初二奥校-面积和面积法-35
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1、精品文档你我共享面积和面积法证题基础知识1.有关面积计算公式及等积定理、面积定理。2.面积问题主要有两个方面,即计算和证明另外尚有作图,前者常用有关公式,通过代数方法解决;后者常用等积变形即等积变换的方法解决,常用方法归纳如下:1利用面积公式;2利用等高的两三角形面积之比等于底边之比;3利用相似三角形面积之比等于它们的相似比的平方;4利用中线把三角形的面积分成相等的两部分;5利用等底等高的两个三角形面积相等。例题精析例1已经知道四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且ABC、ACD、ABD的面积分别为S5,S10,S6,求ABO的面积S。123分析此例中,直接出现面积,因此,一看便知须用面
2、积关系进行解答,在解题过程中,常常把多边形面积转化为三角形的面积,再把三角形面积转化为底和高的问题,在转化中要特别留心是否等底或等高。S1BO5OD10BO1BD3SBOS1解:SS33S2。2S63SBD3例2在RtCAB中,CAB=90,AD、AE分别是高和角平分线,且ABE、AED的面积分别为S30,S6,求证ADC的面积S。12分析因RtADCRtBDA,故可考虑用相似三角形面积之比等于相似比的平方。SACAB)2解:RtADCRtBDA(306ACCEAE是CAB的平分线ABEBCES6EB30S(S6)3022S13S360S4或9。36AAAAAA精品文档你我共享例3如图,D是A
3、BC中BC边上的一点,E是AD上的一点,求证:BDSAEBDCSAEC分析运用两个等高三角形的面积之比等于它们底之比,即可获证。说明:此例提供了一个把线段之比转化为面积之比的好方法,它在解决线段与面积关系方面起着重要的作用。证明:SAEBSEDBSAECSEDCAEEDSAEBSAECSEDBSEDCBDDC思考此例中,当点E与点D重合时,结论仍成立吗?例4已经知道从ABC各顶点作平行线ADEBFC,分别与对边或其延长线交于D、E、F,求证:SDEF2SABC分析利用ADEBFC可找出等高的三角形,再利用等底等高的三角形等积作等积代换,问题即可解决。证明:ADEBFC,SADESADB,SAD
4、FSADC,SBEFSBECSADESADFSADBSADCSABCSBEFSBEASBECSBEA即SAEFSABCSADESADFSAEF2SABC即SDEF2SABC。例5如图,已经知道点O为ABC内一点,AD、BE、CF过点O分别交BC、CA、AB于点D、E、F。ODOEOF求证:1ADBECF分析解此题的关键是化异分母为同分母,根据例3,可将线段的长度之比转化为面积之比,再由面积之比即可得出证明。ODSOBDADSABDSODCSADC证明:ODSOBDSODCADSABDSADCSOBCSABCAAAAAA精品文档你我共享OESOCA,OFSOABBESABCCFSABC同理ODO
5、EOFSOBCSOCASOABADBECFSABCSABCSABCSOBCSOCASOAB=SABCSABCSABC1ODSBOC吗?ADSABC思考1.你能利用面积公式证明2.根据题设你能证明AOBOCO2吗?ADBECF例6在ABC中,假设BCBA,AD、CE是两条高如图,求证:BC+ADAB+CE.分析“高不离积,凡涉及三角形高的关系式,不妨用面积法试一试。1212BCABCEAD证明:SABCADBCABCEADBCABCEBCABCEADABADBCABABCEADADABADBCBA,CEADBCAB1BCABCEADBCADABCECEAD思考1.不用面积法,你能证明此题结论吗?
6、2.从此题你可以发现并归纳出什么规律?3.求证:直角三角形斜边与斜边上高的和大于两条直角边的和。例7E是平行四边形ABCD中AB上任一点,EFAC交BC于F,求证:ADE与DCF等积分析此题证法较为灵活,可根据同底等高的两个三角形面积相等;有一对角相等的两个三角形的面积比等于角的两边乘积之比;等面积的积差比例等方法来解决。证1连结AF、CE,ABCD是平行四边形ABDCSADESACE同理SDCF,SACF,EFAC,AAAAAA精品文档你我共享SACESACF,SADESDCF。证2ABCD是平行四边形,AD=BC,AB=DC,EFAC,AECFABBCAECE,DCADAEADDCCF,D
7、AB=DCB,SADESDCFAEADDCCF1,SADESDCF例8在ABC的边AB、BC、CA上取AD、BE、CF各等于所在的边长的三分之一,求证DEF的面积等于ABC面积的三分之一。分析因为DEF与ABC之间没有直接关系,1因此要证SDEFSABC,只要证明:323SBDESEFDSAFDSABC即可,要证它们与SABC的关系那么可用同高的两角形面积之比等于它们底的比;或利用相似三角形的性质;或利用有一对角相等的两个三角形面积之比等于角两边乘积之比。BE1BC313证1:连结AE,ABE与ABC等高,SABESABC。2321SABC3329同理SBDE同理SDEFSABESABC29S
8、AFDSABC21SDEFSABCSBDESEFCSAFD(13)SABCSABC93证2:B是ABC与BDE的公共角。231ABBC3ABBCSBDESABC292SBDESABC92同理SEFCSAFDSABC913SDEFSABC证明3:取BD之中点M,连结EM,AAAAAA精品文档你我共享BMBABE1BC3MEACMBEABCSMBESABC119()23192SMBESABC,SBDESABC,929同理可证:SEFCSAFDSABC1SDEFSABC3例9四边形ABCD的两对角线AC、BD之中点M、N,作MODB,NOAC,各边之中点E、F、G、H与O连结,求证:OE、OF、OG
9、、OH分四边形ABCD为四等分。1分析1由于连结三角形中位线可以得到一个三角形的,为此连结MF、41414MG,可证SMFCGSABCD,只须证SMFCGSOFCG由已经知道可SABCD,要证SOFCG得OMFG,OFG与MFG是同底等高的三角形,因而可证。其它部分同理可证。证1:连结MF、MG、FG,F、M是BC、AC之中点,1SMFCSABC41同理SMGCSMFCGSACD414SABCD。F、G是BC,CD之中点,FGBD,OMBD,FGOM,SOFGSMFG,1SOFCGSMFCG同理SOEBFSOHAE分析2连结各中点得平行四边形EFGH,恰等于SABCDSABCD,41SOGDH
10、SABCD。4的一半,又121414SOEHSOFGSEFGHSABCD,要证SOFCGSABCD,只要证SOEHSCGE即14可,由已经知道可证SOFCGSABCD,MHECGF,即可,由已经知道可证SOEHSMHE,MHECGF,从而得证。AAAAAA精品文档你我共享证2:连结EF、FG、GH、HE、EM、HM,E、H是AB、AD之中点,/EHBD,12/同理FGBD12/EHFG,EFGH是平行四边形,SEFGH1SABCD21214SOEHSOFGSEFGHSABCDOMBD,EHBD,OMEH。SOEHSMHE,H、M是AD、AC的中点,1HM=CD=CG,同理EM=FC,2MHEC
11、GF,SSS,SCGFSOEH1414SCGESOFGSABCD,即SOFCGSABCD1同理SOEBFSOHAESOGDHSABCD.4练习1.在ABC的边BC上取一点P,过点P作PEBA交AC于E,PDCA交BA4BPBC于D,且ADPE与ABC的面积之比为,求的值.92.已经知道梯形ABCD中,ADBC,对角线AC、BD交于点O,AOD的面积Sp,1BOC的面积Sq,求梯形ABCD的面积S.23.如图,设M是ABC的边AC的中点,过M作直线ME交AB于点E,过B1作BFEM交AC于F,求证:SAEFSABC。2AAAAAA精品文档你我共享4.梯形的面积被一条对角线分成3:7,求这梯形被它
12、的中位线所分成两部分的面积之比。5.如图,ABC的三条中线AD、BE、CD相交于O,求证:SAOFSFOBSBODSDOCSCOESEOA6.用面积法证明:在ABC中,M、N分别在AB、AC上,且AM=MB,AN=NC,/求证:MNBC。127.已经知道ABC中,DEBC交AB于D,交AC于E,AM为BC边上的中线,与DE相交于N,求证:DN=NE.提示:作DHAM于H,EKAM于K,连结DM、EM,要证DN=NE,只需证DH=EH,即证SADMSAEM,然而SABMSACM,SDBMSECM8.求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰所引的垂线段之和为定值。9.如图,在ABCD的CD、AD边上各
13、取一点,E、F,使AE=CF,如果AE、CF相交于P,那么PB平分APC。AAAAAA精品文档你我共享10.D、E分别是ABC的边AC、AB上的点,F、G各是BD、CE之中点,求证1AFG的面积等于四边形BCDE面积的.4练习题解1解:PEAB,PC2SPCEBC2SABCPB2BC2SBPCSABC同理:,49SABC2PC2SABCSABCPB591BC2PCBCPE又由PEAB得,由PDAC得:AB1SPEADPBPDPBPCBC2PDPEABAC2922,BCACSABC由12得(PBPC)2BC25929PBPCBCBC1,3221,(PBPC)2BC2592199PBPC1BCBC
14、3,4PB1BC32由3,4知。或。32.解,设AOB,DOC的面积分别为SS,。43ADBCSABCSBDCSSSS2SS43324AAAAAA精品文档你我共享SOB3S1ODSSSS2341S32pqS42SOD4Sp,Sq12S2OBSSSSSpq2pq312343.证:连结BM,BFEM,SFEMSBEM,SAEMSEFMSAEMS,BEMSAEFSABM1M是AC之中点,SABMSABC21SAEFSABC24.证:设梯形ABCD,ABDC,EF为中位线,设BD对角线分梯形为两部分的面积比3:7。即S37,ABDC,BCE与ABD等高,BCDSABDSBCDSABD3DC,7AB12
15、令DC3k,那么AB7k,EF(DCAB)5kSDEFCSEABFDCEF3k5k2EFAB5k7k311SBAD5.证:ODAD,SBOD331SBADSDACSABC21SBODSABC616同理可证SAOF6.证明:SFOBSBODSDOCSCOESEOASABCAAAAAA精品文档你我共享11SMNCSAMCSABC2141SABC4SMNBSANB21SMNCSMNBMNBC,SABCMNSMNCBCSBCN1412SABC27.证:过D作DHAM于H,过E作EKAM于K,SABHSBMDSACMSCMESADMSAEMDHEKDNEN。8.分析,PE+PD之定值为何值,移动PD至C
16、,可知定值为AB腰上的高CF。证:过C作CFAB于F,连结AP。1SABCABCF,212121212那么SABCSAPBSAPCABPEACPDAB(PEPD)ABCFPE+PD=CF9.证:作BGAE于G,BHCF于H,连结BF、BE,1212那么SABESABCD,SBCFSABCDSABESBCF112而SABESABCD,SBCFSABCD2SABESBCF11CFBH2而SABEAEBGSBCF2AE=CFBG=BH,BPG=BPH,即PB平分APC。10.证,连结DG、EF、FC取DE之中点M,连结AM,FM,GM。G是EC之中点,M是DE之中点,MGAC,SAMGSDMG同理SAFMSEMFAAAAAA精品文档你我共享SAFGSDEFG11SDEGSDEC,SDEFGSDEFC2211SBCDE同理SDEFCSBCDE,SAFG24沁园春雪北国风光,千里冰封,万里雪飘。望长城内外,惟余莽莽;大河上下,顿失滔滔。山舞银蛇,原驰蜡象,欲与天公试比高。须晴日,看红装素裹,分外妖娆。江山如此多娇,引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武,略输文采;唐宗宋祖,稍逊风骚。一代天骄,成吉思汗,只识弯弓射大雕。俱往矣,数风流人物,还看今朝。克AAAAAA
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