初二奥校-面积和面积法-35

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1、 精品文档 你我共享 面积和面积法证题 基础知识 1.有关面积计算公式及等积定理、面积定理。 2.面积问题主要有两个方面，即计算和证明〔另外尚有作图〕，前者常用有 关公式，通过代数方法解决；后者常用等积变形〔即等积变换〕的方法解决，常 用方法归纳如下： 〔1〕利用面积公式； 〔2〕利用等高的两三角形面积之比等于底边之比； 〔3〕利用相似三角形面积之比等于它们的相似比的平方； 〔4〕利用中线把三角形的面积分成相等的两部分； 〔5〕利用等底等高的两个三角形面积相等。 例题精析 例1已经知道四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且△ABC、△ACD、 △ABD的面

2、积分别为S5，S10，S6，求△ABO的面积S。 1 2 3 [分析]此例中，直接出现面积，因此， 一看便知须用面积关系进行解答，在解 题过程中，常常把多边形面积转化为三 角形的面积，再把三角形面积转化为底 和高的问题，在转化中要特别留心是否 等底或等高。 S1 BO5 OD10 BO1 BD3 SBO S1 解：S S3 3 S2。 2 S6 3 SBD 3 例2在Rt△CAB中，∠CAB=90，AD、AE分别是高和角平分线，且△ABE、 △AED的面积分别为S30，S6，求证△ADC的面积S。 1 2 [分析]因Rt△ADC∽Rt

3、△BDA，故可考虑用相似三角形面积之比等于相似比 的平方。 S AC AB )2 解：Rt△ADC∽Rt△BDA ( 306 ACCE AE是∠CAB的平分线 ABEB CES6 EB 30 S (S6) 30 2 2 S13S360 S4或9。 36 AAAAAA 精品文档 你我共享 例3如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，求证：BDSAEB DCSAEC [分析]运用两个等高三角形的面积之比等于它们底之比，即可获证。 说明：此例提供了一个把线段之比转化为面积之比的好方法，它在解决线段与面 积关系方面起着

4、重要的作用。 证明：∵SAEB SEDB SAEC SEDC AE ED ∴SAEB SAEC SEDB SEDC BD DC [思考]此例中，当点E与点D重合时，结论仍成立吗？ 例4已经知道从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，分别与对边或其延长线交 于D、E、F， 求证：SDEF2SABC [分析]利用AD∥EB∥FC可找出等高的三角形，再利用等底等高的三角形等 积作等积代换，问题即可解决。 证明：∵AD∥EB∥FC, ∴SADESADB，SADF SADC，SBEFSBEC ∴SADESADFSADBSADCSABC SBEF SBEA

5、SBECSBEA 即SAEFSABC ∴SADESADFSAEF2SABC 即SDEF2SABC 。 例5如图，已经知道点O为△ABC内一点，AD、BE、CF过点O分别交BC、CA、 AB于点D、E、F。 ODOEOF 求证： 1 ADBECF [分析]解此题的关键是化异分母为同分母，根据例3，可将线段的长度之比 转化为面积之比，再由面积之比即可得出证明。 ODSOBD ADSABD SODC SADC 证明：∵ ODSOBDSODC ADSABDSADC SOBC SABC ∴ AAAAAA 精品文档 你我共享 OESOCA，OF

6、SOAB BESABCCFSABC 同理 ODOEOFSOBCSOCASOAB ADBECFSABCSABCSABC ∴ SOBC SOCASOAB = = SABC SABC SABC 1 ODSBOC吗？ ADSABC [思考]1.你能利用面积公式证明 2.根据题设你能证明 AOBOCO 2吗？ ADBECF 例6在△ABC中，假设BC>BA，AD、CE是两条高〔如图〕，求证：BC+AD≥AB+CE. [分析]“高不离积〞，凡涉及三角形高的关系式，不妨用面积法试一试。 1 2 1 2 BC AB CE AD 证明：SABC A

7、DBC ABCE ADBCABCE BCABCEAD ABAD BCABAB CEADAD ABAD BCBA,CEAD BCAB 1 BCABCEAD BCADABCE CEAD [思考] 1.不用面积法，你能证明此题结论吗？ 2.从此题你可以发现并归纳出什么规律？ 3.求证：直角三角形斜边与斜边上高的和大于两条直角边的和。 例7E是平行四边形ABCD中AB上任一点，EF∥AC交BC于F，求证：△ADE 与△DCF等积 [分析]此题证法较为灵活，可根据同底等高的两个三角形面积相等；有一 对角相等的两个三角形的面积比等于角的两边乘积之比；等面积的积差比

8、例等方 法来解决。 证1连结AF、CE， ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥DC ∴SADESACE 同理SDCF ， SACF，∵EF∥AC， AAAAAA 精品文档 你我共享 ∴SACESACF，∴SADESDCF 。 证2∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC， ∵EF∥AC， ∴AECF ABBC AECE ，∴ DC AD ∴AEADDCCF，∵∠DAB=∠DCB， SADE SDCF AEAD DCCF ∴ 1，∴SADESDCF 例8在△ABC的边AB、BC、CA上取AD、BE、CF各等于所在的边长的三分

9、 之一，求证△DEF的面积等于△ABC面积的三分之一。 分析因为△DEF与△ABC之间没有直接关系， 1 因此要证SDEF SABC ，只要证明： 3 2 3 SBDESEFDSAFD SABC 即可， 要证它们与SABC 的关系那么可用同高 的两角形面积之比等于它们底的比； 或利用相似三角形的性质；或利用有一对角相等的两个三角形面积之比等于角两 边乘积之比。 BE1 BC3 1 3 证1:连结AE，∵△ABE与△ABC等高， ，∴SABE SABC 。 2 3 21SABC 33 2 9 同理SBDE 同理SDEF SABE

10、 SABC 2 9 SAFD SABC 2 1 ∴SDEF SABCSBDESEFCSAFD(13 )SABC SABC 9 3 证2:∵∠B是△ABC与△BDE的公共角。 2 3 1 ABBC 3 ABBC ∴SBDE SABC 2 9 2 ∴SBDE SABC 9 2 同理SEFC SAFD SABC 9 1 3 ∴SDEF SABC 证明3：取BD之中点M，连结EM， AAAAAA 精品文档 你我共享 ∵BM BA BE1 BC3 ∴ME∥AC ∴△MBE∽△ABC SMBE SA

11、BC 1 1 9 ()2 3 1 9 2 ∴SMBE SABC，SBDE SABC ， 9 2 9 同理可证：SEFC SAFD SABC 1 ∴SDEF SABC 3 例9．四边形ABCD的两对角线AC、BD之中点M、N，作MO∥DB，NO∥AC， 各边之中点E、F、G、H与O连结，求证：OE、OF、OG、OH分四边形ABCD为四 等分。 1 分析1由于连结三角形中位线可以得到一个三角形的 ，为此连结MF、 4 1 4 1 4 MG，可证SMFCG SABCD，只须证S MFCG SOFCG由已经知道可 SABCD，

12、要证SOFCG 得OM∥FG，△OFG与△MFG是同底等高的三角形，因而可证。其它部分同理可证。 证1:连结MF、MG、FG， ∵F、M是BC、AC之中点， 1 ∴SMFC SABC 4 1 同理SMGC ∴SMFCG SACD 4 1 4 SABCD 。 ∵F、G是BC，CD之中点，∴FG∥BD，∵OM∥BD， ∴FG∥OM，∴SOFGSMFG ， 1 ∴SOFCGSMFCG 同理SOEBF SOHAE 分析2连结各中点得平行四边形EFGH，恰等于SABCD SABCD， 4 1 SOGDH SABCD。 4 的一半，又 1

13、2 1 4 1 4 SOEHSOFG SEFGH SABCD，要证SOFCG SABCD，只要证SOEHSCGE即 1 4 可，由已经知道可证SOFCG SABCD，△MHE≌△CGF，即可，由已经知道可证SOEH SMHE， △MHE≌△CGF，从而得证。 AAAAAA 精品文档 你我共享 证2：连结EF、FG、GH、HE、EM、HM， ∵E、H是AB、AD之中点， // ∴EHBD， 1 2 // 同理FGBD 1 2 // ∴EHFG，∴EFGH是平行四边形，SEFGH 1 SABCD 2 1 2 1 4

14、 ∵SOEHSOFG SEFGH SABCD ∵OM∥BD，EH∥BD，∴OM∥EH。 ∴SOEHSMHE，∵H、M是AD、AC的中点， 1 ∴HM=CD=CG，同理EM=FC， 2 ∴△MHE≌△CGF，〔SSS〕，∴SCGFSOEH 1 4 1 4 ∴SCGESOFG SABCD，即SOFCG SABCD 1 同理SOEBF SOHAE SOGDH SABCD . 4 练习 1.在△ABC的边BC上取一点P，过点P作PE∥BA交AC于E，PD∥CA交BA 4 BP BC 于D，且□ADPE与△ABC的面积之比为，求 的值. 9

15、2.已经知道梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，△AOD的面积Sp， 1 △BOC的面积Sq，求梯形ABCD的面积S. 2 3.如图，设M是△ABC的边AC的中点，过M作直线ME交AB于点E，过B 1 作BF∥EM交AC于F，求证：SAEF SABC 。 2 AAAAAA 精品文档 你我共享 4.梯形的面积被一条对角线分成3：7，求这梯形被它的中位线所分成两部 分的面积之比。 5.如图，△ABC的三条中线AD、BE、CD相交于O， 求证：SAOFSFOBSBODSDOCSCOESEOA 6.用面积法证明：在△ABC中，M、N分别在A

16、B、AC上，且AM=MB，AN=NC， // 求证：MNBC。 1 2 7.已经知道△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与 DE相交于N，求证：DN=NE. 〔提示：作DH⊥AM于H，EK⊥AM于K，连结DM、EM，要证DN=NE，只需证DH=EH， 即证SADM SAEM，然而SABM SACM，SDBMSECM〕 8.求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰所引的垂线段之和为定值。 9.如图，在□ABCD的CD、AD边上各取一点，E、F，使AE=CF，如果AE、CF 相交于P，那么PB平分∠APC。 AAAAAA 精品文档

17、 你我共享 10.D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，F、G各是BD、CE之中点，求证 1 △AFG的面积等于四边形BCDE面积的. 4 练习题解 1．解：∵PE∥AB，∴PC2 SPCE BC2SABC PB2 BC2 SBPC SABC 同理： ， 4 9 SABC 2 PC2 SABC SABC ∴PB 5 9 〔1〕 BC2 PC BC PE 又由PE∥AB得 ，由PD∥AC得： AB 1 SPEAD PBPD PBPC BC2 PDPE ABAC 2 9 2 〔2〕 ，∴ BCAC S

18、ABC 由〔1〕〔2〕得 (PBPC)2 BC2 5 9 2 9 PBPC BCBC 1，〔3〕 2 2 1，∴ (PBPC)2 BC2 5 9 21 99 PBPC1 BCBC3 ，∴ 〔4〕 PB1 BC3 2 由〔3〕，〔4〕知。 或。 3 2.解，设△AOB，△DOC的面积分别为SS ，。 4 3 AD∥BCSABCSBDC SSSS2 SS4 3 3 2 4 AAAAAA 精品文档 你我共享 SOB 3 S1OD SSSS2 341 S32pqS42 SOD 4 Sp,S

19、q 12 S2 OB ∴SSSSSpq2pq 3 1 2 3 4 3.证：连结BM， ∵BF∥EM，∴SFEMSBEM ， SAEMSEFMSAEMS， BEM ∴SAEFSABM 1 ∵M是AC之中点，∴SABM SABC 2 1 ∴SAEF SABC 2 4.证：设梯形ABCD，AB∥DC，EF为中位线，设BD对角线分梯形为两部分的 面积比3：7。 即S 3 7 ，∵AB∥DC，∴△BCE与△ABD等高， BCD SABD SBCD SABD 3DC， 7AB ∴ 1 2 令DC3k，那么AB7k，∴EF (D

20、CAB)5k SDEFC SEABF DCEF3k5k2 EFAB5k7k3 ∴ 1 1 SBAD 5.证：∵OD AD ， ，∴SBOD 3 3 1 ∵SBADSDAC SABC 2 1 ∴SBOD SABC 6 1 6 同理可证SAOF 6.证明： SFOBSBODSDOCSCOESEOA SABC AAAAAA 精品文档 你我共享 1 1 SMNC SAMC SABC 2 1 4 1 SABC 4 SMNB SANB 2 1 SMNCSMNB MN∥BC， SABC MNSMNC

21、 BCSBCN 1 4 1 2 SABC 2 7.证：过D作DH⊥AM于H，过E作EK⊥AM于K， SABH SBMD SACM SCME ∵ SADM SAEM DHEK DNEN。 8.分析，PE+PD之定值为何值，移动PD至C， 可知定值为AB〔腰〕上的高CF。证：过C作 CF⊥AB于F，连结AP。 1 ∵SABC ABCF， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 那么SABCSAPBSAPC ABPE ACPD AB(PEPD) ABCF ∴PE+PD=CF 9.证：作BG⊥AE于G，BH⊥CF于H，连结BF、

22、BE， 1 2 1 2 那么SABE SABCD，SBCF SABCD ∴SABESBCF 1 1 2 而SABE SABCD，SBCF SABCD 2 ∴SABESBCF 1 1 CFBH 2 而SABE AEBGSBCF 2 ∵AE=CF∴BG=BH， ∴∠BPG=∠BPH，即PB平分∠APC。 10.证，连结DG、EF、FC取DE之中点M，连结AM，FM，GM。 ∵G是EC之中点，M是DE之中点，∴MG∥AC， ∴SAMGSDMG 同理SAFM SEMF AAAAAA 精品文档 你我共享 ∴SAFGSDEFG 1 1 ∵SDEG SDEC，∴SDEFG SDEFC 2 2 1 1 SBCDE 同理SDEFC SBCDE，∴SAFG 2 4 沁园春·雪 北国风光，千里冰封，万里雪飘。 望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。 山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。 须晴日，看红装素裹，分外妖娆。 江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。 惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。 一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。 俱往矣，数风流人物，还看今朝。 克 AAAAAA