1.5 全称量词与存在量词（原卷版）[1]

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1、2020-2021学年高一数学同步题型学案（新教材人教版必修第一册）第一章 集合与常用的逻辑用语15 全称量词与存在量词【课程标准】1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,并会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题,并能判断其真假2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定【本节知识点】知识点一全称量词与全称量词命题全称量词“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等符号全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“xM,p(x)”知识点二存在量词与存在量词命题存在量词“存在一个”“至少

2、有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等符号表示存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为“xM,p(x)”知识点三全称量词命题和存在量词命题的否定(1)全称量词命题的否定对含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：全称量词命题p：xM,p(x),它的否定p：xM,p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题(2)存在量词命题的否定对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论：存在量词命题p：xM,p(x),它的否定綈p：xM,p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题(3)在书写这两种命题的否定时,相应地存在量词变为全称量词,全称量词变为存在

3、量词【题型分类】题型一全称量词命题和存在量词命题的判断 题型要点点拨：判断全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词为“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”(3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词为“有的”等【例1】下列语句不是存在量词命题的是()A有的无理数的平方是有理数B存在一个四边形不是平行四边形C对于任意xZ,2x1是奇数D存在xR,2x1是奇数【例2】判断下列语句是

4、全称量词命题,还是存在量词命题凸多边形的外角和等于360；矩形的对角线不相等；若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直有些实数a,b能使|ab|a|b|；方程3x2y10有整数解【方法技巧】判断语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质【易错提醒】全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略【同类练习】1设非空集合P,Q满足PQ,则表述正确的

5、是()AxQ,有xPBxP,有xQCxQ,使得xP DxP,使得xQ2用量词符号“”或“”表述下列命题(1)对任意xx|x1,3x40成立；(2)对所有实数a,b,方程axb0恰有一个解；(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形题型二、全称量词命题与存在量词命题真假判断【例3】（多选题）在下列命题中,真命题有（ ）A,B,是有理数C,使D,E.命题“,”的否定是“,”【方法技巧】全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧(1)全称量词命题的真假判定要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题,只需举

6、出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)(2)存在量词命题的真假判定要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可；否则,这一存在量词命题就是假命题【同类练习】1有下列四个命题：xR,10；x1,1,0,2x10；xN,x2x；xN*,x为29的约数其中真命题的个数为()A1 B2C3 D42.下列结论中正确的是()AnN*,2n25n2能被2整除是真命题BnN*,2n25n2不能被2整除是真命题CnN*,2n25n2不能被2整除是真命题DnN*,2n25n2能被2整除是假命题题型三、含有一个量词的命题的否定【例4】写出

7、下列命题的否定,并判断其真假(1)p：x,yN,xyN；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)s：至少有一个实数x,使x310.【方法技巧】全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词, 同时否定结论(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定【同类练习】1写出下列命题的否定(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x120的根；(3)有些质数是奇数2判断下列命

8、题的真假,并写出它们的否定(1)对任意xR,x3x210；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)每个二次函数的图象都开口向下【本节同步分层练习】一、夯实基础1命题“存在实数x,使x1”的否定是()A对任意实数x,都有x1B不存在实数x,使x1C对任意实数x,都有x1 D存在实数x,使x12.（多选题）下列命题中,是全称量词命题的有（ ）A至少有一个x使成立 B对任意的x都有成立C对任意的x都有不成立D存在x使成立E.矩形的对角线垂直平分3下列命题中为存在量词命题的是()A所有的整数都是有理数B每个三角形至少有两个锐角C有些三角形是等腰三角形D正方形都是菱形4下列命题中是全称量词命题并且是真

9、命题的是()AxR,2x10B若2x为偶数,则xNC所有菱形的四条边都相等D是无理数5命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数6命题p：mR,方程x2mx10有实根,则綈p是()AmR,方程x2mx10无实根BmR,方程x2mx10无实根C不存在实数m,使方程x2mx10无实根D至多有一个实数m,使方程x2mx10有实根7已知命题p：x0,xa10,若p为假命题,则a的取值范围是()Aa|a1 Da|a18.若命题“xR,x24xa0”为假命题,则实数a的

10、取值范围是_9.下列四个命题：有些不相似的三角形面积相等；xQ,x22；xR,x210；有一个实数的倒数是它本身其中真命题的个数为_10判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除；(3)xx|x0,x2.二、能力提升1.命题“对任意的,”的否定是（ ）A不存在,B存在,C存在,D存在,2命题“任意的,”的否定是（ ）A存在,B存在,C任意的,D任意的,3.已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是( )ABCD4.（多选题）下列说法正确的是（ ）A命题“,”的否定是“,”B命题“,”的否定是“,”C“”是

11、“”的必要而不充分条件D“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件5（多选题）（下列命题的否定中,是全称命题且是真命题的是（ ）AB所有正方形都是矩形CD至少有一个实数x,使6.某中学开展小组合作学习模式,高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“xR,x22xm0”是假命题,求m的范围小李略加思索,反手给了小王一道题：若命题“xR,x22xm0”是真命题,求m的范围你认为,两位同学题中m的范围是否一致？_(填“是”“否”中的一种)7下列命题：存在x0,x22x30；对一切实数xx；xR,x；已知an2n,bm3m,对于任意n,mN*,anbm.其中,所有真命题的序号为_8若命题“xR,2x23xa0”是假命题,则实数a的取值范围是_9指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.（1）xN,2x1是奇数；（2）存在一个xR,使0；（3）对任意实数a,|a|0；10写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）；（3）平行四边形的对边相等；（4）三、挑战高考1.a,b,c为实数,且abc1,证明：两个一元二次方程x2xb0,x2axc0中至少有一个方程有两个不相等的实数根10已知命题p：xR,2xx2m,命题q：xR,x22xm10,若命题p为假命题,命题q为真命题,求实数m的取值范围科教兴国10