2.5.1 直线与圆的位置关系-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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1、2.5.1直线与圆的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系(难点)3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题(难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有 大众点相切只有 大众点相离 大众点2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离大众点个数判定方法几何法：设圆心到直线的距离d代数法：由消元得到一元二次方程的判别式【小试牛刀】1.若直线与圆有大众点,则直线与圆相交.( )2.如果直线与圆组成的方

2、程组有解,则直线和圆相交或相切.( )3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )4.过半径外端的直线与圆相切.( )【经典例题】题型一 直线与圆的位置关系直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系例1 已知直线方程mxym10,圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时,圆与直线：(1)有两个大众点；(2)只有一个大众点；(3)没有大众点跟踪训

3、练1 已知直线l：x2y50与圆C：(x7)2(y1)236,判断直线l与圆C的位置关系.题型二 圆的切线方程(1)点在圆上时求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为,由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由0求出k,可得切线方程提醒：切线的斜率不存在的情况,不要漏解例2 （1）求过圆x2y22x4y0

4、上一点P(3,3)的切线方程。（2） 求过点P(2,3)且与圆(x1)2(y2)21相切的直线的方程.跟踪训练2 (1)已知直线l：axby30与圆M：x2y24x10相切于点P(1,2),则直线l的方程为_(2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线,则该切线长的最小值为()A.1 B.2 C. D.3题型三 直线与圆相交求直线与圆相交时的弦长有三种方法交点法：将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的距离公式 |AB|求解.弦长公式：如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2| |y1y2|(

5、直线l的斜率k存在且不为0).几何法：如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有2d2r2,即|AB|2.通常采用几何法较为简便.例3 (1)求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.(2)过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A,B两点,如果|AB|8,求直线l的方程跟踪训练3 圆心为C(2,1),截直线yx1的弦长为2的圆的方程为_.【当堂达标】1.直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离2.若直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切,则b的值是()A.2或1

6、2 B.2或12C.2或12 D.2或123直线m：xy10被圆M：x2y22x4y0截得的弦长为()A4B2CD4已知直线l：(2m1)x(m1)y7m4,圆C：(x1)2(y2)225,则直线l与圆C的位置关系为_5若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为_6已知圆C经过点A(2,0),B(1,),且圆心C在直线yx上(1)求圆C的方程；(2)过点的直线l截圆所得弦长为2,求直线l的方程【参考参考答案】【自主学习】两个 一个 没有 两个 一个 零个 dr dr dr 0 0 0【小试牛刀】 【经典例题】例1 解法一：将直线mxym10代入圆的方程化简整理得,(1

7、m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4),(1)当0时,即m0或m时,直线与圆相交,即直线与圆有两个大众点；(2)当0时,即m0或m时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个大众点；(3)当0时,即m0时,直线与圆相离,即直线与圆没有大众点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24,即圆心为C(2,1),半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d.(1)当d0或m2时,即m0,该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.方法二(几何法)圆心(7,1)到直线l的距离为d2.dr6,直线l与圆C相交.例2 （1）解析x2y22x4y0的圆心为C(1,2), kPC,切线

8、的斜率k2,切线方程为：y32(x3),即2xy90.（2）解析P(2,3)在圆(x1)2(y2)21外,过点P(2,3)与圆(x1)2(y2)21相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y3k(x2)即kxy32k0,1,k0,切线方程为y3,当斜率不存在时,切线方程为x2.跟踪训练2 (1)x2y30根据题意,圆M：x2y24x10,即(x2)2y25,其圆心M(2,0),直线l：axby30与圆M：x2y24x10相切于点P(1,2),则P在直线l上且MP与直线l垂直kMP2,则有,则有b2a,又由P在直线l上,则有a2b30,可解得a1,b2,则直线l的方程为x2

9、y30.（2） C 解析圆心C(3,0)到yx1的距离d2.所以切线的最小值为l.例3 解(1)联立直线l与圆C的方程,得解得所以交点为A(1,3),B(2,0)故直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长|AB|.(2)将圆的方程配方得(x1)2(y2)225,由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在时,x4满足题意；当直线l的斜率存在时,设l的方程为yk(x4),即kxy4k0.由点到直线的距离公式,得3,解得k,所以直线l的方程为5x12y200.综上所述,直线l的方程为x40或5x12y200.跟踪训练3 (x2)2(y1)24 解析设圆的半径为r,由条件

10、,得圆心到直线yx1的距离为d.又直线yx1被圆截得的弦长为2,即半弦长为,r2224,得r2,所求圆的方程为(x2)2(y1)24.【当堂达标】1. B 解析圆心(0,0)到直线yx1的距离d1,直线与圆x2y21相交,又(0,0)不在yx1上,直线不过圆心.2.D 解析圆的方程为x2y22x2y10,可化为(x1)2(y1)21,由圆心(1,1)到直线3x4yb0的距离为1,得b2或12,故选D.3. Bx2y22x4y0,(x1)2(y2)25,圆M的圆心坐标为(1,2),半径为,又点(1,2)到直线xy10的距离d,直线m被圆M截得的弦长等于22.故选B.4. 相交由直线方程得(2xy7)mxy40,令得故直线l过定点A(3,1)由|AC|5得A点在圆内,因此直线l与圆C相交5. x2y50由题意,得kOP2,则该圆在点P处的切线的斜率为,所以所求切线方程为y2(x1),即x2y50.6.解(1)AB的中点坐标,AB的斜率为.可得AB垂直平分线方程为2x6y0,与xy0的交点为(0,0),圆心坐标(0,0),半径为2,所以圆C的方程为x2y24.(2)直线的斜率存在时,设直线的斜率为k,又直线l过,直线l的方程为yk(x1),即ykxk,则圆心(0,0)到直线的距离d,又圆的半径r2,截得的弦长为2,则有()24,解得：k,则直线l的方程为yx.知识改变命运7