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1、第十单元 导数及其应用,10.1 导数的概念及运算,知识梳理,1.函数的平均变化率：,代数式 称为函数yf(x)从 x1到x2的平均变化率.,2.导数的概念：,函数f(x)在xx0处的瞬时变化率叫做函数f(x)在xx0处导数，记作 f (x0)或y|x=x0，即,3.导数的几何意义：,导数f (x0)表示函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率.,4.导函数的概念：,函数 称为f(x)的导函数(简称导数).,5.基本导数公式：,（1） ；,（2） ；,（3）(sinx)cosx；,（4）(cosx)sinx；,（5） ；,（6） ；,（7） ；,（8） .,6.导数的四则运算法则：,（1） ；
2、,（2） ；,（3） .,7.复合函数的求导法则：,设函数yf(u)，ug(x)，则,拓展延伸,1.函数的平均变化率记作 ，其几何意义是连结点(x1，f(x1)和(x2，f(x2) 的直线的斜率，代数式 表示函数f(x)从x0到x0 x的平均变化率.,2.利用导数定义求函数f(x)在xx0处的导数的基本步骤：,第一步，求函数值增量： yf(x0 x)f(x0)；,第二步，求平均变化率：,第三步，取极限，求导数：,3.由导数定义可知:,4.函数yf(x)在其图象上一点P(x0，y0)处的切线方程是,5.当x变化时，f (x)也是一个函数，其值域是函数f(x)图象上各点的切线的斜率组成的集合.,6
3、.函数yc，yx，yx2， ， 都是幂函数，其导数可利用 求得.,7.若c为常数，则 .,8.对于复合函数yf(g(x)，f(u)称为外层函数，g(x)称为内层函数，u称为中间变量.求复合函数的导数，要认清中间变量，必要时可以通过换元细化求导过程，但最后要将中间变量代回到原自变量.,考点分析,考点1 导数概念的实际背景问题,例1 (09湖北卷)设球的半径R(t)为时间t的函数，若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( ) A.成正比，比例系数为c B.成正比，比例系数为2c C.成反比，比例系数为c D.成反比，比例系数为2c,D,例2 某盏路灯距离地面高8m，一个身高1
4、.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.,【解题要点】 由 求平均变化率由导数求瞬时变化率.,考点2 导数概念与极限问题,例3 设函数 (nN*)，求 的值.,例4 求证：若f(x)为偶(奇)函数，则f(x)为奇(偶)函数.,例5 已知函数f(x)的图象是一条连续 不断的曲线，且 ，求f(1).,【解题要点】 利用导数定义沟通导数与极限的关系将导数与极限进行相互转化.,考点3 求给定函数的导数,例6 求下列函数的导数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） .,例7 已知函数 ， 若存在x0R，使得 f (x0)0，且f(x0)0，
5、求实数a的值.,【解题要点】 对函数式作适当变形认清复合函数的内、外层函数细化求导过程.,考点4 曲线的切线问题,例8 已知曲线 . （1）求曲线在点P(2，4)处的切线方程; （2）求曲线过点P(2，4)的切线方程.,例9 已知曲线C： 和点 M(1，1). （1）证明：过点M可作曲线C的两条切线; （2）过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：点A，B关于直线yx对称.,例10 (08宁夏海南卷改编) 设函数 (a，bZ)， 曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.求证：曲线yf(x)上任意一点的切线与直线 x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出这个定值.,【解题要点】 设切点坐标由切点处的导数确定切线的斜率由方程思想求未知数的值.,
高三数学导数的概念及运算.ppt
