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1、10.2 导数在研究函数中的应用,知识梳理,1.导数与函数的单调性：,f (x)0 f(x)单调递增； f (x)0 f(x)单调递减， 其中f (x)不恒等于0.,函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有的点，都有 （1）f(x)f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的极小值； （2）f(x)f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的极大值.,2.函数极值的概念：,3.函数极值的判定原理：,在x0附近左侧f (x)0，右侧f (x)0，则f(x0)是极大值； 在x0附近左侧f (x)0，右侧f (x)0，则f(x0)是极小值.,4.函数最值的判定原理：,若函数f(x)在区间a，b内的
2、图象是一条连续不断的曲线，将函数f(x)在开区间(a，b)上的所有极值与区间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值.,拓展延伸,1.在区间D内f (x)0是f(x)在区间D上单调递增的充分不必要条件.,2.函数极值只能反映函数在某个局部的最大值和最小值情况，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系.,3.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且有多个极值点，则函数的极值点是交替出现的.,4.若f(x0)为函数的极值，则x0称为极值点.可导函数在极值点的导数一定为0，但导数为零的点不一定是极值点.,5.若定义在区间D上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间D内只有一个极值点
3、，则该点也是函数f(x)在区间D上的最值点.,考点分析,考点1 导数在函数单调性问题中的应用,例1 设b为实常数，确定函数 的单调区间.,例2 已知函数 存在单调递减区间，求实数a的取值范围.,例3 设a0为常数，若函数 在区间1，1上 是减函数，求a的取值范围.,例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 . （1）若ab3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(，)，(2，)内单调递增，在(，2)，(，)单调递减，证明：6.,【解题要点】 求导后要指出定义域由导数大于0得递增开区间，定义域内其余区间为递减区间单调递增条件转化为导数非负.,考点2 导数在函数极值问题中的应用,例5 求函数 的极值
4、.,例6 已知函数 有极小值0，求实数a的值.,例7（09年湖南卷文）已知函数 的导函数的图象关于直线x2对称，且函数f(x)在xt处取得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和值域.,例8（09年全国卷）已知函数 有两个极值点x1和x2，且x1x2. （1）求实数a的取值范围； （2）证明 .,【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点结合图象确定极值类型.,考点3 导数在函数最值问题中的应用,例9 设a为实常数，e为自然对数的底数，若函数f(x)axlnx在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.,例10 试推断函数 在区间(0，)上是否存在最小值，并说明理由.,【解题要点】 利用导数分析函
5、数单调性根据函数单调性确定最值对超越导数式要进行再次求导.,考点4 导数在不等式问题中的应用,例11 (08安徽卷)若对任意x(0，1) 不等式 恒成立，求实数a的取值范围.,例12 若对任意x0，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.,例13 (08全国卷)若对任意x0不 等式 恒成立，求实数a的 取值范围.,【解题要点】 将不等式作适当变形合理构造函数不等式问题转化为函数最值或单调性问题直接法与反证法相结合.,考点5 导数在函数零点和方程问题中的应用,例15 设a0为常数，若函数 有零点，求a的取值 范围.,例16 试推断方程 是否有实根？若有，求出实根个数；若没有，说明理由.,【解题要点】 合理构造函数分析函数的极值与图象形态数形结合沟通方程的根与函数图象交点的关系.,
高三数学导数在研究函数中的应用.ppt
