解密06 定积分与微积分基本定理-备战2020年高考数学(理)之高频考点解密（解析版）

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1、解密06 定积分与微积分基本定理 高考考点命题分析三年高考探源考查频率定积分的计算高考中对定积分的考查频率不是很高,主要是考查定积分的概念和几何性质,以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积,并能解决一些简单的物理问题等在解题时要熟练运用微积分定理及定积分的相关运算性质求解,必要时运用数形结合的思想求解2015湖南 112015山东 13定积分的应用2015天津112015福建 132015陕西 16考点1 定积分的计算题组一 用牛顿莱布尼茨公式求定积分调研1 A B0 C1 D【参考答案】C【解析】因为,所以故选C【名师点睛】本题主要考查了定积分的运算,定积分的题目往往先求出

2、被积函数的原函数或者利用其几何意义,属于基础题先求出被积函数1x的原函数,然后根据定积分的定义求出所求即可调研2 已知,若,则的值为A BC D【参考答案】C【解析】因为,所以,所以,解得故选C【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力直接利用微积分基本原理化简即得a的值调研3 若函数,则_【参考答案】【解析】,则【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分,意在考查对基本定理的掌握与应用,属于简单题调研4 已知函数,则_【参考答案】【解析】方法技巧点拨1用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函

3、数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值2分段函数的定积分分段函数求定积分,可先把每一段函数的定积分求出后再相加题组二 用定积分的几何意义求定积分调研5 计算_【参考答案】0 【解析】因为为奇函数,所以调研6 已知函数为偶函数,且,则_【参考答案】【解析】因为函数为偶函数,所以调研7 _【参考答案】【解析】由题可得,根据定积分的几何意义可得,所以调研8 已知函数,则_【参考答案】【解析】,的几何意义是以原点为圆心,半径为的圆的面积的,故方法

4、技巧点拨1求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法),可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分例如,定积分的几何意义是求单位圆面积的,所以2奇偶函数的定积分（1）若奇函数y=f(x)的图象在a,a上连续,则；（2）若偶函数y=g(x)的图象在a,a上连续,则考点2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积调研1 如图,抛物线的方程为,则图中阴影部分的面积可表示为AB|CD【参考答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为,而,故选C调研2 如图,若在矩形OABC中随机撒一粒豆子,则豆子落在

5、图中阴影部分的概率为A B C D【参考答案】A【解析】,豆子落在图中阴影部分的概率为故选A【名师点睛】本题考查几何概率的求解,属于基础题,难度不大,正确求面积是关键分别求出矩形和阴影部分的面积,即可求出豆子落在图中阴影部分的概率调研3 求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积错误的为ABCD【参考答案】C【解析】曲线,直线及轴所围成的图形如下图中阴影部分所示：则阴影部分的面积可表示为,可知A正确；根据对称性可知,所以阴影部分的面积可表示为,可知B正确；同理,根据对称性可知,阴影部分的面积可表示为,可知D正确；故选C调研4 若从区间内随机取两个数,则这两个数之积大于的概率为_【参考答案】【解析】设

6、这两个数为,则,且,令,则,则可作出如下图所示图象,要使,则必须在曲线的上方,则阴影部分的面积为,则所求概率方法技巧点拨利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向,多以选择题、填空题的形式考查难度一般不大,属中低档题型常见的题型及其解法如下：1利用定积分求平面图形面积的步骤根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分,写出参考答案注意：当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为

7、零2知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图,一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再由已知条件可找到关于参数的方程,从而可求出参数的值3与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算题组二 定积分的物理意义调研5 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为和(如图所示)那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是A在t1时刻,甲车在乙车前面Bt1时刻后,甲车在乙车后面C在t0时刻,两车的位置相同Dt0时刻后,乙车在甲车前面【参考答案】A【解析】由图可

8、知,曲线,直线和t轴所围成图形的面积大于曲线,直线和t轴所围成图形的面积,则在t0时刻,甲车在乙车前面,故C错误；同理,在t1时刻,甲车在乙车前面,故A正确,D错误；t1时刻后,甲车会领先乙车一小段时间,但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车,故B错误故选A调研6 一物体在变力F(x)5x2(力单位：N,位移单位：m)作用下,沿与F(x)成30方向作直线运动,则由x1运动到x2时,F(x)作的功为A BC D【参考答案】C【解析】由于与位移方向成角,如图：F在位移方向上的分力,所以故选C【名师点睛】本题体现了数形结合的思想方法由物理学知识知,变力所作的功对应“位移力”,只要求,进而计算可得参

9、考答案方法技巧点拨利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求1（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测）计算的值为ABCD【参考答案】D【分析】直接利用微积分基本原理计算求值得解【解析】,故选D【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力2（重庆市第一中学2019-2020学年高三上学期摸底考试）若函数在R上可导,则A2B4CD【参考答案】D【解析】,故选D3（重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学

10、质量检测）的值为ABCD【参考答案】A【解析】,故选A4（福建省华安一中、龙海二中2019-2020学年高三上学期第一次联考）已知,则的大小关系是ABCD【参考答案】C【解析】由题可得（x3x）1,blog23log22=1,所以acb,故选C5（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）若,则,的大小关系ABCD【参考答案】D【分析】由定积分的运算可得|=,再由以为底的对数函数的单调性可得,再由以的单调性可得,比较即可得解【解析】由题可得|,又,所以,故选D【名师点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小,指数幂比较大小,重点考查了不等关系,属中档题

11、6（江西省抚州市临川第一中学等2019-2020学年高三上学期第一次联考）设曲线与轴、轴、直线围成的封闭图形的面积为,若在上的单调递减,则实数的取值范围是ABCD【参考答案】A【分析】由定积分可以求出b,在上的单调递减可转化为在上恒成立,由此即可求解【解析】由题意可得,所以,因为在上的单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,只需即可,解得,所以实数的取值范围是故选A【名师点睛】本题主要考查了利用定积分求面积,函数的单调性与导数的关系,不等式的恒成立问题,属于中档题7（湖北省百校大联盟高三上学期10月联考）4片叶子由曲线与曲线围成,则每片叶子的面积为ABCD【参考答案】C【分析】先计算图象交点,

12、再利用定积分计算面积【解析】如图所示：由,解得,根据图形的对称性,可得每片叶子的面积为,故选C8（安徽省合肥一中2019-2020学年9月高三阶段性检测）ABCD【参考答案】C【解析】由题可得,易得,是半径为的圆的面积的四分之一,为,所以,故选C9（安徽省蚌埠市2019-2020学年高三上学期9月第一次教学质量检查）定积分的值是ABCD【参考答案】B【分析】根据定积分的性质,将定积分可以展开为,利用定积分的运算,分别求出定积分值【解析】由题可得,易得表示以为圆心,2为半径圆的面积,所以,易得与都是奇函数,所以,所以故选B【名师点睛】本题考查定积分的性质,学生应熟练掌握定积分的运算法则和几何意义

13、,属于中档题10（安徽省全国示范高中名校2019-2020学年高三上学期9月月考）由曲线与直线围成的封闭图形的面积为_【参考答案】【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为,结合图像可知围成的封闭图形的面积【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为,如图：结合图像可知围成的封闭图形的面积为11（2019年河北唐山市区县高三上学期第一次段考）若,则实数的值为_【参考答案】1【分析】先找出的原函数,然后根据定积分运算法则,两边进行计算即可求出实数的值【解析】由于,所以,解得12（安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第一次联考）若,则_【参考答案】1【分析】根据定积分的运算,得到,

14、代入即可求解【解析】由,解得【名师点睛】本题主要考查了定积分的计算,其中解答中求得被积函数的原函数,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题13（湖南省师大附中2019-2020学年高三上学期10月月考）定积分_【参考答案】【解析】令,则（x-1）2+y21表示以（1,0）为圆心,以1为半径的圆,其面积为,所以表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图所示,所以【名师点睛】本题考查定积分的几何意义,准确转化为图形的面积是解决问题的关键,属基础题14（2019年河北省石家庄市二模）已知,则展开式中的系数为_【参考答案】12【分析】由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数

15、的计算公式,求出展开式中的系数【解析】因为,则,它表示4个因式的乘积,故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项故展开式中的系数【名师点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题15（河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调）如图,阴影部分是由曲线和及轴围成的封闭图形,则阴影部分的面积为_【参考答案】【分析】首先求出曲线的交点,然后求直线与围成的面积,利用扇形的面积公式,求得扇形AOB的面积,则阴影部分的面积为,计算即可求得结果【解析】曲线和圆的在第一象限的交点为,则直线OA的方程为,如图,则,又扇形AOB圆心角为,则扇形AOB的面

16、积,所以阴影部分的面积【名师点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积,关键是利用定积分正确表示对应的面积,属中档题16（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）如图,曲线与的图象所围成的阴影部分面积为_【参考答案】【分析】由于不是函数,不方便直接用定积分求面积,可先将整个图像关于作对称变换得到与,再根据定积分的方法求解即可【解析】将曲线与作关于的对称图象,得到与,求出与交点坐标分别为与,故所求面积表达式为,易得原函数,故所求面积为,即阴影部分面积为【名师点睛】对于不方便直接用定积分求面积的问题,可以找寻与之面积相等的图像进行求解本题中的抛物线焦点在轴上不易求解,故转换

17、到轴上 1【2014年高考山东卷理数】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为ABC D4【参考答案】D【解析】由已知得,故选D2【2014年高考湖北卷理数】若函数、满足,则称、为区间上的一组正交函数,给出三组函数：,；,；,其中为区间的正交函数的组数是A0B1C2D3【参考答案】C【解析】对于：,则、为区间上的正交函数；对于：,则、不为区间上的正交函数；对于：,则、为区间上的正交函数所以满足条件的正交函数有2组,故选C3【2015年高考湖南卷理数】_【参考答案】0【解析】4【2015年高考天津卷理数】曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_【参考答案】【解析】由题意可得封闭图形的面积为5【2015

18、年高考山东卷理数】执行如图所示的程序框图,输出的T的值为_【参考答案】【解析】开始n=1,T=1,因为13,所以,n=1+1=2；因为23,所以,n=2+1=3因为33不成立,所以输出T,即输出的T的值为6【2015年高考福建卷理数】如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f (x)=x2若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于_【参考答案】 【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=14=4,阴影部分的面积S阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=7【2015年高考陕西卷理数】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_【参考答案】 【解析】建立空间直角坐标系,如图所示：原始的最大流量是,设抛物线的方程为(),因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即,所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是,所以参考答案为知识改变命运24