§22.6　三角形的中位线

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1、§22.6　三角形的中位线 教学目标 1、了解三角形的中位线的概念； 2、了解三角形的中位线的性质“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半” 3、能应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算 4、通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力。 教学重点、难点： 三角形的中位线定理探究与证明，因为其中添加辅助线的方法和思想学生不易掌握，是本节教学的难点。 教学设想：中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。三角形中位线定理不但给出了三角形线段的位置关系，

2、而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路。 结合教材编写思路，首先要创造性使用教材中的问题情景，把教材中不动的问题情景转化为学生互动的问题情景，使学生在互动中去感受。而有关的一些知识，都是在教师的引导下，经过学生充分的思考、讨论，由学生自己归纳、总结发现。此外，还要根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展，真正把课堂还给学生，使学生真正地变为课堂学习的主人，老师只是学生学习的引导者和组织者。 教学过程 一、创设情境，引入新课 如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，

3、若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？ 二、合作学习，发展能力： 1、动手操作：我们知道将一个三角形怎样分割成一个三角形和一个梯形，只要剪的那条直线平行于三角形的一边就可以 提出新的问题：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形 （1）怎样剪？剪痕的位置有什么要求？ （2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？ 学生动手操作，按“中位线”位置剪开三角形，并拼出平行四边形（注意提示：在拼之前标好各点名称，并且想好大概怎样拼） 2、引导学生概括出中位线的概念：连结三角形两边中点

4、的线段叫做三角形的中位线。 问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？ ——启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。并结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在⊿ABC中，画出中线、中位线 3、猜想：DE与BC的关系？（位置关系与数量关系） 根据刚才的操作猜想 三、师生互动，探究新知 1、证明你的猜想（引导学生写出已知，求证，并启发分析） 已知：⊿ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DEBC。 学生独立思考，师生共同完成推理过程，板书证明过程，强

5、调有其他证法。 根据刚才操作，学生容易想到：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE，则D，E，F同在一直线上，DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE。 所以证明： 延长点E至F,使EF=DE,连接CF 易证⊿ADE≌⊿CFE ∴∠ADE=∠F，AD=CF，∴AB∥CF。又∵BD=AD=CF，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC（根据什么？），∴DEBC。 2、进行题后小结： 对于一些没能直接进行证明的问题，我们通常采用的思想是将它转化为我们熟悉的图形，如上面的证明方法，就是将三角形 的中位线（新知

6、识）转化为平行四边形和全等三角形（旧知识），进行证明的，当然这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线。可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明。如右图中的辅助线等。我们可以发现：主要思路还是进行适当的转化。 （l）延长DE到F，使EF=DE，连结CF，由△ADE≌△CFE，可得ADFC。 （2）延长DE到F，使EF=DE，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得ADFC。 （3）过点C作CF∥AB，与DE延长线交于F，通过证△ADE≌△CFE，可得

7、ADFC。 （这个部分因为学生的实际情况及时间关系，上课时未讲解，放在第二节课复习三角形中位线证明时给以补充） 3、启发学生归纳定理，并用文字语言表达：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半——三角形中位线定理。 用符号语言表达： ∵点D、E是AB、AC的中点（或DE是三角形的中位线） ∴DEBC（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半） 为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析三角形中位线定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（也可以单独用其中

8、结论）。 四、学以致用、落实新知 练习1、课本P98练习第一题 在原题的基础上， （1）在BC取中点F，连接DF，由三角形的中位线定理得DF∥ ,DF= ,则四边形ADFE是 （2）连接EF,则EF∥ ,EF= ,用符号标出相等的线段，可以看出图中的四个三角形 （3）若AB=10cm，AC=6cm,则四边形ADFE的周长为______cm （4）若ΔABC周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周长是 _____cm,面积是_____cm 思考：从此题的练习我们可以看到①任意一个三角形有三条中位线②如果要将任意一个三角形分成

9、四个全等三角形，只需要画出三角形的三条中位线 练习2、请回答引例中的问题（1） A 例题及分析： 例1、如图,DE是⊿ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分。(注意证明的书写，让学生选择简单却严谨的理由书写) D H C F G B E 小结：为什么想到连接DF,CE 从要证明的结论看可以证明它是一个平行四边形，所以改造平行四边形成为必须；从条件看有两边中点可考虑添加三角形的中位线。 练习3： 已知D为⊿ABC内一点，点E、F、G、H分别为AB、BC、DC、AD的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形 变式一：若

10、将AC线段取消，还能得到刚才的结果吗？ 变式二：若取消AC，而D在BC的另一侧,还能得到同样的结果吗？ 证明：如图，连接AC。∵EF是⊿ABC的中位线， ∴EFAC（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边一半）。同理，HGAC。∴EFHG。∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 我们称四边形四个中点连接得到的四边形为中点四边形 由变式二，我们知道任意四边形得到的中点四边形是平行四边形，若原来的四边形为矩形，则得到的中点四边形是什么特殊的四边形？若是菱形，正方形？ 总结得到的四边形关键和原来四边形的什么量有关？ （因为时间关系课堂上没有更多的时间讨论

11、变式二，放置第三课时总结） 五、小结回顾，反思提高 1、三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别。 2、三角形中位线定理及证明思路。 3、中点四边形的特征小结 六、作业布置： 课后反思 本节课基本达到预期的效果，通过本节课的学习，学生能理解三角形中位线的概念，能通过操作探究三角形中位线的性质定理并且能由操作过程，领会三角形中位线的性质定理的证明思路和证明过程，能在不同的图形背景下比较快速地找到三角形的中位线，并运用其性质定理计算和证明有关结论。在教学过程中为便于学生的理解和提高学生的学习效果，我认为课堂上的几个处理

12、是合理且有效的： （1） 让学生自己操作，将一个三角形剪成一个梯形和三角形并拼成一个平行四边形，让学生动手，便于学生直观感受且形成证明定理的添加辅助线的思路，使这一较难的定理证明不至于太难，从而无从下手，，也达到了动态几何与静态的平面几何的结合。但在操作中也产生了预期没有想到的问题，因为预期估计学生对于在哪里剪不会有什么问题，也希望学生能自己动脑而不是老师说学生无思考的操作，所以剪之前提示较少，有的学生在剪的时间花费较多；还有操作中学生尽管知道要从边的中点剪开，但动手能力不足，真正剪时却不是中点，从而导致拼不出平行四边形；也有学生将图形剪开之后，对于如何拼有困惑，没有多少思维指导，只是凭借试

13、出结果；还有学生对于操作关于关注，操作完成了还有的学生不能从中转移到后面的学习，这与1班孩子对于新鲜事物易关注有关，也和平时教学涉及动手机会少有一定的关系。为避免以上情况，首先让学生做好一个三角形，将其中两边涂成不同颜色，上课时让学生思考如何剪并且达成共识，应该从两边的中点处剪开，剪开之前先考虑如何拼，先有一定的预见性，当操作完成，对于容易沉浸于操作的学生，可以让他们展示自己的劳动成果，之后让所有学生将剪刀及纸片全收藏好。 （2） 对于三角形的中位线的性质定理应用练习及例题安排比较合理： 首先直接应用，做书本98页练习1，对三角形中位线定理的直接应用，让学生数学三角形中位线数量关系熟悉，之

14、后将此题延伸，三边中点连成的三角形的讲解我认为还是不错的： （1）在BC取中点F，连接DF，由三角形的中位线定理得DF∥ ,DF= ,则四边形ADFE是 ，并说明理由。 （2）连接EF,则EF∥ ,EF= ,用符号标出相等的线段，可以看出图中的四个三角形 （3）若AB=10cm，AC=6cm,则四边形ADFE的周长为______cm （4）若ΔABC周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周长是 _____cm,面积是_____cm 其中（1）（2）的安排，让学生熟悉在三角形中位线不是水平放置时，能熟练地看到三角形的中位线并直接应用它的性质定理

15、，同时可以很清楚地看到三边中位线连成的三角形与原三角形在周长及面积上的关系。 在小结时可以加一问：任意三角形的任意一条中位线将原三角形分成面积之比为 的两部分，也就是说我们刚才的操作所得到的两部分面积比是一个确定的数。 其次，例题1安排是沿袭第一题的经验，目的培养学生说理的能力，能将直观结论通过逻辑演绎证明，这对于初学三角形中位线定理是很有必要，在练习中果然有很多学生不知如何表达，会将题中的条件分别写出。鉴于这个原因，教学中这题只需学生有大体思考之后，教师将正确合理的理由书写板书，以避免学生的先入为主的错误习惯形成，养成好的证明的方法，此题证明平行四边形方法可以多种。 练习2安排

16、主要让学生在图形比较复杂的情况下灵活熟练地使用三角形的中位线定理，而后的变式练习是进一步让学生掌握使用三角形中位线定理，让学生知道在解题中牢牢抓住寻找中位线并找出第三边，必要的时候要添加辅助线。这样的逐步加深，利于学生的思维发展，既让学生学会了解决问题的方法，也提高了解决问题的能力。 在教学中尽管在教与学的过程中没有失误，也基本落实了教学目的，但总体感觉学生的学习热情与平时比较有所欠缺，这还需要自己在教学中提高自己的临场教学状态，引领学生全力投入，上出自己和学生都认为非常精彩的公开课。 部分补充习题：（网上下载） 典型例题 　　例、如图，已知：在中，D、E、F分别为B

17、C、AD和AB的中点，已知的周长为.求：的周长. 　　分析：由于D、E、F分别是三角形三边的中点，所以DE、DF、EF都是的中位线.那么根据三角形的中位线的性质，可知它们的长度分别为第三边的一半，所以的周长为的一半. 　　解答：∵D、E是BC和CA的中点，　∴DE是的中位线， 　　∴.　同理，. 　　∴ 　　∴的周长为. 　　说明三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，它不同于三角形的中线，要分清楚三角形的中位线和中线的区别和联系．那么三角形的中位线定理提供了三角形中的线段的关系，解题时要注意运用这一关系． 选题角度： 　　主要侧重两点：一、有助于训练学生思维；二、有助于

18、学生参与 习题精选 　　一、选择题 　　1．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是（） 　　A．菱形B．矩形C．梯形D．平行四边形 　　2．一个梯形的中位线长为，两对角线互相垂直，则这梯形的高为（） 　　A．B．C．D．不能确定其大小 　　3．已知三角形的三条中位线分别为，则这个三角形的周长是（） 　　A．B．C．D． 　　4．若等腰梯形两底角为，腰长为，高和上底相等，那么梯形中位线长为（） 　　A．B．C．D． 　　5．（北京市昌平区）如果梯形一底长为6，中位线长为8，那么另一底长为（） 　　A．14B．10C．8D．4 　　6．（南通市）如果，梯形ABCD中

19、，，EF是中位线，，，则BC的长是（） 　　A．B．C．D． 　　7．（威海市）下面有三种说法：①任意四边形两组对边中点的连线互相平分；②任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；③梯形的两条对角线可能互相平分。正确的是（ ） 　　A．①②③B．①②C．①③D．②③ 　　二、填空题 　　1．（山东省菏泽地区）直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线长为，那么它的下底长是______. 　　2．（泉州市）已知梯形上、下底长分别为3和5，则中位线长为_____. 　　3．（北京市石景山区）如果梯形的上底长与下底长的比为，中位线的长为2

20、4，那么梯形的下底长为_____. 　　4．（江西省）如图，等腰梯形ABCD中，，，于点E，，则这个梯形的中位线长为_______. 　　5．（龙岩市、宁德市）如图，EF是的中位线，BD平分交EF于D，若，则______. 　　6．（北京市石景山区）如图，在梯形ABCD中，，中位线EF交对角线BD于点O，，且，则_______. 　　7．（青海省）等腰梯形中，已知一个底角是，高为，中位线长为，则梯形的上底长是______. 　　8．（绍兴市）如图，梯形ABCD中，，，，，点E在DC上，AE、BC的延长线相交于点F.若，则的值是______. 　　9．（天津市）如图，

21、梯形ABCD中，，对角线，且，，则该梯形的中位线的长等于______. 　　10．（徐州市）如图，在梯形ABCD中，，则该梯形的中位线长为______，若，且，则EF的长为_____. 　　11．（安徽省）如图，在中，，，，，是AB边的五等分点，，，，是AC边的五等分点，则_____. 　　12．（江西省）如图，要测量A，B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得米，则_______米. 　　13．（湖州市）如图，已知直角梯形ABCD的中位线EF的长为，垂直于底的腰AB的长为，则的面积等于______. 　　三、解答题 　　1．如图，等腰梯形ABC

22、D中，，中位线EF交AC于G，且AC平分，，. 　　求梯形ABCD的周长. 　　2．如图，在梯形ABCD中，，E，F分别是对角线AC，BD的中点. 　　求证：四边形ADEF是平行四边形. 　　3．（哈尔滨市）如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC，BD与MN交于F，E，，求EF的长. 　　4．已知：如图，中，C是DB上一点，，，且. 　　求证： 　　5．已知：如图，中，AD为中线，过B的直线交AD于F，交AC于E，且. 　　求证：. 　　6．已知：如图，中，E是BC的中点，D是CA的延长线上的一点，，DE交AB于F. 　　求证：. 　　7．（泰

23、州市）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分（如图） 　　8．如图，梯形ABCD中，，的平分线CE交AB的中点E. 　　求证：. 　　9．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，已知，M，N分别是AD，BC中点，MN与AC，BD分别相交于E，F. 　　求证：. 　　10．如图，和形外直线，中线AD延长线交于，，，，，，为垂足.， 　　求证：. 　　11．如图，中，BM，CN平分，的外角，于M，于N. 　　求证：. 　　12．（黄冈市）如图，在梯形ABCD中，，且BD平分，若梯形的周长为，求此梯形的中位线长. 　　13．（济南市）如图

24、，中，.若，分别是AB，AC的中点，则； 　　若，分别是、的中点，则； 　　若，分别是、的中点，则； 　　…… 　　若，分别是、的中点，则_____（，且为整数） 　　14．（绍兴市）如图，某斜拉桥的一组钢索共五条，它们相互平行，钢索与桥面的固定点，，，，中，每相邻两点等距离. 　　（1）问至少需知道几条钢索的长，才能计算出其余钢索的长？ （2）请你对（1）中需知道的几条钢索长给出具体数值，并由此计算出其余钢索的长. 提高：如图，已知：在四边形ABCD中，AD、BC不平行，E、F分别是AB、CD的中点。求证：EF<（AD+BC） 分析：考虑到三角形任意两边之和大于第三

25、边，我们可以把AD、BC或EF转到一个三角形之中，也可能与中点E、F构成相关的中位线，从而达到解题的目的。 证明：连结BD，取BD中点为O，连结OE，OF， ∵ E为DC中点，O为BD中点，∴ OE=BC。同理可证：OF=AD。 而在△OEF中，OE+OF>EF，∴BC+AD>EF，即EF<（AD+BC） 说明：构造中位线的方法如能恰当使用，能使证题走上捷径.  　　参考答案： 　　一、1．D2．A3．B4．C5．B6．C7．B 　　二、1．2．43．324．45．26．16 　　7．8．30，489．10．2，11．12． 　　13． 　　三、1． 　　2．先证，

26、则，又，故结论成立. 　　3．解：∵MN是梯形ABCD的中位线， 　　∴. 　　∵，则.同理. 　　在中，；在中，. 　　∴ 　　 　　 　　 　　 　　4．解法1：延长AC至G，使，连结DG； 　　解法2：取AD的中点E，连结CE 　　5．解法1：取BE中点M，连结DM， 　　解法2：取EC中点M，连结DM 　　6．证法1：如图，取AC的中点G，连结EG. 　　∵，∴ 　　又E，G分别是BC，AC的中点，∴，即.∴. 　　证法2：如图，过点E作与AB交于H. 　　∵E是BC中点，∴H是AB的中点.∴ 　　又∵，∴. 　　∵，，， 　　∴，∴ 　　7．证 　　8．连DE，取CD中点F，连EF，先证是， 　　则，而，∴ 　　9．取AB中点G，连MG，NC 　　10．作于 　　11．延长AM，AN分别交CB，BC的延长线于E，F，证MN是的中位线 　　12． 　　13． 　　14．（1）2条；（2）取，则