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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第四讲 数列极限收敛准则、 无穷小量、极限运算,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第二章 数列的极限与常数项级数,本章学习要求：,第二章 数列的极限与常数项级数,第二节 数列极限收敛准则 第三节 数列极限的运算,一、数列极限收敛准则,二、无穷小量与无穷大量,三、极限的运算,四、施笃兹定理及其应用,1.单调收敛准则,单调减少有下界的数列必有极限 .,单调增加有上界的数列必有极限 .,一、数列极限收敛准则,通常说成：单调有界的数列必有极限.,证,由中学的牛顿二项式展开公式,类似地, 有,又,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于 1
2、.,综上所述, 数列xn是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它纪为 e, 即,e 称为欧拉常数.,欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士 巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年 的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741 1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。 欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。 他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与 他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。,欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年） 曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理 数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。
3、,欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未 出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书 和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。 欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学 士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学 了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研 究工作。 欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿 拉哥（D. F. J. Arago，17861853）说：“欧拉计算一点也不 费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”,有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的 和，加到第17 项时两人发现在第 50
4、位数字相差一个单位。 为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地 找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使 牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。 欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C 表示对应的三个角( 1748 )；创用 表示求和符号 ( 1755 )； 提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数 的底；还用y 表示差分等等。 十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国， 如他在1748年出版的无穷分析引论。,2.数列极限的夹逼定理,设数列 xn, yn, zn 满足下列关系:,(2),则,想想：如何证明夹逼定理?,解,由于,想得通吧
5、？,解,夹逼定理,解,解,夹逼定理,请自己做!,有界数列的重要性质,由任何有界数列必能选出收敛的子数列.,定理,左端点构成单调增加的数列,右端点构成单调减少的数列,上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”.,(区间套定理),定理,3. 柯西收敛准则,证,由柯西收敛准则可知, 该数列是发散的.,证,由柯西收敛准则可知, 该数列是收敛的.,柯 西 A.L.Cauchy (17891857),业绩永存的 数学大师,柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通 古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉 普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两 位大数学的赞赏，并预言柯西日后
6、必成大器。在拉格朗 日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使 得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。 18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以 第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校 会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大 奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被 任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。,由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放 弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大 贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立 了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大 事件，也是柯西对人类科学发展所
7、作的巨大贡献。1821年 柯西提出了极限定义的方法，把极限过程用不等式刻划 出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限 定义或定义。当今所有微积分教科书都还（至少在 本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对 定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的 极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。,他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯 西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本 概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想 上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞 大的数学学科。 数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影
8、响。 在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普 拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和 未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认无 误为止。,柯西一生撰写的数学论著有800多种。他是19 个科学院 或著名学术团体的成员。1838年他还被授予男爵封号。他在 学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分 方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几 何、光学、天体力学等学科或学科分支。 柯西一生最大的错误是“失落”了才华出众的年轻数学家 伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半 个世纪。 1857年5月23日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言：
9、“人总是要死的，但他们的业绩永存。”,二、无穷小量与无穷大量,1. 无穷小量,对数列极限的描述, 实际上, 就是对整序变量,极限的描述.,(1) 无穷小量的定义,无穷小量描述的是变量的变化趋势, 不是指一个很小的数.,无穷小量描述的是变量的变化趋势, 不是指一个很小的数.,(2) 无穷小量的运算性质,(推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量.),证,其它性质可仿此进行证明.,2. 无穷大量,首先要注意到是, 无穷大量与无穷小量一样, 无穷大量不是指的一个很大的数,也是描述的变量 的变化趋势.,(1) 无穷大量的定义,定义无穷大量时, 用的是绝对值,去掉绝对值符号, 则可以定义正无穷大量和负无穷大
10、量.,去掉绝对值符号 会怎么样？,无穷大量描述的是变量的变化趋势, 不是指一个很大的数.,由无穷大量与无界量的定义是否可得出:,无穷大量一定是无界量, 反之,无界量一定是无穷大量?,无穷大量一定是无界量. 无界量不一定是无穷大量.,(2) 无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量互为倒数关系？,分母不能为零,利用无穷小量与无穷大量的关系 可以将一些无穷大量的运算归结为相 应的无穷小量运算, 并可得到有关无 穷大量的运算性质.,利用这里提供的数列可以得出上面的结论.,(3) 无穷大量的运算性质,请同学自己证明.,(1) 无穷小量与极限的关系,上述过程显然可以反推过去, 于是就可得出,下面的重要定理：,三、极限的运算,定理怎么写？,或写为,(2) 数列 (整序变量 ) 极限的运算,证,由无穷小量的运算性质, 可得到,其余的证明由学生自己完成,解,由于两个无穷大量的差不一定是无穷大, 所以,进行变形处理：,部分分式法,解,解,类似该例的做法,还可以得到下列结果:,解,解,四、施笃兹(O.Stolz)定理及其应用,运用施笃兹定理计算数列的极限, 往往会使问题变得十分简单.,施笃兹定理:,解,由施笃兹定理, 令,则,由此, 利用对数函数可得出例12的几何平均的极限.,展开后得,算数平均值,算数平均值,剩下的问题请同学自己解决。,
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