MATLAB矩阵及运算.ppt

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1、第二章 矩阵及其运算2.1 表达式（语句）2.2 矩阵的产生与操作2.3 矩阵的基本运算2.4 高维矩阵2.5 特殊符号2.6 基本数学函数,2.1表达式,MATLAB采用表达式语言形式，语句常用的形式： 例：1.3+2*0.9 %值存放在默认变量ans中 a=1.3+2*0.9 x=rand(2,4) %产生2*4大小的随机矩阵 如果表达式过长，可分装在几行，行末加三个点，表示下一行是续行。,z=3*(1-x).2.*exp(-(x.2)-(y+1).2)-10*(x/5-x.3-y.5). .*exp(-x.2-y.2)- 1/3*exp(-(x+1).2 - y.2);,2.1表达式,表

2、达式的组成： 1）数值 2）变量 3）操作符 4）函数,2.1.1 数值,在MATLAB中，所有的数都用浮点双精度类型来存储和运算。（实矩阵的每个元素占8个字节，复矩阵的每个元素占16个字节） 缺点：浪费内存、降低运算的速度。 优点：省略了定义数据类型的语句，而且编程时无须考虑数据类型的匹配问题，减少了出错的可能。 这种战略取得了成功：使人们不在编程细节上化精力，把注意力集中到科学计算的方法和建模合理性等大问题上。,重点,2.1.1 数值,MATLAB采用十进制表示形式 合法的数值形式举例： 3 -99 0.001 .19 -5.1+6.8i 7.8-6j （虚数） 9.4e6 1.3e-3

3、-4.5E33 （科学表示法）,2e3.4 e后面不允许小数形式,2.1.2 变量,变量的命名规则： 1）变量名、函数名对字母的大、小写敏感。 2）变量名由字母、数字和下划线构成。第一个字母必须是英文字母。 3）有字符个数限制（版本5.0 ：最多31个字符）,2.1.2 变量,MATLAB系统默认变量 （注意大小写！） i 或 j : 虚单元 正确：5+7j 错误：5j7 pi : 圆周率 ans : 计算机结果的缺省变量名 eps ： 机器的零阈值 2.2204e-016 Inf 或 inf : 正无穷大 NaN 或 nan : 不定值（即无效数据）,重点,可以表示“无穷大”、“不定值”，说

4、明matlab容错性强,运算优先级： 算术运算符关系运算符逻辑运算符 圆括号可以改变其顺序!,2.1.3 操作符,MATLAB操作符包括： 算术运算 关系运算 逻辑运算 位运算 其他操作符,重点,一)算术运算符, ：加法 ：减法 * ：矩阵乘法（叉乘） .* ：矩阵元素乘法 / ：矩阵右除法 ./ ：矩阵元素右除法 ：矩阵左除法 . ：矩阵元素左除法, ：矩阵指数 . ：矩阵元素指数 ：复共轭转置 . ：非共轭转置,二）逻辑运算符,针对元素 注释 行末的“;”用于抑制结果在屏幕上显示 例如： sin(a)，sin(b) ，a+b 同在一行的表达式，必须用“，”分开,可通过输入每个元素的方式产生

5、 可以通过数据文件产生 可以通过MATLAB提供的标准函数产生 直接调用其他M文件，即可使用已有的矩阵变量,2.2 矩阵的产生与操作,矩阵的产生：,在MATLAB中，矩阵放在 中，行元素用“，”或用空格分开，一行元素输入结束后，用“；”或用回车隔开。 如：a=1 4 6;5 8 9;6 3 2 当矩阵中某些元素之间数值连续时 如：a=1 2 3 4 5 可用冒号（:）操作符使输入简化 即a= 1:5 ,通过直接输入元素的方式产生矩阵,输入方法一： a= 1 2 3 ；5 6 7 输入方法二： a= 1 , 2 , 3 5 , 6 , 7 因为数值连续，所以有方法三： a= 1:3 ; 5:7

6、,举例：,通过数据文件产生矩阵,例如，我们已经得到一个数据文件，名为mydata.dat，里面存放一个5*3的数组，则可用命令： load mydata.dat 得到矩阵mydata。 应用：可以和其它语言程序进行数据通信。 举例：,通过MATLAB提供的函数产生矩阵,用内部函数可生成一些特殊矩阵 （函数见书上P50）,重点,1、单位矩阵（ E方阵）和广义单位矩阵的产生,重点,通过MATLAB提供的函数产生矩阵,2、随机数矩阵的产生 随机数的产生常常用在控制系统仿真以及信号分析，是一个非常重要的手段。MATLAB提供了很好的随机数产生函数： rand（） randn（）,通过MATLAB提供的

7、函数产生矩阵,1）产生0，1之间的均匀分布的随机数:,重点,通过MATLAB提供的函数产生随机矩阵,2）产生元素在m，n间分布的随机数：,重点,通过MATLAB提供的函数产生随机矩阵,3）产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机数：,重点,问题：为什么这5个随机数相加均值不等于0？ 该函数是产生了随机数，但是可能个数为10000或更多，均值为0。该函数仅仅是从中抽取了几个显示给用户。,通过MATLAB提供的函数产生随机矩阵,4）产生均值为m，方差为q2的正态分布随机数：,通过MATLAB提供的函数产生随机矩阵,3、对角矩阵的产生 第一步： 给出对角线上的元素，放在一个向量V中。 第二步： 用函

8、数 A=diag(V); 可产生相应的对角矩阵。,通过MATLAB提供的函数产生矩阵,4、用其它函数也可间接产生用户想要的矩阵,通过MATLAB提供的函数产生矩阵,通过用户编写M文件的方式产生矩阵,例: A，B，C矩阵是用户自定义的大矩阵，经常要用到，就应编写一个M文件保存。 要使用这些矩阵时，执行所在M文件。 演示,旋转 重新排列 复制,翻转 拼接 行列删除,2.2 矩阵的产生与操作,重点,矩阵的操作,1）矩阵的旋转,矩阵元素的排列旋转90度： B=rot90(A) 逆时针旋转90度,2）矩阵的重新排列,将矩阵的元素重新排列： reshape（矩阵，行数，列数）,按原矩阵的列顺序,重点,3）

9、矩阵的复制,将矩阵元素复制： repmat(原矩阵,行复制数,列复制数),重点,4）矩阵的翻转,fliplr( ) 将矩阵左右镜像翻转 flipud( ) 将矩阵上下镜像翻转 A = 9 6 8 4 2 4 7 0 c1 = fliplr(A) 4 8 6 9 0 7 4 2 C2 = flipud(A) 2 4 7 0 9 6 8 4,5）矩阵的拼接,通过连接符 ，可将小矩阵拼接成大矩阵 注意： 横拼接: ， 纵拼接: ;,重点,6）矩阵的行列删除,利用空矩阵“ ”可从矩阵中删除指定的行或列,重点,思考：size（ ）,2.3 矩阵的基本运算,复习线性代数基础知识： 1)加、减法：同尺寸矩阵

10、 A+B=(aij+bij) mn 2)数乘：设Amn，则kA=(kaij)mn。 3)矩阵乘法：设Amk，Bkn 矩阵A的列数要等于矩阵B的行数 则AB=Cmn cij=ai1b1j+ai2b2j+ 矩阵乘法不满足交换律，即一般ABBA。,复习线性代数基础知识： 4)转置：把矩阵的行换成列 （Amn）= Anm 5）逆阵： 对n阶方阵A（必须是方阵） ，如果有一个n阶方阵B， 使得: AB=BA=E 则称: 方阵A是可逆的， 方阵B是为A的逆阵，记为B=A-1,2.3 矩阵的基本运算,选择矩阵元素 a(i,j)表示矩阵a的第i行第j列的元素。 a(i,：)表示矩阵a的第i行所有列的元素,重点

11、,2.3 矩阵的基本运算,矩阵元素的运算 ：加法 ：减法 .* ：矩阵元素乘法（点乘） ./ ：矩阵元素右除法 . ：矩阵元素左除法 . ：矩阵元素指数 ：复共轭转置 . ：非共轭转置,矩阵的运算 * ：矩阵乘法（叉乘） / ：矩阵右除法 ：矩阵左除法,1、算术运算,重点,加、减对应的矩阵元素相运算,点乘元素对元素乘法叉乘矩阵对矩阵乘法 对比举例,矩阵的右除、左除,MATLAB的基本处理单元是复数矩阵(标量是一个1*1的矩阵)。而在线性代数理论中没有除法运算。所以定义了除法为乘法的逆运算。 注意：因为矩阵乘法不满足交换律，即一般A*BB*A，所以除法要考虑“右除”、“左除”。,重点,矩阵的右除

12、、左除,Matlab右除法表示形式： C=A/B 或 C=A * i n v ( B ),Matlab左除法表示形式： C=AB 或 C=i n v ( A ) * B,注意：只有行列式不为0的方阵才存在逆阵！,则在MATLAB中运行结果：,重点,矩阵元素的右除、左除,分析： K/NK*inv(N) 因为N不是方阵，没有逆阵，所以报告错误。 KNinv(K)*N 因为K的逆阵尺寸22，N的尺寸23，所以结果矩阵23。,则MATLAB中A.B的结果：,矩阵元素的指数运算,%复共轭转置 %非共轭转置 .,矩阵元素的复共轭转置和非共轭转置,2、关系运算, : 大于 = : 大于等于 = : 等于 =

13、 : 不等于 注意： 两个矩阵的尺寸应相同 分别比较对应位置上的元素 比较结果为1或0,重点,2、关系运算,3、逻辑运算,运算符： % eps0 B0 2 4 1.2; C=xor(A,B) C= 0 1 0 0,重点,2）all(x),1）函数作用在向量上时： 判别向量的元素是否全部非0。 2）函数作用在矩阵上时： 判别矩阵的每列是否全部非0。 函数的返回值为0（假）或1（真）,重点,3）any(x),1）函数作用在向量上时：判别向量是否有非0的元素 2）函数作用在矩阵上时：判别矩阵的每列是否有非0的元素 函数的返回值为0（假）或1（真）。,重点,4）find(x),函数功能：找出矩阵x中的

14、非0元素及其下标 1)函数输出1个变量 2)函数输出2个变量 3)函数输出3个变量 注意：按照竖列的搜索顺序!,重点,函数输出1个变量时： 返回值： 非0元素的搜索次序,函数输出2个变量时： 返回值： 非0元素的行下标、 列下标,函数输出3个变量时： 返回值： 行下标、列下标、非0元素值,5）isnan(x) 找出矩阵x中含有的Nan数据（无效数据的来源：0/0，Inf/Inf）,应用举例： 每一列是一个采样样本，请删除含有无效数据的样本。,(1) 找到无效数据的位置,(2) 进行数据的再处理（删除无效数据）,重点,其他常见函数,sum（）对矩阵按列求和 或对向量求和 length( ) 测出

15、向量长度 size( ) 测出矩阵大小 det( ) 求矩阵对应的行列式,重点,length 功能：求向量长度 格式：nlength(x) 当x为向量时，它等于向量的长度。当X是矩阵时，可得到X的最长维尺寸。,X5，7，9，0； nlength(X) 思考：n？,X5,7,1;9,11,0； nlength(X) 思考：n？,Xrand(5，12，3)； nlength(X) 思考：n？,size 功能：求阵列维大小,xrand(2,4,8) ； d= size(x) msize(x,2) 思考：d？ m？,d=2 4 8 m=4,x1,2,4 0,8,9 2,3,7 1,4,2 ； d= s

16、ize(x) msize(x,2) 思考：d？ m？,d=4 3 m=3,2.4 高维矩阵,大于2维的矩阵称为高维矩阵。 习惯上称三维矩阵的第一维为 “行”，第二维为“列”，第三维为“页”。 访问矩阵A中第2页中的第三行第四列的元素， 使用下标 A（3，4，2）,2.4.1 高维矩阵的产生 方法一：直接对高维赋值 （注意：自动补零）,重点,2.4.1 高维矩阵的产生,方法二：用拼接函数cat，用低维矩阵拼成高维矩阵,回忆：通过连接符 ，可将小二维矩阵拼接成大二维矩阵。（，表示横拼接 ；表示纵拼接） 有相似功能的函数：cat（拼接模式,矩阵1，矩阵2） 拼接模式：1 纵拼 2 横拼 3 层拼,重

17、点,等价为A;B,等价为A,B或A B,利用cat函数产生,2.4.1 高维矩阵的产生,方法三：用函数reshape 例： A=1:18; reshape(A,2,3,3); 表示把向量A中的118的数放在一个2*3*3的矩阵中。 注意排列次序！,2.4.2 高维矩阵的标识,1、 函数：ndims( ) 得到多维矩阵的维数,2.4.2 高维矩阵的标识,2、 函数：size( ) 得到各维的尺寸,2.4.2 高维矩阵的标识,3、 函数：length( ) 得到向量的长度 或 得到矩阵的维数中 最大的那个,2.4.4 高维矩阵的应用图像处理,1.真彩色位图文件的读入函数 x=imread(test

18、.bmp); 得到一个8位的m*n*3的数组； x(:,:,1)：为红色分量 x(:,:,2): 为绿色分量 x(:,:,3): 为蓝色分量 因为在MATLAB中unit8型数据不能直接运算; 所以如果需要运算的话，必须先转换数据类型。 x=double(x);,2.4.4 高维矩阵的应用图像处理,2.真彩色位图文件的写回函数 imwrite(x,test.bmp); 3.真彩色位图显示函数 imagesc(x); 图象处理通常是先读入图像文件，作了滤镜效果后，（每一种滤镜都代表着一种数学处理方法），显示在屏幕上，如果保留则写回文件。,思考：如何实现红色滤镜效果,clear all %先清空工

19、作空间 x=imread(苹果1.bmp);%读入图像数据 figure(1);%设置1号图形窗口 imagesc(x);%显示苹果图像 y=double(x);%将unit8型转换为双精度型 y(:,:,1)=0;%设置红色分量为0 y=uint8(y);%转换为unit8型 figure(2);%设置2号图形窗口 imagesc(y);%显示苹果图像,红色滤镜,%去红色 y(:,:,1)=0 %去绿色 y(:,:,2)=0 %去蓝色 y(:,:,3)=0,思考：如何将图片旋转90度显示？,感兴趣的同学可以尝试： 用MATLAB可以自己实现photoshop中的各种滤镜功能，关键是数学算法！

20、 比如：如何将图片左右镜像翻转显示？ 如何提高图片的亮度？ 如何对图片去噪？,2.5 特殊符号,1） 符号的作用是： a. 用来生成一个向量/矩阵 例如：a= b, b+3; 2*b,6-b; b. 空矩阵（可以删除矩阵中不需要的部分） 例如：a(:,3)= ; a(3,:)= ; c. 可以作为多输出函数的输出变量的列表 例如： i, j, s =find(any(x);,重点,2.5 特殊符号,2）. 符号的作用是： a. 用来表示一个小数点 例如：a = 10. 32 ; b. 用来表示矩阵元素对元素的运算 例如：c = a . * b ; c. 可以用来对结构的域进行访问 例如：a .

21、 field; （面向对象）,重点,2.5 特殊符号,3）：符号的作用是： 例子 等价为 A=1:4 A=1,2,3,4 A=1:0.5:4 A=1.0,1.5,2.0,2.5.3.0,3.5,4 A（1,: ) A的第1行的所有元素 A=( 1, :， 4 ) A的第1行、第4页上的所有元素 A（：） 将A的所有元素排成列向量 4)% 符号的作用是：注释符,重点,P15：常用标点的功能,2.6 基本数学函数,基本数学函数是MATLAB系统提供给用户进行基本数学运算的函数。 基本数学函数均是对阵列中的元素作用。,2.6.1 三角函数,1）正弦函数和双曲正弦函数： Y=sin(X); Y=sin

22、h(X); 余弦函数和双曲余弦函数： Y=cos(X); Y=cosh(X); 3）反正弦函数和反双曲正弦函数： Y=asin(X); Y=asinh(X); 4）反余弦函数和反双曲余弦函数： Y=acos(X); Y=acosh(X);,重点,2.6.1 三角函数,5）正切函数和双曲正切函数： Y=tan(X); Y=tanh(X); 6）反正切函数和反双曲正切函数： Y=atan(X); Y=atanh(X); 其它三角函数请同学自己看书,2.6.2 指数和对数函数,1）指数函数 Y=exp(X);如果x=a+jb,则: 2）对数函数 自然对数：Y=log(X); 常用对数：Y=log10

23、(X); 以2为底的对数：Y=log2(X); 如果x=a+jb,则：,log(x)=log(abs(x)+j*atan2(b,a),重点,2.6.2 指数和对数函数,4) 平方根函数 y=sqrt(x); 思考：复数的平方根,3) 以2为指的函数：pow2是log2的逆函数，y=pow2(x)可得到2的x次幂。,重点,2.6.3 复数函数,1）实数的绝对值和复数的模 y=abs(x) 2) 求相角函数 y=angle(x) 3) 复共轭函数 y=conj(x) 4）取实部函数 y=real(x) 取虚部函数 y=imag(x),重点,2.6.4 取整和求余函数,四舍五入取整函数 y=roun

24、d(x) 2）符号函数 y=sign(x);,2.6.4 取整和求余函数,3)取余函数 z=mod(x,y); x：被除数； y：除数 z是x/y后的余数 注意：x的元素可是小数，不能是复数 y的元素可是小数,本 章 总 结,表达式 1、数值 2、变量（命名规则，默认变量） 3、操作符（算术，关系，逻辑等） 4、函数（分类，用法）,总 结,矩阵 1、表示 2、产生（直接输入，文件，系统函数产生，用户程序） 3、操作（6种） 矩阵运算（算术，关系，逻辑和常用函数）,测试,生成-2，2之间的均匀分布的随机数数组，其命令为： ； 生成均值为5，方差为9的正态分布的随机数数组，其命令为： 。 A=1

25、2 3;4 5 6;3 2 1; B=A; C=A.*B; C(: , 1)=_ 已知A=1 2 5 6; D=diag(A,-1); D= _。,测试,已知A=1，2，3；4，5，6；7，8，9，B=3，C=A+B，令C（2：2：8）= ，则C= 。 已知A=eye(2,3); C=A; B=reshape(1:6, 3,2); 则B+C=_。,编程：产生一个（0，1）间随机分布的105矩阵a，然后统计a中大于0.6且小于0.7的元素个数number，如果number小于10，向用户报告“符合条件的元素太少！”。,参考程序 ： a=rand(10,5); N=a0.6&a0.7 number=sum(sum(N) if number10 disp(符合条件的元素太少！) end,END,Y=sin(X),Y=sinh(X),Y=exp(X),Y=log(X),