3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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1、3.1.2第1课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形(重点)2根据几何条件求出曲线方程,利用曲线的方程研究它的性质,并能画出相应的曲线(重点、难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0) (ab0)范围 对称性对称轴为 ,对称中心为 顶点A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)轴长短轴长|B1B2| ,长轴长|A1A2| 焦

2、点 焦距|F1F2| 2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的 (2)性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1时,椭圆 ；当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？【小试牛刀】思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.()(3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆()(4)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为1. ( )(5)设F为椭圆1(ab0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为ac(c为椭圆的半焦距)( )【经典例题】题型一

3、椭圆的简单几何性质由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2b2c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.例1 求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标跟踪训练1 已知椭圆C1：1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质题型二由几何性质求

4、椭圆的标准方程利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2,e等(2)在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0),离心率e；(2)经过点M(1,2),且与椭圆1有相同的离心率跟踪训练2求出满足下列条件的椭圆的标准方程短轴的

5、一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3。题型三求椭圆的离心率求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a,c可直接利用e求解若已知a,b或b,c可借助于a2b2c2求出c或a,再代入公式e求解(2)方程法：若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的齐次关系式,借助于a2b2c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围例3 设F1,F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点,P为直线x上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为_跟踪训练3 设椭圆1(ab0)的两焦点为F1,

6、F2,若在椭圆上存在一点P,使0,求椭圆的离心率e的取值范围跟踪训练4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,求椭圆C的离心率【当堂达标】1经过点P(3,0),Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A1B1 C1 D12已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()A.1 B.1 C.1 D.y213若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.4若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为,则m的值为_5比较椭圆x29y236与1的形状,则_更扁(填

7、序号)6已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标7.已知椭圆1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1PF2,求椭圆的离心率的取值范围【参考参考答案】【自主学习】1 axa且byb bxb且aya 坐标轴 原点 2b 2a F1(c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c) 2c 离心率 越扁思考：不是,离心率是比值,比值相同不代表a,c值相同,它反映的是椭圆的扁圆程度【小试牛刀】(1)(2)(3)(4)(5)【经典例题】例1 解把已知方程化成标准方程为1,所以a4,b3,c,所以椭圆的长轴长和

8、短轴长分别是2a8和2b6；离心率e；两个焦点坐标分别是(,0),(,0)；四个顶点坐标分别是(4,0),(4,0),(0,3),(0,3)跟踪训练1 解(1)由椭圆C1：1,可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(6,0),离心率e.(2)椭圆C2：1.性质如下：范围：8x8,10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10),(0,10),短轴端点(8,0),(8,0)；焦点：(0,6),(0,6)；离心率：e.例2 解(1)若焦点在x轴上,则a3,e,c,b2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上,则b3,e,解得a227.椭圆的方程为1

9、.所求椭圆的方程为1或1.(2)法一：由题意知e21,所以,即a22b2,设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1,解得b2或b23.故所求椭圆的方程为1或1.法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20),将点M的坐标代入可得k1或k2,解得k1,k2,故或,即所求椭圆的标准方程为1或1.跟踪训练2 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的标准方程解法一：若椭圆的焦点在x轴上,则设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上,则设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的

10、标准方程为1.综上所述,椭圆的标准方程为y21或1.法二：设椭圆方程为1(m0,n0,mn),则由题意得或解得或所以椭圆的标准方程为y21或1.例3 解析由题意,知F2F1PF2PF130,PF2x60.|PF2|23a2c.|F1F2|2c,|F1F2|PF2|,3a2c2c,e.跟踪训练3 解由题意知PF1PF2,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即在圆x2y2c2上又点P在椭圆上,所以圆x2y2c2与椭圆1有大众点连接OP(图略),则易知0bca,所以b2c2a2,即a2c2c2a2.所以c2a2,所以e1.所以e.跟踪训练4 解由题意知A(a,0),B(0,b),从而直线AB的方程为1,即bxayab0,又|F1F2|2c,c.b2a2c2,3a47a2c22c40,解得a22c2或3a2c2(舍去),e.【当堂达标】1. A由题易知点P(3,0),Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点,故椭圆的焦点在x轴上,所以a3,b2,故椭圆的标准方程为1.2.C 解析依题意知,所求椭圆的焦点位于x轴上,且c1,e,即a2,b2a2c23,因此椭圆的方程是1.3.A 解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点依题意可知,BF1F2是正三角形知识改变命运7