，这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。,因为检验统计量总是随机的，所以，我们总
5、是以一定的概率犯以上两类错误。,通常用 和 记犯第一、第二类错误的概率，即,在检验问题中，犯“弃真”和“取伪”两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率;反之亦然。,所以，犯两类错误的概率不能同时得到控制。,8.2 正态总体均值的假设检验,8.2.1 单正态总体 N(, 2)均值 的检验,1. 双边检验 H0: = 0；H1: 0,假设 2已知，根据上节中的例1，当原假设 H0: = 0 成立时，有,在应用上，2未知的情况是常见的。此时，和前面不同的是：常用样本方差 S2代替未知的2 。,以上检验法称作 U 检验法。,当 2未知时，根据基本定理 6.4.1
6、 ，当原假设 H0: = 0 成立时，有,此检验法称作 t 检验法。,解：n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，,例1(续例 8.1.1) : 假设2未知，检验,所以，接受原假设 H0: =10.,H0: =10；H1: 10.,上一段中， H0:=0 ; H1: 0 的对立假设为 H1: 0 , 该假设称为双边对立假设。,2. 单边检验 H0: =0; H1: 0,而现在要处理的对立假设为 H1: 0, 称为右边对立假设。,类似地，H0: =0; H1: 0 中的对立假设H1: 0，假设称为左边对立假设。右边对立假设和左边对立假设统称为
7、单边对立假设，其检验为单边检验。,例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为 0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为 。我们想了解 “是否显著地大于0”,即产品的质量指标是否显著地增加了。,如果 =0，即原假设成立，则 就,不应太大；反之，如果 过大，就认为原假设不成立。,在2已知情况下，根据定理6.4.1，知：,当原假设成立时，,单边检验 H0: =0; H1: 0,在2未知情况下，当原假设 成立时，,例 2：某厂生产一种工业用绳,其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态分布，且该厂原来生产的绳子指标均值 0 =15公斤，采用一种新原材料后,厂
8、方称这种原材料提高了绳子的质量，也就是说绳子所承受的最大拉力 比15公斤增大了。 为检验该厂的结论是否真实，从其新产品中随机抽取50件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5公斤。取显著性水平 =0.01。问从这些样本看：能否接受厂方的结论。,解：问题归结为检验如下假设 H0: =15; H1: 15 (2未知),于是，,从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力。,利用样本方差 S 2是2的一个无偏估计，且 (n-1)S2/ 2 2n-1 的结论。,8.3.1 单个正态总体方差的 2 检验,设 X1, X2, , Xn 为来自总体 N(
9、, 2) 的样本， 和 2未知，求下列假设的显著性水平为 的检验。,思路分析:,1. H0: 2 =02；H1: 2 02,8.3 正态总体方差的检验,当原假设 H0: 2 = 02成立时，S2和02应该比较接近，即比值 S 2/02应接近于1。所以,这个比值过大或过小 时，应拒绝原假设。 合理的做法是: 找两个合适的界限 c1 和 c2 , 当 c1(n-1)S2/02 c2 时，接受H0； 当 (n-1)S2/02c1 或 (n-1)S2/02c2 时, 拒绝 H0 。,由于当原假设 H0: 2 = 02成立时，有,上述检验法称为 2 检验法。,c1与 c2 的确定,同理，当 H0: 2
10、= 02成立时，有，,此检验法也称 2 检验法。,2. H0: 2 02；H1: 2 02,例1：某公司生产的发动机部件的直径 (单位: cm) 服从正态分布，并称其标准差 0=0.048 。现随机抽取5个部件，测得它们的直径为 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44. 取=0.05，问: (1). 能否认为该公司生产的发动机部件的直径 的标准差确实为= 0? (2). 能否认为 0?,解: (1). 的问题就是检验 H0: 2 = 02; H1: 2 02. 其中，n=5， =0.05，0=0.048.,故，拒绝原假设 H0 ，即认为部件直径标准差不是 0.048 cm。,经计算，得 S2=0.00778,故，拒绝原假设 H0，即认为部件的直径标准差超过了 0.048 cm。,(2). 的问题是检验 H0: 2 02 ; H1: 2 02.,小结,本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。,
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