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1、1、选择中(t)或e()，使(t - k)为一组正交归一基;keZ2、求勺。、=(e(t),e in(t或h ()=e (2)/ e ()3、由、求gn。g = (-1)nh n1-n或 G (o) = e -1 H ( m)4、由gn, e(t)构成正交小波基函数n(t)Nt) = gnein (t)或 No) = G (o /2)e (o /2)Haar小波的构造1)、选择尺度函数。f 1 0 t 1e (t) = 10其他易知e (t-n)关于n为一正交归一基。2)、求 hnh = fe(t),e(t = J2j e(t)e(2t-n/t其中1e (2t-n) = n +1r1 t -其
2、他0 其他当n=0时，10e(2t)=0当n=1时，1 1 t 120 其他故，当n=0, n=1时 11 n = 0, n =1 甲(t) 甲n) = 0其他当n=0时，101 t 2其他当n=1时，- t 1 2其他h“5(,)E，L n 其：T3)、求 gng = (1)nh =n1n1以 n = 0-1/ 拦 n = 10其他4)、求 4 (t)。4 (t) = z gq 1n (t)=g 甲(t) + g 甲(t)0 -1,01 1,1/ 回(2t)-，回(2t 1)110 t 2=一 1 - t 120其他其图形如下:气!七I1、Haar尺度函数1 0rl其他Haar尺度函数空间：
3、 ,(p(2f+ 2)&(2心+ l),(p(2心),(p(2f l),(p(2心1), j 为非负的整数，该空间又称为j级阶梯函数空间V。则j . V uV uV u uV uV(=V u012j-1 j j+1随j的增加，分辨更为精细。2、性与 .函数集顼2甲X-是V.的一个标准正交基。J当且仅当 /(2；x)gV o0j3、Haar小波函数函数满足两点：。是匕的成员；8与匕正交。8 (x) (p(2x) (p(2x 1)性质：J 8 3)或=083)是对称的、局部支撑的函数；小波函数空间W : Z a (2ix-ka e Rj kkkeZw是V的正交互补，即v =vw j j7+1 j
4、j函数集七再工-A)：sz是W .的一个标准正交基J4、Haar小波分解与重建对 Haar 小波，有= (|)(2j-i工)+ (p(2j-iX) /2。(2jx-1) = (。(2j-1x)-甲(2j-1x) / 2Haar小波分解定理：设：/ (x) = a (2 jx - k),f (x) g VkeZ则它可以有如下分解：fj = f, 1 +七/ = aj-1 (2j-1 x-k),f (x) g VkZ=bj-1 甲(2j-1 x-k),w(x) g WkeZa j-1=a k+a mk 2a -abj-1 =2k+1k 2把函数f分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量j-1j-1f
5、 (x) = 2(4 x) + 2(4 x -1) + (4 x 一 2) 一(4 x 一 3)解：按照分解定理，此j=2,； k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，得出分解后尺度1-12- 2=0 ；分解后小波函数空间元素的系数是一=0，.2 + 2 一函数空间元素的系数是=2，21 - (-1) 12=1 ;从而f (x) = 2侦2 x) +中(2 x -1)1:11721IMatlab程序image1=imread(512.jpg);image1=rgb2gray(image1);subplot(2,2,1);imshow(imagel);title(origina
6、l image);image1=double(image1);imagew=imread(shuiyin.bmp);imagew= rgb2gray (imagew);subplot(2,2,2);imshow(imagew);title(original watermark);ca,ch,cv,cd=dwt2(image1,db1);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(ca, db1);cas,chs,cvs,cds=dwt2(ca1,db1);M=512;N=64;for i=1:Nfor j = 1:NCa(i,j) = cas(i,j)+0.01*imagew(i,j);end;
7、end;IM=idwt2(Ca,chs,cvs,cds,db1);IM1=idwt2(IM,ch1,cv1,cd1,db1);markedimage=double(idwt2(IM1,ch,cv,cd,db1);subplot(2,2,3);colormap(gray(256);image(markedimage);title(marked image);imwrite(markedimage,gray(256),watermarked.bmp,bmp);image1=imread(512.jpg);image1=rgb2gray(image1);image1=double(image1);i
8、maged=imread(watermarked.bmp);ca,ch,cv,cd=dwt2(image1,db1);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(ca,db1);cas,chs,cvs,cds=dwt2(ca1,db1);caa,chh,cvv,cdd=dwt2(imaged,db1);caa1,chh1,cvv1,cdd1=dwt2(caa,db1);caas,chhs,cvvs,cdds=dwt2(caa1,db1);for p=1:Nfor q=1:NW(p,q) = 100*(caas(p,q)-cas(p,q);end;subplot(2,2,4);colormap(gray(256);image(W);title(从含水印图像中提取的水印)；imwrite(W,gray(256),watermark.bmp,*bmp,);如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合!如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合!
一个小波变换实例及Matlab实现
