《系统动力学导论》.ppt

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1、,（3）倍增时间Td 倍增时间定义为变量由初始值增至二倍的初始值所需要的时间。 Td=0.6*T 倍增时间约等于70的时间常数T。即每经过一段时间Td，LEV的值将较前增加一倍。 P92的图5.2表示了倍增时间常数与时间常数的关系。,一阶负反馈系统的重要参数 (1)方程式的基本形式,方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK R RT.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K LEV(t)=GL-GL-LEV(0)e-CONST*t,（2）时间常数T P93 （3）减半时间常数（或半衰期）Th Th=0.69T,3.3 正反馈系统,工资-物价增长系统的应关

2、系图,正反馈可以形成良性和恶性两种循环。 指数增长和指数崩溃的特点是，一开始增长和崩溃的很慢，然后在短时间内猛增和猛减。,3.2.1 正反馈的一般结构,L LEV.K-LEV.J+DT*RT.JK N LEV=1 R RT.KL=CONST*LEV.K C CONST=0.2 C DT=1 计算步骤如P95,32。2 正反馈过程的特征 （1）指数增长的特点 P97 t15Td之后，状态变量的值猛然暴涨。 （2）超指数增长 P98 （3）指数增长与崩溃特性,时间,变量,变量,变量,0,指数增长和指数崩溃曲线,3.4 负反馈系统,负反馈系统是负反馈回路起主导作用的系统。它具有跟随目标（寻的）的特性

3、。,3.4.1 负反馈结构的因果与相互关系图、流图与方程式 负反馈结构的因果关系图包含四个基本单元期望状态（目标）、偏差、校正量（速率）、系统状态（水平）。,方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK N LEV=0 R RT.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.1 A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 式中： LEV状态（单位） RT速率（单位/时间） CONST常数（1/时间） DISC偏差（单位） GL目标值（单位）,3.4.2 负反馈系统的特性,状态随时间变化曲线包括两个区段：瞬态（过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。 在过渡区段，LEV值与目

4、标值GL不相等。此时LEV具有寻的与瞬变的特点；在稳定区，LEV值接近或近似地达到目标值，稳定不变。RT也最终近似地达到“0”。 负反馈系统中LEV作为时间的函数的解析表达式： LEV(t)=GL+LEV(0)-GLe-constT*t,3.4.3 寻的负反馈系统的行为的三种模式,（1）GL 0，LEV0，(LEV(0)-GL) 0，LEV0，(LEV(0)-GL) 0； （3）GL0，LEV 0。 模式3如教材P105 图5.25所示 模式3称为零目标结构。目标值GL为“0”，状态值由LEV（0）指数衰减至“0”。,3.5 负反馈系统的补偿特性,负反馈系统具有当其状态变量受外生输入（或输出）

5、速率作用时仍力图使状态变量趋于目标值的特性，称为补偿特性。,系统的方程式如下： L LEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-RT1.JK) R RT1.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 R RT2=CRT C CRT=8,NTRT纯速率（单位/时间） R NTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK X = CONST*DISC.K+ CRT X = CONST*(GL-LEV.K) + CRT 根据RT1.KL 、RT2.KL和NTRT.KL，可绘制系统的速率状态曲线图：P107,下面求新的目标值： 假定NTRT=0，则可得： CRT=

6、-CONST(GL-LEV) =-CONST*GL+LEV*CONST LEV=CRT/CONST+GL LEV=NGL=CRT/CONST+GL NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180 由此可见，系统新的平衡值较期望的目标值GL增加了T*CRT，即为时间常数T与不变的输入速率CRT（或RT2）的乘积。,综上所述，负反馈系统的补偿功能，当系统在附加输入或输出速率的情况下，可自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期望的目标值不同。其差值与与系统的时间常数及外生速率有关。 例如：库存控制系统的负反馈补偿特性。P108,方程式： L INV.K=INV.J+DT*(OR.KLSR.KL

7、) N INV=DINV R OR.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.5 A DISC.K=DINV-INV.K C DINV=200 R SR.K=STEP(20，4) 如P108 如5.29所示。,求新的目标值NGL： 方法1： 2002040 GL=DINV=200 NGL=200-40=160 方法2： NGL=GL+T*SR=200-1/0.5*20=200-40=160,3.5 S形增长的反馈结构,如P 110 图5.30所示。 S增长的反馈结构，包含指数和渐进两种增长过程。过渡区是由两种明显不同的增长方式组成：先是指数增长，继之渐进增长。前者是正反馈起主导作用，

8、后者是负反馈起主导作用。,3.5.1 S形增长的系统内部结构 方程式： P111,第四章 模型与方程的建立,建立方程是把模型“翻译”成数学方程式的过程，把非正规的、概念的构思转换成正式的定量的数学表达式规范的方程。 41 状态方程 状态变量，是随时间而变化的积累量，是物质、能量与信息的储存环节。 4.1.1 状态方程的标准格式 状态方程的标准格式： L LEV.K=LEV.J+DT*(INFLOW.JK-OUTFLOW.JK),4.1.2 状态变量的确定原则 （1）是否把一个量定义为状态变量，取决于是否能把这个量看作为某种对时间的积累过程。 例如：人口、企业雇员数、库存、生产能力、血清胆固醇、

9、银行结存、文化传统、人的习惯、人的感受等。 当设想把时间暂停的时候，这些量也不会消失。 （2）是否把一个量定义为状态变量，要看它的变化速度与模型的时间坐标比较是快还是慢而定：变化速度慢的量可定义为常数，变化速度快的量可定义为辅助变量，一般情况则视为状态变量。 （3）量纲无助于判断是否是状态变量。,4.2 速率方程 速率变量的功能是把影响系统状态的诸因素转换成改变系统状态的行动。 速率方程没有同一的标准格式。 （1）LEV.K*CONST R RATE.KL=LEV.K*CONST,例如1：,方程式： R IPR.KL=BAL.K*FAIR 式中： IPR利息（元/年）； BAL银行结存（元）；

10、 FAIR年利率（1/年）。 方程中的量纲要保持一致： IPR元*（1/年）元/年,例如2：,方程式： R PR.KL=WF.K*PROD 式中： PR产值（件/月）； WF雇员（人）； PROD生产率（件/人*月）。 检验量纲的一致性： PR人*（件/人*月）件/月,（2）R RATE.KL=LEVEL.K/LIFE 式中： LIFE使用年限或寿命 例如1：,R SR.KL=BCKLOG.K/DD 式中： SR发货率（件/周）； BCKLOG订货积压（件）； DD交货延迟（周）。 交货延迟：从订货开始到交货为止所需要的平均时间。,例如2：,例如3： 矿区人口模型 （3）（GOAL-LEVEL

11、.K）/ADJTM 方程式： R RATE.KL=(GOAL.K-LEVEL.L)/ADJTM 式中： ADJTM调整时间。 例如：,方程式： L WF.K=WF.J+DT*HFR.JK R HFR.KL=(WFS.K-WF.K)/WFAT 纯速率，是指输入速率和输出速率的代数和，其值可正或负或零。 纯速率能使劳动力人数增或减，取决于WF与WFS值的相对大小。,（4）LEVEL.K*AUX.K与LEVEL.K/AUX.K 方程式： R RATE.KL=LEVEL.K*AUX.K R RATE.KL=LEVEL.K/AUX.K 式中： AUX辅助变量。 例如1：,方程式：R PR.KL=WF.K

12、*PROD.K,例如2： 方程式： R POLA.KL=POL.K/POLAT.K,（5）EFFECT.K+NORM.K 方程式： R RATE.KL=NORM.K+ EFFECT.K 式中： RATE速率； NORM额定速率； EFFECT某些因素的影响作用。 例如1：,雇佣率的方程式： R HR.KL=AQR.K+(WFS.K-WF.K)/WFAT 式中： HR雇佣率（人/月）。 AQR平均离退率（人/月）； WF雇员（人）； WFAT雇员调整时间（月）。,其中，AQR（平均离退率，即为额定雇佣率）相当于标准公式中的额定速率NORM，企业就是按AQR雇佣新雇员以代替正常的离退人员，以保持雇

13、员的总数。 (WFS.K-WF.K)/WFAT相当于标准公式中的某些因素的影响作用EFFECT。 例如2：,PR产量的方程式： R PR.KL=EFFECT1.K+EFFECT2.K+NORM.K = AUX.K +NORM.K 详细的PR方程式： R PR.KL=ASR.K+AUX.K A AUX.K=IC.K+BC.K A IC.K=(DI-INV.K)/IAT A BC.K=(DB-B.K)/BAT,（6）EFFECT.K*NORM.K 此表达式是SD模型中最普遍使用的一种速率方程。它的特点是把速率考虑为某一额定速率乘以一个因子或与多个因子连乘的积。 如P167的图8.18所示。,4.3

14、 辅助变量方程,辅助变量是表述系统内部信息的变量。 辅助变量所包括的具体含义是多样性的，它们的量纲各不相同。 例如： 期望雇员WFS人； 库存校正系数IC 件/月； 污染净化时间年； 生产率件/人/周。 等等。 所以，不能从量纲的类型去判断一个变量是否是辅助变量。,4.3.1 辅助变量的确定原则： 在一个系统中，除去状态变量和速率变量，余下的变量则应为辅助变量。 4.3.2 辅助变量方程的代数表达式 辅助变量方程式的表达式类似于速率方程，都是代数运算，而且无标准格式。 若辅助变量是一个或一个以上具有同一量纲的量的函数，则他们之间应为代数相加的关系；若辅助变量的量纲不同于组成它的诸因素的量纲，则

15、它们之间应为乘或除等的关系。 例如1：,A NA.K=AREA-CA.K 这里确定那一个为辅助变量，应根据研究问题的角度确定。,例如2： A OB.K=S.K*OBPS 式中： OR订货率（件/月）； S推销员（人）； OBPS 每个推销员完成的交货率（件/月*人）。,4.4 模型的参数,系统动力学模型在进行模拟之前，首先必须对模型中的所有常数、表函数及状态变量方程的初始值赋值。辅助变量和速率均可从状态变量于常数算出，所以通常不必单独地计算它们的初始值。,SD模型参数与参数估计方法 （1）参数的种类： 1）常数类：常数（面积、生产率等）、转换系数、调节时间、参考值等； 2）表函数； 3）初始值

16、。 （2）参数值估计方法： 1）经过调查获得第一手材料； 2）从模型中部分变量间的关系中确定；,例如1：从城市系统模型中求建筑物毁损率HD的值 R HD.K=H.K/HL C HL=60 式中： HD建筑物毁损率（座/年）； H建筑物（座）； HL建筑物评价寿命（年）。,例如2：从SMOOTH方程的变量关系确定平滑时间STIME的值 A SVAR.K=SMOOTH(VAR.K，STIME) 式中： SVAR已平滑变量； SMOOTH平滑函数； VAR待平滑变量； STIME平滑时间。 如VAR突增100后经4个月Th达到其终值的50，则根据一阶系统参数关系式有： 0.69*STIME=Th 把

17、Th4代入得： STIMETh/0.69=4/0.69=5.86,3）分析已掌握的有关系统的知识估计参数值。 4）根据模型的参考行为特性估计参数值。 45 方程的初始值 模型中状态方程的初始值有三类： （1）拟合历史数据； （2）模型模拟从平衡开始； （3）模型模拟始于某些特殊的增长（或降低）规律。,451 模拟从平衡状态开始 平衡类模型：研究模型的动态过程涉及偏离平衡的问题。研究这类问题时，先是建立平衡模型，然后施以适当的扰动，使其产生特点的动态行为。 库存、捕食与被捕食、研究商业周期等模型。 所谓模型处于平衡是指模型中各状态变量的输入和输出速率达到均衡，整个模型处于动态平衡状态，各状态变量

18、值保持不变。,例如1：,方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*(IN.JK-OUT.JK) N LEV=? R IN.KL=EXOG.K R OUT.KL=LEV.K/CONST 按照系统平衡的定义得知，欲使系统平衡应有： IN=OUT IN=EXOG OUT=LEV/CONST LEV/CONST=EXOG 所以 LEV=EXOG*CONST,例如2： P194 库存控制模型 4.5.2 模拟从非平衡状态开始 略,4.6 DYNAMO的差错问题,4.6.1 错误分类 DYNAMO把程序中的错误按其严重程度分为三类：警告错误、严重错误和致命错误，并给出适当的指示与说明。 （1）凡是DYN

19、AMO能鉴别出来，但不影响模拟结果的错误称为警告错误。例如：时间下标的错误； （2）凡是影响模拟结果的错误称为严重错误。例如：在分时系统中DYNAMO将自动停止模拟。在批处理系统中，DYNAMO将把模拟继续下去，得出包含错误的结果，让用户自己从运行结果中寻找；,（3）凡是导致模拟无法进行的错误称为致命错误，模拟不能进行下去。 另外，DYNAMO还能指示出模拟运行中的其他错误：表函数输入错误数据、出现被0除的情况、浮点运算溢出、负数开平方或求对数等。 “同时N方程”（Simulation N equation）反馈回路中都是辅助变量而没有任何状态变量或平滑函数。,4.6.2 常见的其他错误 （1

20、）方程首列为空格：该方程不予模拟计算，实际等于被抹去； （2）混淆字母O与数字0； （3）行中出现空格：空格后的方程被截去； （4）行太长：超过72列不能被打印出来。,4.7 构思模型与建立模型方程的原则,471 构思模型结构的原则 （1）系统能比较完整地用状态变量加以描述； （2）模型中每一个反馈回路至少应包含一个状态变量，否则将出现同时辅助方程及不同速率直接连接的回路，这是不允许的； （3）物质守恒原则：状态A流向状态B，若B增大了，A必定减小；,（4）信息非守恒原则：信息可以从某一信息源传输至系统中其它变量或其它系统中去，但并不使信息源本身有所减少； （5）状态变量仅仅受其速率控制； （

21、6）唯有信息链能连接不同类型的物流守恒系统或子块。例如：雇员状况能影响产量，进而影响库存的进货率，但雇员绝不能作为货物直接进入库存。因为雇员和库存是两种不同类型的物质系统，它们之间的相互影响必须借助信息链的作用。,472 建立模型的原则 （1）关于量纲 1）每一个方程的左右两边的量纲必须一致； 2）不能仅仅从量纲的含义来判别系统中的状态变量与速率变量； 3）在同一物质系统（或子系统）中的状态变量组应该具有相同的量纲，它们的速率的量纲都为状态的量纲除以时间。 （2）关于参数 模型中的每一个参数应该是有意义的或是在真实系统中能找出对应物。不应为了凑出量纲而造出毫无实际意义的比例系数或换算系数。,第

22、五章 模型的正确性、有效性、信度与检验,5.1 系统动力学模型的检验 系统动力学模型的检验包括适合性与一致性检验两个方面。适合性检验包括结构的适合性检验与行为的适合性检验；一致性检验包括模型结构与实际系统的一致性检验与模型行为与实际系统的一致性检验； 5.1.1 模型结构适合性检验 （1）量纲的一致性； （2）方程式极端条件检验； （3）模型界限是否合适。,5.1.2 模型行为适合性检验 （1）参数灵敏度：检验模型行为对参数值在合理范围内变化的灵敏度； （2）结构灵敏度：检验模型行为对结构与相应的方程式的合理变动是否过于敏感。 5.1.3 模型结构与实际系统一致性检验 （1）外观检验：检验模型的结构看起来是否与实际系统相像； （2）参数含义及其数值检验：一是参数是否可在实际系统中辨别出它们相应的具体含义。二是参数值范围的选择是否较好地与实际反馈系统中的可获得的信息变化情况一致。,5.1.4 模型行为与实际系统一致性检验 （1）模型行为是否能重现参考模式； （2）认真对待模型的奇特行为； （3）极端条件下的模拟； （4）统计学方法检验。 5.2 建立系统动力学模型的步骤 1、确定系统分析目的； 2、确定系统边界，即系统分析涉及的对象和范围； 3、建立因果关系图和流图； 4、写出系统工程学方程； 5、进行仿真试验和计算。,