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1、,贵州财经学院数学与统计学院,第一节 相关与回归分析的基本概念,第七章 相关与回归分析,第二节 简单线性相关与回归分析,一、函数关系与相关关系,（一）函数关系,1、是一一对应的确定关系. 2、当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。 3、各观测点落在一条线上.,客观现象总是普遍联系和相互依存的。客观现象之间的数量联系存在着两种不同的类型。一种是函数关系；另一种是相关关系。,第一节 相关与回归分析的基本概念,y = f (x),4、 函数关系举例。 当某种商品的单价p 一定时，其销售额(y)
2、与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2,（二）相关关系,1、变量间关系不能用函数关系精确表达； 2、一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定； 3、当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有 若干个； 4、各观测点分布在直线周围 。,相关关系是指客观现象之间存在一定的数量关系，但这种关系是不确定的、不严格的数量依存关系。,y = f (x),x,y,5、相关关系举例 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关
3、系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,二、相关关系的种类 （1）按相关的程度分，有完全相关、不完全相关和不相关。 （2）按相关的性质分，有正相关和负相关。 （3）按相关的形式分，有线性相关和非线性相关。 （4）按影响因素多少分，有单相关和复相关和偏相关。,当自变量X值增加，因变量Y值也随之增加，这样的相关关系就是正相关。,当自变量X的值增加时，因变量Y的值随之而减少，这样的相关关系就是负相关。,正相关,负相关,一个因变量与一个自变量的相关，也称为一元相关。,单相关,正线性相关,负线性相关,不相关,完全正线性相关,完全负线性相关,非线性相关,三
4、、相关分析与回归分析,（一）概念,相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系的两种基本方法。,1、相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化,2、相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量,3、相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切 程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,（二）相关分析与回归分析的关系,（三）相关分析与回归分析的主要内容,1、确定现象
5、之间有无相关关系，以及相关关系的表现形态。 （1）定性分析； （2）制作相关图（或相关表）。 2、确定相关关系的密切程度。 （1）相关系数的计算； （2）相关系数的检验。 3、确定相关关系的回归数学模型，并进行参数估计。 4、回归预测，并计算估计标准误差。,四、相关表和相关图,相关图又称散点图。用来反映两变量之间相关关系的图形。根据表71的资料绘制的相关图如下：人均收入（x）和人均消费（y）,结果显示：两者存在线形关系，且相关程度密切。,五、相关系数,（一）概念 相关系数（单相关系数）是测定两变量是否线性相关且相关关系 密切程度的指标。它包括总体的相关系数和样本的相关系数。,定义式：,（二）相
6、关系数（样本相关系数 ）的计算,计算公式,r 的取值介于-1与1之间。 r=0 不存在线性关系； r1 完全线性相关（函数关系）； 0|r|1不同程度线性相关； r 越接近0相关程度越弱， r 越接近 1相关程度越强。 (00.3 微弱，0.30.5 低度； 0.50.8 显著；0.81 高度),（三）相关系数的特点,2000年我国部分省市城镇居民人均消费支出和收入情况,上例中：r=0.9933,样本相关系数是利用样本数据计算的，因而带有定的随机性。样本容量越小其可信程度就越差因此也需要进行检验。,检验统计量,t检验：对总体相关系数是否等于0进行检验,（四）相关系数的检验（t检验）,在一定的显
7、著水平下，当tt /2，接受H0，两者不存在线性相关,上例中：r=0.9933 n=13,查表可知；显著水平为1，自由度为11的临界值t / 23.106。上式中的r值大于3.106，拒绝H0。接受H1 。因此r通过显著性检验。这就是说，这一结论证明人均收入（x）和人均消费（y）之间存在一定程度的线性相关关系。,第二节 简单线性相关与回归分析,一、一元线性回归模型的建立 二、一元线性回归模型的估计,一、一元线性回归模型,u 是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对的影响。,在回归分析中，最简单的模型是只有一个因变量和一个自变量的线性回归模型，即一元
8、线性回归模型。 该模型假定因变量y主要受自变量x的影响，它们之间存在着近似的线性函数关系，即有：,(一)总体一元线性回归函数,12u,(二)样本一元线性回归函数: 一般情况下，总体回归函数是未知的，需要利用样本的信息对其进行估计。根据样本数据拟合的直线，称为样本回归直线。显然，样本回归线的函数形式应与总体回归线的函数形式一致。样本一元线性回归模型可表示为：,即,实际观测值Y，并不完全等于样本回归直线上因变量估计值 ，如果用e表示二者之差(e Y- ），则有,样本回归线与随机误差项,Y,(e Y- ）称为残差， 在概念上，与总体误差项u相互对应；,。,=0,估计回归方程的参数有许多方法，其中使用
9、最广泛的是最小 平方法，下面我们采用最小平方法来估计回归方程的参数。 最小平方法的中心思想，是通过数学方程，配合一条较为理 想的趋势线，这条趋势线必须满足两个条件：,二、一元线性回归模型的估计,（一）回归系数的估计,(1)原数列的观测值与方程的估计值的离差平方和为最小 (2)原数列的观测值与方程的估计值的离差总和为零,设,将对求偏导数，可得:,加以整理后有：,以上方程组称为标准方程组，式中的是样本容量。,回归系数的最小二乘估计量,求解这一方程组可得：,（二）总体方差的估计,利用直线回归方程，估计或预测出的因变量数值 与实际值y可能一致，也可能不一致。因而就产生了估计值的代表性问题。2是测定回归
10、方程推算结果（估计值）的准确程度（代表性）的统计分析指标。,总体方差是总体随机误差项u的方差2 。 2可以反映总体回归模型误差的大小。由于随机误差项本身是不能直接观测的因此，需要用样本残差e的方差2来估计2 。,式中， e是样本残差，分母是自由度，其中是样本观测值的个数。,估计标准误差,是测定样本回归线的代表性强弱的指标。越小表明实际值与所拟合的样本回归线的离差程度越小，即回归线具有较强的代表性。反之， 越大表明实际值与所拟合的样本回归线的离差程度越大，即回归线的代表性较差。,2的正平方根叫做回归估计的标准误差。,（三）图示,例某地区20022006年水稻产量资料如下：,试用最小平方法配合趋势直线并预测2007年水稻产量。,
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