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1、第三章 二维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量的联合分布,3.2 边际分布与条件分布,3.3 随机变量的独立性,3.4 二维随机变量函数的分布,制作人：卞小霞,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,一、二维随机变量及分布函数,3.1 二维随机变量的联合分布,一、二维随机变量及分布函数,1.引例：五只球（三白二黑），任取三只，以,表示取得,表示取得的黑球数。,的白球数，以,的取值是一个随机变量，它可以取0,1,2,3。,的取值也是一个随机变量，它可以取0,1,2。,在,，,和,这三点的取值是有意义的，,也是随机的。,且它们取这些值的概率分别为：,为了书写方便，我们一般 将上面的概率
2、分布情况列 成右表：,为二维随机变量 的分布函数，或称 的 联合分布函数。,2.定义,二维分布函数的几何意义 ：,3.几何意义,随机点 落在以点 为右上顶点 的无穷“矩形”内的概率。,的分布函数 具有以下性质： 1. 是 与 的单调非减函数； 2. 是关于 与 的右连续函数； 3. ， 4. .,4.性质,例1.射手对目标独立地进行两次射击，每次的命中率为0.8，以 表第一次命中的次数，以 表示第二次命中的次数。求 的分布函数。,根据随机变量的意义，它的概率规律性可列成 下表:,5.例题解析,解：,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,故 的分布函数为,推广：如果每次随机试验的结果都对应着一
3、组确定的实数 ，它们是随机试验结果不同而变化的 个随机变量，则称 个随机变量的整体 为一个 维随机变量。称 维函数 为 维随机变量的分布函数。,二、二维离散型随机变量,1. 定义,2. 联合概率函数的性质,取值：,2.9 二维随机变量的联合分布,例2.袋中有5件产品（3正2次），任取一件， 再取一件，设,（1）放回抽取，试写出,（2）不放回抽取，试写出 的联合分布列,的联合分布列,3.例题解析,解：（1）有放回地抽取的联合分布表,0,1,（2）不放回地抽取的联合分布表,0,1,件三等品.,等品、二等品件数的二维联合概率分布.,解:,设 分别是取出的4件产品中一等品及二等,品的件数，,其中,由此
4、得,的二维联合概率分布如下：,求其中一,则 的联合概率函数为,2.9 二维随机变量的联合分布,2.9 二维随机变量的联合分布,例4. 一大批粉笔，其中60%是白的，25%是黄的，15%是红的，现从中随机地，顺序地取出6支,问这6支中恰有3支白，1支黄，2支红的概率。,解：由于是大批量，我们认为是放回抽样，即抽取到黄，白，红的概率不变，有,于是,上例若用随机变量来表述，设,=6支中白粉笔的数目,=6支中黄粉笔的数目,则事件“恰有3支白，1支黄，2支红”就是事件 ，,即, 上面的结果表示为,这就是参数为,的三项分布.,一般地，有对于,）,说明：三项分布设,的联合分布是,，其中,是给定的自然数，,，
5、,，,，称,服从三项分布。,定义 设,是二维连续型随机变量，如果,使得,其中,是某一平面区域，那么,称为,的联合概率密度，且满足,存在一个非负可积函数,20,10,三、二维连续型随机变量,例5. 二维随机变量,密度函数为,其中,为区域,，试确定 值.,解：由概率密度函数的性质有,故,即,例6. 设二维随机变量,的密度函数为,求,，其中,是直线,与,轴、,轴所围成的区域。,解：由概率的定义知,例7. 设二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为,其中k为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5).,解：令,(1),(2),0.5,小 结,1. 二维离散随机变量的联合分布:联合概率函数,二维联合分布表,联合概率函数的性质(非负性,规范性).,2.9 二维随机变量的联合分布,2. 二维连续随机变量的联合分布:联合分布函数及其性质,联合概率密度及其性质(非负性,规范性).,3. 联合分布函数与联合概率密度的关系.,4. 利用联合概率密度求概率：,作 业 习题三 1、2、4、5、23,2.9 二维随机变量的联合分布,思考题,2.9 二维随机变量的联合分布,
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