经济数学基础小抄3-3(积分完整版电大小抄)-2011电大专科考试小抄

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1、经济数学根底积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点1, 4的曲线为 A Ay = x2 + 3 2. 假设22以下微分方程中，DD 是线性微分方程xysinx-ye2=ylnx341023微分方程(y)24.设函数+y(y)+xyxsin2=0的阶是 C C. 2(2x+k)dx= 2，那么k = A A12f(x)=x3以下等式不成立的是 D Dlnxdx=d(1)1+cosx，那么该函数是 A .A. 奇函数，那么x25. 假设f(x+1)=x+2x+4y=12(x+sinx)f(x)=( A )A. 2x+2 4假设f(x)dx=-e14e-x2-x2+c，那么f(

2、x)=D .A26. 曲线在x=0处的切线方程为(AD. - 5. B B1xy=x27. 假设28. 假设 xd(e1x-x)=1xxe-x+e-x+cf(x)的一个原函数是1x, 那么f(x)= DDC. 2xe2x2x3 6. 假设f(x)edx=-e2+c，那么f (x) = C f(x)dx=xe22x+c那么f(x)=(1+x)C二、填空题 1d7. 假设F(x)是Bf(x)的一个原函数，那么以下等式成立的是( B )e-x2dx=e-x2dxxaf(x)dx=F(x)-F(a)2函数1-1f(x)=sin2x的原函数是-212cos2x + c (c 是任意常数) 8以下定积分中

3、积分值为0的是 A Aex-e2-xx3假设4f(x)dx=(x+1)+c假设，那么f(x)=2(x+1).那么9以下无穷积分中收敛的是 C C+11x2dx-x2f(x)dx=F(x)+c.10设R(q)=100-4q ，假设销售量由10单位减少到5单位，那么收入R的改变量是 B B-35011以下微分方程中， D 是线 D 12微分方程(y)e-xf(ed-x)dx=-F(e)+c5ysinx-ye4x=ylnxdxe1ln(x+1)dx=0 .2+y(y)+xy3=0的阶是 C C. 2 61-12x(x+1)2+0dx=10 13在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点1, 3的曲线为

4、C Cy=x+227无穷积分(x+1)2dx是 收敛的 判别其敛散性14以下函数中， C 是xsinx2的原函数 C-122xcosx8设边际收入函数为R(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，那么平均收入函数为2 +15以下等式不成立的是 D-x2 Dlnxdx=d(1x32) q316假设 17.f(x)dx=-e-x+c，那么 f(x)=-xD D. -14e-x29. (y)+e-2xy=0是22 阶微分方程.10微分方程y11d=x的通解是-x2y=x3xd(e)= B Bxe11+e-x+c1x23+ce-x2dx=edx18. 假设f(x)exdx=-ex+c，那么f (

5、x) = C C12(cosx)dx=_。答案：cosx+c 19. 假设F(x)是Bf(x)的一个原函数，那么以下等式成立的是( B )xa13函数f (x) = sin2x的原函数是 14假设x-12cos2x，那么f(x)dx=F(x)-F(a)f(x)dx=2-3x+cf(x)=答案：20以下定积分中积分值为0的是 A A+111-1e-e2 x-x2ln2-3 x15假设x21以下无穷积分中收敛的是 C Cx2dxf(x)dx=F(x)+c，那么xf(1-x2)dx= .答案：-1F(1-x2)+c2116ddx1-1e1ln(x+1)dx=24. 答案：0(x+1)lnxdx112

6、(x+1)lnxdx=(x+1)lnx-217sinx(x+1)2+04解dx=答案：02(x+1)x22dx18无穷积分19. (y)3edx是-2x-x答案：1阶微分方程. 答案：二阶=1(x2+2x)lnx-x24-x+c+ey=0是25ln30e(1+e)dxxx2 20微分方程y=x1的通解是答案：y=1x3+c35解ln30e(1+e)dxxx2=ln30(1+e)d(1+e)(1+e)x3ln30x2x 21. 函数f(x)=ln(x+2)+24-x的定义域是(-2,-1)U(-1,2=e113=5622. 假设lim23. sinmxsin2x3x0=2，那么m=3x4 27+

7、27 ln3 6lnxxx f(x)=x+3，那么f(3)= f(x)x24. 假设函数且f(x)在x=0的邻域=2e- 1xx=2e-4xe1(三) 判断题 1、limx0(1+1x)x=e. ( )在点=2e-e12e12xx=4-2e12. 假设函数( )13. f(x)x0连续，那么一定在点x0处可微.721xf(x)=x+tanx，那么f(x)=12x+1cos2 x7解 14、20-2. .e1dx=20-2=18x+lnxe12x=e121+lnx+lnx)=15. 无穷限积分三、计算题 2+lnxsinxdx是发散的. ( 8=2(3-1)-2xcos2xdx psin 1x2

8、 8解xdx 解 psin1x2d(1x)=cos 20xcos2xdx=12xsin2x20-1p20p2sin2xdx=14cos2x20=xdx=-sin1xx1x+c 2解-12 2x2dxx2xdxx=22d(x)=2ln22x+c3xsinxdx 3解xsinxdx=-xcosx+cosxdx=-xcosx+sinx+c 29e-10ln(x+1)dx12求微分方程ye-10-yx1x=lnx，得满足yx=1=1的特解.9解法一e-10ln(x+1)dx=xln(x+1)=e-e-10xx+1x12解：方程两端乘以-1-e-1 (1-1x+1)dxlnyx-yx2lnxx =e-1

9、-x-ln(x+1)e-10e即=1(y)=lnx 解法二 令u=x+1，那么 e-1ln(x+1)dx=elnudu=ulnuee1011-1uuu=e-ue1=e-e+1=1 10求微分方程y+y7x=x2+1满足初始条件y(1)=4的特解10解 因为 P(x)=1x，Q(x)=x2+1用公式1y=e-1xdx(x2+1)exdxdx+c=e-lnx(x2+1)elnxdx+c42=1xxx3xcx4+2+c=4+2+x 由 3y(1)=1+1+c=7， 得 c=142143所以，特解为 y=x4+x2+1x211求微分方程y+ey+3x(-1)=3的特y=0满足初始条件y解11解 将方程

10、别离变量：ye-y2dy=-e3xdx12e-y2等式两端积分得 -=-13x3e+c 将初始条件y(-1)=3代入，得-1e-3=-1-323e+c，c =-16e-3 所以，特解为：3e-y2=2e3x+e-3 3xx两边求积分，得y2x=lnxxdx=lnxd(lnx)=lnx2+c2通解为：y=xlnx2+cx 由yx=1=1，得c=12所以，满足初始条件的特解为：y=xlnx 2+x13求微分方程ytanx=ylny的通解13解 将原方程别离变量dyylny=cotxdx 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx14求微分方程xy-y=xlnx的通

11、解.14. 解 将原方程化为：y-1xy=1lnx，它是一阶线性微分方程，P(x)=-1，Q(x)=1xlnx用公式y=e-P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+c1=exdx1-1xdxlnxedx+c=elnx1xlnxe-lndx+c=x1xlnxdx+c=x(lnlnx+c) 15求微分方程y=2x-y的通解 15解 在微分方程y=2x-y中，P(x)=1,Q(x)=2x由通解公式y=e-dx(2xedxdx+c)=e-x(2xexdx+c)=e-x(2xex-2exdx+c)=e-x(2xex-2ex+c) =(2x-2+ce-x) 16求微分方程xy+y=xsinx的通解16解：

12、因为P(x)=1，Q(x)=sinx，由通解公式得x-1 y=1xdxe(sinxexdxdx+c)=e-lnx(sinxelnxdx+c) =1x(xsinxdx+c)=1x(-xcosx+sinx+c)17sinxxdx解 sinxdx=2sinx1dx=2x2xsinxdx =-2cosx+c1dx=dx 2x118exx2dx1ex11解：x2dx=-ex(-1x2)dx=-exd(1x)1=-ex+c(-1x2)dx=d(1x)191dx x+lnx解：1dx=1d(lnx)x+lnx11+lnxxdx=+lnx1d(1+lnx)=2+lnx+c+lnx(-1=d(12)dx)xxe

13、20xlnxdx1eee解：21xlnxdx=12xlnx-1e1=12121x2xx2e-14x21=1(e24+1)答案：e21x2lnxdx1解：ee231e31xlnxdx=13xlnx-1e=2131x3xx=13e-19x319e3+19p222xcosxdx 解pppp20xcosxdx=xsinx220- sinxdx=p2+cosx2p0=2 223limx-6x+8x4x2 -5x+4解：原式limx-4)(x-2)=limx-2=4-2=2 x4(x-4)(x-1)x4x-14-1324. lim+x-1 x0sin2x解：原式lim+x-1+x+1)=lim(x1)x0

14、+x+1)sin2xx0sin2x+x+1 1=lim12=121x0+x+1limsin2x21=4x02x25lim(x+1xx-3)-x经34解：原式lim444x(1+x-3)-xlimx(1+x-3)13x44经3limx13=lim4xx(1+x-3)=e-4 26设y=xx+lncosx，求dy3解：y=(xx+lncosx)=(x)+(lncosx)=3x)312x1+(coscosx=2x+-sinxcosxdy=(32x1+-sinxcosx)dx27. 设y=lnx+2sin1x，求y.sin1解：y=(lnx+2xsin1)=(lnx)+(2xsin1)=(x)xx+2

15、ln2sin1x =11sin1+2x1x2x111sin1ln2cosx+2xln2x=2xcosx1-x228设y=y(x)是由方程x2-3xy+y2+1=exy确定的隐函数,求y.解：方程两边对x求导得：(x2)-(3xy)+(y2)+(1)=(exy)2x-(3y+3xy)+2yy+0=exy(xy)2x-3y-3xy+2yy=exy(y+xy)y=2x-3y-yexyxexy+3x 4 29设函数,求dy.y=y(x)是由方程cos(xy)+y+1=e2x+y确定的隐四、应用题1投产某产品的固定本钱为36(万元)，且边际本钱为C(x)=2x + 40(万解：方程两边对x求导得：cos

16、(xy)+y+12(2)=(ex+y)元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总本钱的增量，及产量为多少时，可使平均本钱到达最低.1解 当产量由4百台增至6百台时，总本钱的增量为 DC=(cos(xy)+y()+(1)=e(x+y)x+y(x+y)-sin(xy)(xy)+2yy+(1)=e62(2x+40)dx=(x+40x)6= 100万元-sin(xy)(y+xy)+2yy+0=ex+y(1+y)y=ex+y+ysin(xy)2y-xsin(xy)-ex+y 30.(1+2x)10dx 解：原式12(1+2x)10d(1+2x)=12111(1+2x)11+C131.exxe)d(5+

17、exx=)1x-2=2(5+ex)2+C 5+e(5+32.cosxdx=2xcosxd(x)=2sinx+Cxcos2xdx=12xdsin2x=12(xsin2x-sin2xdx)=12xsin2x+1cos2x+c33.2 =12xsin2x+14cos2x+C1+5lnxee1e134.e1xx=1+5lnx)dlnx=21(51(1+5lnx)d(1+5lnx)=10(1+5lnx) =1710(1+5lne)2-110(1+5ln1)2=21ex11235.21xdx=-exd1221x=-ex=e-e136.ppppp2xsinxdx=-2xdcosx=-xcosx2+2cosx

18、dx=0+sinx200 =137.elnxee1lnxdx=x1-1x(lnx)dx=e-e1dx=e-xe1=1 44x)dx+c又 0C(x)=x0C(x2=+40x+36xx=x+40+36x令 C(x)=1-36=0， 解得x=6.x2 x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均本钱到达最小的值. 所以产量为6百台时可使平均本钱到达最小.2某产品的边际本钱C(x)=2元/件，固定本钱为0，边际收益R(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的根底上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 2解 因为边际利润L(x)=R(x)-C(x)=12-0.02x 2 =

19、10-0.02x令L(x)= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为DL=5502550 =500 -500(10-0.02x)dx=(10x-0.01x)500525 = - 25 元即利润将减少25元.3生产某产品的边际本钱为C(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100-2x万元/百台，其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？3. 解 L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令

20、L(x)=0, 得 x = 10百台又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10百台时，利润最大.又L=1210L(x)dx=1210(100-10x)dx=(100x-5x2)1210=-20 5 4某产品的边际本钱为C(x)=4x-3(万元/百台)，x为产量(百 7某产品的边际本钱为C(x)台)，固定本钱为18(万元)，求最低平均本钱. 4解：因为总本钱函数为 C(x)=x为产量(百=4x-3(万元/百台)，台)，固定本钱为18(万元)，求最低平均本钱.2(4x-3)dx=2x-3x+c 当x = 0时，C(0) = 18，得

21、 c =18即 C(x)=2x又平均本钱函数为2解：因为总本钱函数为C(x)=(4x-3)dx=2x2-3x+c当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18-3x+18C(x)x =2x-3+18 xA(x)=即 C(x)=2x2-3x+18C(x)x 令 A(x)=2-18x2=0， 解得x = 3 (百台)又平均本钱函数为 A(x)=令A(x)=2-18x2=2x-3+18 x=0， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均本钱最低的产量. 所以当x = 3时，平均本钱最低. 最底平均本钱为A(3)=23-3+底平均本钱为该题确实存在使平均本钱最低的产量. 所以当x = 3时，平均

22、本钱最低. 最183=9 (万元/百台)A(3)=23-3+183=9 (万元/百台)5设生产某产品的总本钱函数为 C(x)=3+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R(x)百吨，求：(1) 利润最大时的产量；=15-2x万元/8生产某产品的边际本钱为C(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100-2x万元/百台，其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 解：(2) 在利润最大时的产量的根底上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 5解：(1) 因为边际本钱为C (x)=8x(万元/百台)，R(x)=100-2x，那

23、么C(x)=1，边际利润L(x)=100-10xL(x)=R(x)-C(x) = 14 2x令令L(x)=0，解出唯一驻点x=10 L(x)=0，得x = 7由该题实际意义可知，x = 10为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为DL=由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 DL=1210(100-10x)dx=(100x-5x)21210=200-220=-20872(14-2x)dx

24、=(14x-x) =112 64 98 + 4978万元即利润将减少20万元.9设生产某产品的总本钱函数为 C(x)= - 1 万元即利润将减少1万元.6投产某产品的固定本钱为36(万元)，且边际本钱为C(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总本钱的增量，及产量为多少时，可使平均本钱到达最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总本钱的增量为 DC=3+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R(x)=15-2x万元/百吨，求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的根底上再生产1百吨，利润会发生什么变化？64(2x+40)dx=(x

25、2+40x)64解：(1) 因为边际本钱为= 100万元L(x)=R(x)-C(x) = 14 2x2C(x)=1，边际利润又=x+40+C(x)=x0C(x)dx+c0x=x+40x+36x令L(x)=0，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.36x 令 C(x)=1-36x2=0， 解得x=6.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为DL=8(14-2x)dx=(14x-x2)8 =112 64 98 + 4977x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均本钱到达最小的值. 所以产量为6百台时可使平均本钱到达最小.= - 1 万元即利润将减少1万元.6