大学高等数学经典课件.ppt

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1、(函 数与 极 限),第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,一、集合,1、概念,具有某种特定性质的事物的总体;,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,元素a属于集合M,元素a不属于集合M,记作,记作,2、集合的表示法,列举法,描述法,、集合间的关系,例1 数集,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,它们间关系:,例2,不含任何元素的集合称为空集，记作,例如,规定,空集为任何集合的子集.,4、运算,设A、B是两集合,则,交 “AB”,xxA且xB,并 “AB”,xxA或xB,差“AB”,xxA但xB,补（余）,IA,（其中 I 为全集）.,、其运算律,（1） A B = B A,

2、A B = B A,（2）(A B) C = A (B C),(A B) = A (B C),（3）(A B) C = (A C) (B C),(A B) C = (A C) (B C),（4）,注:,A与B的直积 AB,(x, y)xA 且 yB,例如：RR =,(x, y)xR 且 yR,表示xoy面上全体点的集合,RR常记为,R2,2、区间,是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个,称为开区间,实数叫做区间的端点.,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间：,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3、邻域,记作,注意：邻域总是开集。,设X,Y

3、是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对 X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与 之对应，则称f 为从X到Y的映射.,二、映射,1、概念,记作 f ：XY .,其中y称为元素x(在映射f下)的像，记作f(x)，即y=f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的原像,集合X称为映射f的定义域,记作Df ,即Df=X,X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作 Rf或 f(X)，即,对应法则f,使对每个xX,有唯一确定的y=f(x)与之对应.,注:,1。构成映射的三个要素:,集合X,即定义域Df =X;,集合Y,即值域的范围:Rf,Y;,但定义域一定等于集合X.,X,

4、Y,x,y,f,Rf,x2,2。对每个xX,元素x的像是唯一的;,而对每个yRf ,元素y的原像不一定是唯一的;,映射f的值域Rf是Y的一个子集,即Rf,Y,不一定Rf =Y.,显然，f是一个映射，f的定义域Df=R值域Rf = y | y0, 它是R的一个真子集. 对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像 不是唯一的. 如 y = 4的原像就有 x = 2，x = -2两个.,例4 设 X =(x,y)|x2+y2=1,Y=(x,0)|x|1，f :XY,对每个 (x,y)X，值域Rf = Y.,例3 设f:RR,对每个xR, f(x) = x2.,在几何上,这个映射表示把平面上一个圆心在原

5、点的单位 圆周上的点投影到x轴的区间-1,1上.,设f是从集合X到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任 一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或 满射;,若对X中任意两个不同元素x1x2它们的像 f(x1)f(x2)， 则称f为X到Y的单射(或“如果f(x1)=f(x2)，就有x1=x2)；,若映射f 既是单射，又是满射，则称f 为一一映射(或双射).,定义,例5的映射不是单射,是满射.(Y-1,1表示满射, X:(x =0,y=1)Y:(0,0) X:(x =0,y =-1) Y:(0,0)；,例4中的映射，既非满射(y =-2，不是X中的某元素 的像)，又非单射(x1=2,x2=

6、-2,它们的像相等).,从非空集X到数集Y的映射称为X上的泛函.,映射又称算子，在不同的数学分支中，有不同的 惯用名称：,从实数集X到实数集Y的映射通常称为定义在X 上的函数.,从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换.,设f是X到Y的单射,则对每个yRf ,有唯一的xX 适合f(x)=y,定义一个新的映射g:RfX，对每个yRf , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.,2.逆映射与复合映射,1）逆映射,这个映射g称为f的逆映射,记作f -1.,定义域Df-1=Rf ,值域Rf-1=X,因为从XY对Y要求唯一的,而YX又是唯一的, 故只有单射.,注：只有单射才存在逆映射.,2）复合映射,

7、设有两个映射,g: XY1, f : Y2Z,(Y1,Y2),则由g和f 可确定了一个从X到Z的映射,它将每个xX映 成f g(x)Z,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作f g,即,f g: XZ,(f g)(x)=f g(x), xX,f g有意义并不表示g f 也有意义.即使f g与g f 都 有意义,复合映射g f 和f g也不一定相同.,注 1。映射g和f 构成复合映射的条件:,g的值域Rg必须包含在 f 的定义域内,即Rg,Df .,否则, 不能构成复合映射.,2。映射g和f 的复合是有顺序的：,证明: 充分性 (由条件推出结果) 设 f 是XY 的双射. 在Y上任一元素y必

8、定存在唯一 的xX, 使 y = f (x). (1) 从Y X 的映射 f 1: Y X. (2),例5 f是X到Y上可逆映射的充分必要条件是f为X到Y的 双射.,对任何xX, 由(1),(2)可得 f 1f (x) = f 1( f (x) = f 1(y) = x. 即f 1f = Ix 反之. 对任何yY, 由(2), (1)可得 f f 1 (y) = f ( f 1(y) = f (x) = y. 即 f f 1 = Iy,必要性 (由结果推出条件) f 是可逆的,存在 f 1: YX 使 f 1f = Ix , f f 1 =Iy 对X中任意两个元素x1, x2, 当 f (x1

9、) = f (x2)时 x1= f 1f (x1) = f 1(f (x1) = f 1(f (x2) = f 1f (x2) = x2 f 是单射 另一方面, 对任意 yY, y = f f 1(y) = f (f 1(y) (3) 由(3)我们得到 f (X ) = Y, 则 f 是XY 的双射.,例6 设,三、函数,1、函数概念,其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自 变量，y就是函数(因变量).,W=y|y = f(x)，xD,定义1,全体函数值的集合称为值域：,设数集D R,则称映射 f : DR为定义在D上的 函数，记作,函数定义中对应规则要求每一个x值只有一个y值与

10、之对 应，所以此例也不是函数关系.,例7 y = sin-1(2+x2),对于任何函数x，都没有按规定与之对应的y值,函数定义域不能是空集，所以此例不是函数关系.,例8 x y,每一个x值有无穷多个y值与之对应,注：x(自变量)， y(函数)，f(对应规则)， D(定义域)， W(值域)这五个要素中, 定义域和对应规则是最重要的 两个要素.,如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同， 则这两个函数是相同的。,注：1。在定义1中, 对于每一个x, 只能有一个y与它对应, 这种函数称为单值函数；否则为多值函数.,多值函数是一个x值对应二个或二个以上的y值.,2。函数的表示方法: 解析法（公式法），

11、图象法和 列表法,y = f(x),C(x, y),x,W,y,x,y,D,3。在xoy平面上，当x取遍D上的每一个数值时，就 可以得到点(x, y)的一个集合：C =(x, y)| y = f (x), xD, 这个集合 C 称为函数y = f (x)的图形,其中D, W 分别是函数y=f(x)的定义域和值域.,例9 函数,称为绝对值函数,它的定义域D=R 值域W=0,+),例10,-1, x 0,0, x = 0,1, x 0,称为符号函数,它的定义域D = R, 值域W = -1,0,1,例9，例10中的函数要用两个以上的式子表示， 这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同 式子来表

12、示的函数，称为分段函数.,例11 y=x(xR), 表示不超过x的最大整数,称取整函数.,例12 定义在0,1上的函数,1, 当x为有理数;,0, 当x为无理数,Dirichlet函数,它不能用解析法,图象法和列表法来表示,只能用描述法表示,定义域D=R,值域W =Z,其图形称为 阶梯曲线,跃度为1.,例如 2.99=2,=3,-3.14= 4.,例13 设函数 f (x) =,1, |x|1;,0, |x|1,求 f (f (x).,解:,前面的函数值为1, 由定义可知它的函数为1, 后面的函数为0, 由定义可知它为1,2、函数的几种特性,如果存在某个常数M，对于一切xX，总有f(x)M （

13、或 f(x) M），则称函数f(x)在X上有上（下）界M；,1）有界性,否则称函数f(x)在X上无界.,注 1。上（下）界不是唯一的,3。有界函数图象的特点是它完全位于平行于x轴的两 条直y=M之间.,2。若函数f(x)在X上有上界,又有下界则称为有界函数.,因此若f(x)为X上的有界函数,则必定存在某个正数M， 对于一切xX，恒有 | f(x)|M.,常见的有界函数有6个：,例14 函数 f (x) = x/(1+x2)在定义域内为( ) (a)有上界无下界 (b)有下界无上界 (c)有界, 且-1/2 f (x)1/2 (d)有界, 且-2 f (x)2,解:,(c)有界, 且-1/2 f

14、 (x)1/2,任意x1 x2, 总有f (x1)f (x2) (或f (x1)f (x2) ),则称 f (x)是单调递增(减)的.,2）单调性,满足这些条件的函数,都称为单调函数.,特别当x1f(x2) ), 则称 f (x)是严格递增(减)的.,图形是递升(降)的.,设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果对于任意 xD, 都有f (-x)= -f (x)（或f (-x)=f (x)）,则称f (x)为奇(偶) 函数.,3）奇偶性,设函数f(x)的定义域D(-,+),如果存在 一个正数 L，使得对于任意xD,当xL D,有f(x)=f(x L )，则 称f(x)为D上的周期函数. L

15、为它的一个周期.,4）周期性,2。如果f(x)的周期为L,则在此函数的定义域内每个长 度为L的区间上,函数通图形周而复始地重复出现,即具 有相同的形状.,(1)函数的定义域是有界的,则一定不是周期函数.,1。函数的周期有无数多个,通常我们说的周期是指最 小正周期.,注,3。判定函数是否周期函数可根据:,(2)如果函数是周期函数,则它的零点一定有周期性.,设函数y=f(x),xD,值域W=f(D). 若对于W上每一个 y0 ,D上有且只有一个值x0与它对应,即使得f(x0)=y0. 这样可 以在W=f(D)上确定一个函数, 称为y=f(x)的反函数,记作,1。如果x=f -1(y)称为反函数,则

16、y=f(x)称为原函数. 对应 规则是一一对应的，定义域和值域、原函数和反函数 彼此交换.,3、反函数,x=f-1(y), yW=f(D),（或 f -1: yx; f -1: f(D)D）,注,2。习惯上,用x表示自变量,用y表示因变量,函数y=f(x) 的反函数一般写为y=f -1(x), xf(D).,3。互为反函数的两个函数y=f(x)和y=f -1(x)在同一个坐 标系中的图象是对称于直线 y = x 的.,格上升,它有反函数在x0,+)上严格递增的.,例如, 由函数y=x2(x R), 解出x=,4。具有反函数的函数必是单调函数.,因此严格单调函数必有反函数，且严格上升（下降） 函

17、数的反函数是严格上升（下降）的.,递减,它有反函数是严格递减的;,所以y=x2在R上没有反函数;,(y0), 不是单调的.,而y=x2在x(-, 0上严格,但y=x2在x0,+)上严,定理1 严格单调函数必存在反函数,且其反函数具有相同 的严格单调性., 从y=f(x)中解出x. 得到x=f -1(y) (要求单值,否则认为给 定函数在其定义域内没有反函数) ;, 把字母x, y交换位置,得到反函数 y=f-1(x).,5。求反函数的步骤:,y=f(u)（u E），u=g(x)（x D）,设D1表示D中使 g(x)E 的所有x构成非空集,即 D1=x|g(x) E, x D,若对于D1中任何一

18、个x值,通 过函数u=g(x)对应E中唯一的一个值u,又通过函数y=f(u) 对应y的一个唯一值,因此对于每一个x D,变量y都有一 个确定的值与之相对应,这就得到一个确定在数集D1上 的函数，即,4、复合函数,已知两个函数,它由函数y=f(u)和u=g(x)经过复合运算而得到, 称它为复 合函数, 也称为复合映射,其中y=f(u)为外函数,u=g(x)为内 函数, u也称为中间变量.,复合函数是函数的函数.,设函数f(x),g(x)的定义域依次为 D1,D2,D=D1D2,则可定义这两个函数的下列运算:,5、函数的运算,和(差) fg: (fg)(x)=f(x)g(x), xD;,商 f /

19、g: (f /g)(x)=f(x)/g(x), xDx|g(x)=0,积 f g: (f g)(x)=f(x)g(x), xD;,6、基本初等函数,（1）常(量)函数 y = C,（2）幂函数 y = xn（nR）,（3）指数函数 y = ax（a 0, a1）,（4）对数函数 y = logax（a 0, a 1）, 0 x + ,特别 a=e，y=lnx,sinx, - x cosx, - x tanx, x(2k+1)/2 cotx, xk, secx, x(2k+1)/2 cscx, xk,（5）三角函数,arcsinx, -1x1, -/2 y/2 arccosx, -1x 1, 0

20、 y arctanx, - x , -/2 y/2 arccotx, - x , 0 y ,（6）反三角函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,都 称为初等函数.,除了初等函数外，还有非初等函数，例如 y = x, y = D(x), 它们属于高等超越函数的范畴.,例如函数,双曲正切,7、双曲函数与反双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正弦的定义域为(-,+);它是奇函数图形通过原点且关于原点对称,在区间(-,+)内是单调递增.当|x|很大时,图形在第一象限接近ex/2.在第4象限接近- ex/2,双曲余弦的定义域 同左,它是偶函数.图形过

21、(0,1)点且关于y轴对称.在(-,0)单调下降, (0,)单调升. ch0=1是函数的最小值.且接近ex/2和- ex/2.,双曲正切的定义域同左,它是奇函数.图形过原点且原点对称,在区间内是单调上升的.图形在y= -1, y=1之间,以它们为渐近线.,注：根据双曲函数的定义,可证明下列四个公式:,它们和三角函数相似,把它们对比一下可帮助记忆,双曲函数 y = shx, y = chx, y = thx的反函数依次为 反双曲正弦 y = arshx. 反双曲余弦 y = archx 反双曲正切 y = arthx.,四、小结,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),