离散时信号的Fourier变换

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1、1第三章 离散时间信号 第三章第三章 离散时间信号离散时间信号 3.1 离散时间信号的离散时间信号的 Fourier 变换变换 3.2 抽样定理与信号插值抽样定理与信号插值 23.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 3.1 离散时间信号的离散时间信号的 Fourier 变换变换 三、离散时间信号的卷积与卷积定理三、离散时间信号的卷积与卷积定理 一、连续时间信号的离散化一、连续时间信号的离散化 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换 33.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 1.模数转换模数转换 一、连续时间信号的离

2、散化一、连续时间信号的离散化 信号的采集过程主要由三个部分完成。信号的采集过程主要由三个部分完成。将将连续时间信号连续时间信号 按照一定的时间间隔按照一定的时间间隔 离散取值离散取值,则得到则得到离散时间信号离散时间信号 抽样抽样 )(tx.)(nx的数字量进行近似，则得到的数字量进行近似，则得到数字信号数字信号 量化量化 将将离散时间信号离散时间信号 的值以一定的有限字长能够表示的值以一定的有限字长能够表示 )(nx.nx编码编码 将将数字信号数字信号 进行限失真编码，得到相应的二进制码进行限失真编码，得到相应的二进制码,nx便于存储、传输以及处理。便于存储、传输以及处理。43.1 离散时间

3、信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 2.信号的抽样信号的抽样(或采样或采样)一、连续时间信号的离散化一、连续时间信号的离散化 t)(tx原始信号原始信号 其中，其中，称为称为采样间隔采样间隔，单位：秒，单位：秒(s)；称为称为采样频率采样频率，单位：，单位：1/秒秒(s)=赫兹赫兹(Hz)。/1即每秒采即每秒采 250 个点。个点。t)(nx抽样信号抽样信号 例如例如 ,4004.0mss 若若 ,250004.0/1/1Hz 则则 实际采样实际采样 与理想采样与理想采样 53.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 一、连续时间信号的离散化一、连续时间

4、信号的离散化 3.常规的预处理常规的预处理 (1)重采样重采样 为了尽可能多地保留原始信号的信息，实际的采样间隔为了尽可能多地保留原始信号的信息，实际的采样间隔 (2)去除野值去除野值 对一些明显不合理的异常数据直接进行修正。对一些明显不合理的异常数据直接进行修正。(3)去除噪声去除噪声 主要是利用加权平均等手段进行前期的简单去噪。主要是利用加权平均等手段进行前期的简单去噪。通常会取的通常会取的“相当相当”小。小。问题的不同需求重新进行采样。问题的不同需求重新进行采样。因此，在具体处理时，可以根据因此，在具体处理时，可以根据 63.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号

5、 一、连续时间信号的离散化一、连续时间信号的离散化 3.常规的预处理常规的预处理 (4)去除趋势项去除趋势项 在实际信号采集时在实际信号采集时,有时会发生有时会发生“基线漂移基线漂移”现象现象(如图如图),因因 此，需此，需 要根要根 据它的趋势据它的趋势(即走向即走向)进行消除。进行消除。一般采用低次多项式拟合来进行修正。一般采用低次多项式拟合来进行修正。P Q R T U S 73.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 一、连续时间信号的离散化一、连续时间信号的离散化 3.常规的预处理常规的预处理 (5)去除均值去除均值 所谓所谓去除均值去除均值是将信号减去它的均

6、值，使其均值为零。是将信号减去它的均值，使其均值为零。)(tst该该 过过 程也称为信号的程也称为信号的 零均值化零均值化。如图，设如图，设 信号信号 的均值的均值 为为 C，)(tx则零均值化后的信号为：则零均值化后的信号为：.)()(Ctxts 等一些处理之前常常要先进行信号的零均值化处理。等一些处理之前常常要先进行信号的零均值化处理。进行信号的频谱分析进行信号的频谱分析 相关分析相关分析 、)(txtC 83.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 一、连续时间信号的离散化一、连续时间信号的离散化 3.常规的预处理常规的预处理 (5)去除均值去除均值|)(|fXf

7、|)(|fSf)(txtC )(tst对信号对信号 进行频谱分析进行频谱分析 )(tx例如例如 由由 有有 ,)()(Ctstx .)()()(fCfSfX 当当 时，时，0 f;)()(fSfX 可见，对信号进行零均值化处理后，可见，对信号进行零均值化处理后，.)0()0(X当当 时，时，0 f,0)0(S更有利于进行频谱分析。更有利于进行频谱分析。93.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 1.简单分析简单分析 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换 抽样信号可以看成是由一系列抽样信号可以看成是由一系列(矩形矩形)脉冲信号或冲激信号脉冲信号

8、或冲激信号 组成，组成，因此，无论原来的信号是否为周期的，经过采样后的离散因此，无论原来的信号是否为周期的，经过采样后的离散 时间信号的频谱一定是时间信号的频谱一定是连续谱连续谱，即含有各种频率成份。，即含有各种频率成份。由此可见，要想对离散时间信号进行频谱分析，关键是要由此可见，要想对离散时间信号进行频谱分析，关键是要建立起建立起离散函数离散函数与与连续函数连续函数之间的一对之间的一对 Fourier 变换。变换。事实上，这样的变换在前面已经得到了，即事实上，这样的变换在前面已经得到了，即 Fourier 级数级数;剩下的工作是改造剩下的工作是改造 Fourier 级数并赋予新的物理含义。级

9、数并赋予新的物理含义。而而(矩形矩形)脉冲信号或冲激信号的频谱是脉冲信号或冲激信号的频谱是连续谱连续谱。103.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 2.形式推导形式推导 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换 ;)()(020etfnjfnXtx n.d)()(2/2/20000e TTtfnjttxfnX0T1)(0fnX0f0f f)(txt20T2 0T 下面纯粹是从数学变换的角度，利用符号替换对下面纯粹是从数学变换的角度，利用符号替换对 Fourier 级数进行改造。级数进行改造。按照按照 Fourier 级数展开，有：级数展开，有：

10、示示 意意 图图 如图，设如图，设 是周期为是周期为 的周期信号，基频为的周期信号，基频为 )(tx0T,/100Tf 113.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 2.形式推导形式推导 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换 )(nx t)(fXf 21 2 1;)()(2efnjnxfX n.d)()()2(/1)2(/12e ffXnxfnj替替 换换 替替 换换 ;)()(020etfnjfnXtx n.d)()(2/2/20000e TTtfnjttxfnX0T1)(0fnX0f0f f)(txt20T2 0T示示 意意 图图 示示

11、意意 图图 Xfx /1xtX0f0T123.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 2.形式推导形式推导 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换;)()(2efnjnxfX n.d)()()2(/1)2(/12e ffXnxfnj)(nx t)(fXf 21 2 1示示 意意 图图 ;d)()()2(/1)2(/12e ffXnxfnj.)()(2efnjnxfX n 考虑到具体物理背景，将上述式子进一步改造：考虑到具体物理背景，将上述式子进一步改造：用用 替换替换 ff 两边乘以两边乘以 133.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三

12、章 离散时间信号 2.形式推导形式推导 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换 记记 ,)()(fXfX ;d)()()2(/1)2(/12e ffXnxfnj.)()(2efnjnxfX n n;d)()()2(/1)2(/12e ffXnxfnj.)()(2efnjnxfX )(nx t)(fXf 21 2 1示示 意意 图图 则有则有 143.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 3.离散时间信号的离散时间信号的 Fourier 变换变换 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换 n;d)()()2(/1)2(/12

13、e ffXnxfnj.)()(2efnjnxfX )(nx t)(fXf 21 2 1示示 意意 图图 注注 (1)具有唯一性，即具有唯一性，即 和和 是一一对应的。是一一对应的。)(fX)(nx(2)积分可以在长度为积分可以在长度为 的任意一个区间上进行。的任意一个区间上进行。/1(3)如果不考具体的物理意义，则变换式中指数的正负号如果不考具体的物理意义，则变换式中指数的正负号 是可以互换的。是可以互换的。153.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 4.物理意义物理意义 二、离散时间信号的二、离散时间信号的 Fourier 变换变换(1)称称 为为 的的频谱密度函

14、数频谱密度函数(简称为简称为频谱频谱)，定义定义 )(fX)(nx它是以它是以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。/1(2)称称 为为振幅谱振幅谱；称称 为为相位谱相位谱。|)(|fX)(argfX Fourier 第第 四四 对对 傅傅 氏氏 变变 换换 非非周期周期 离散离散 连续连续 周期周期 )(nx)(fX n;d)()()2(/1)2(/12e ffXnxfnj.)()(2efnjnxfX 163.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 1.卷积的概念与性质卷积的概念与性质 三、离散时间信号的卷积与卷积定理三、离散时间信号的卷积与卷积定理 设有离散时间信号

15、设有离散时间信号 与与 ，定义定义 )(nx)(nh称称 为为 与与 的的(线性线性)卷积卷积，)(nx)(nh)(ny交换律交换律 )()(nhnx.)()(nxnhzyx .zyx 结合律结合律 zyx .zxyx 分配律分配律 性质性质 .)()()(nhnxny记为记为 k,)()()(knhkxny令令 173.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 2.卷积定理卷积定理 三、离散时间信号的卷积与卷积定理三、离散时间信号的卷积与卷积定理 设设 ，则，则 定理定理 )()()(nhnxny.)()()(fHfXfY 证明证明 nfnjnyfY 2e)()(fnjnhnx 2e)()(n n kfnjknhkx 2e)()(k nfkjfknjknhkx 2)(2ee)()(.)()(fHfX 183.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 休息一下193.1 离散时间信号的 Fourier 变换 第三章 离散时间信号 附附 实际采样与理想采样实际采样与理想采样 t)(txt)(txt)(txt)(txt)(ts1 t)()()(tstxtx t)(t 1 t)()()(ttxtx 实实 际际 采采 样样 理理 想想 采采 样样 数数 学学 等等 价价 表表 示示 (返回返回)抽样器抽样器 )(tx)(tx