线性规划典例应用

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1、(1)若若z=2x+y,求求z的最值的最值.例例.已已知知、满满足足43,13525.1.xyxyxyx maxZ2 5212,minZ2 113.解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：画出直线画出直线 2x+y=0 并平移得点并平移得点A使使Z最大，最大，点点B使使Z最小。最小。2x+y=0由由 求出求出A（5,2)。02553034yxyx由由 求出求出B为（为（1，1)。0341yxx(2)若若z=2x-y,求求z的最值的最值.解：画出可行域如图：画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点C使Z最小。由 可得C为（1,4.4）025531yxx由 可得A为（5,2）02553034yx

2、yx8252maxz4.24.412minz例例.已已知知、满满足足43,13525.1.xyxyxyx (3)若若z=x2+y2,求求z的最值的最值.min2,zmax29.z 解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：表示可行域内的点表示可行域内的点（x,y)到原点的距离的平方，到原点的距离的平方，22yxz由由 求出求出A 为（为（5,2)。02553034yxyx由由 求出求出B为（为（1，1)。0341yxx 由图可得点由图可得点A使使Z最大，点最大，点B 使使Z最小。最小。例例.已已知知、满满足足43,13525.1.xyxyxyx 解：画出可行域如图：解：画出可行域如图：由由 求出

3、求出A 为（为（5,2)。02553034yxyx 由图可得点由图可得点C使使Z最大，点最大，点A使使Z最小。最小。(4)若若 求求z 的最值的最值.,yzx 表示可行域内的点表示可行域内的点（x,y)与原点连线的斜率，与原点连线的斜率，,yzx 由 可得C为（1,4.4）025531yxxmax20.4.5OAzkmax4.44.4,1OCzk例例.已已知知、满满足足43,13525.1.xyxyxyx (5)求可行域的面积和求可行域的面积和整点个数整点个数.1|2SBC h 13.446.8.24221110 解：画出可行域如图解：画出可行域如图：求求A出为（出为（5,2），），B为为(1

4、，1)，C为为(1,4.4）。）。Q已知 满足不等式yx,3006xyxyx求：(1).xyz3的范围;(2).12xyz的范围.解:(1)表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,xyz3因为,0,2QBQAkk所以z的范围为.),02,(例2BCA6y4xO62242420 yx06 yx3x(2).表示可行域内任一点与定点12xyz因为,21,25RBRAkkR（-1,-2）连线的斜率,R所以z的范围为.),2125,(点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.BCA6y4xO62242420 yx06 yx3xN求：(1).最大值和最小值;(2).222yxxz最大值和最小

5、值;22yxz22yxz解:(1)表示可行域内任一点),(yx到原点)0,0(O的距离的平方.过O向直线ACBC、作垂线,垂足非别为.A、N易知,)9,3(C到O距离最大,此时,909322maxz.00022minz例3已知 满足不等式yx,3006xyxyxBCA6y4xO62242420 yx06 yx3xP3.(2).解:1)1(22222yxyxxz表示可行域内任一点到定点)0,1(M距离的平方再减去1.过M作直线AB的垂线,垂足是P由直角三角形直角边与斜边关系,容易判断出z的最小值是,21|MPz的最大值为.96|MC点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.MBCA6y4xO

6、62242420 yx06 yx3x例4.某某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单个单位，含淀粉位，含淀粉4个单位，售价个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉个单位，含淀粉7个单位，售价个单位，售价0.4元学校要给学生元学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和10个单位个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？解：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元。目标函数为：z0.5x0.4y线性约

7、束条件为：0,01074836yxyxyx画出可行域如图：画出直线画出直线 0.5x+0.4y=0 并平移得点并平移得点A使使Z最最小。小。0.5x+0.4y=0 A 求出点A 为1514,1513所以每份盒饭中有面食 百克，米食为 百克，费用最省。15131514例5.某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1 t产品需要的电力、煤、劳动力及产值如下表所示：品种电力(千度)煤(吨)劳动力(人)产值(千元)甲4357乙6639v该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t，问每天生产这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益？解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y

8、吨，可得产值z千元。目标函数为：z7x9y线性约束条件为：150351506318064yxyxyx画出可行域如图：画出直线画出直线7x+9y=0 并平移得点并平移得点P使使Z最小。最小。求出点P 为)7100,7150(所以每天生产甲产品 吨，乙产品 吨时，效益最大。71507100变式训练某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg,2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg，那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z?作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出5x2y0.把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z5x2y取得最大值