初二奥校-面积和面积法-35

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1、精品文档你我共享面积和面积法证题基础知识1.有关面积计算公式及等积定理、面积定理。2.面积问题主要有两个方面，即计算和证明另外尚有作图，前者常用有关公式，通过代数方法解决；后者常用等积变形即等积变换的方法解决，常用方法归纳如下：1利用面积公式；2利用等高的两三角形面积之比等于底边之比；3利用相似三角形面积之比等于它们的相似比的平方；4利用中线把三角形的面积分成相等的两部分；5利用等底等高的两个三角形面积相等。例题精析例1已经知道四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且ABC、ACD、ABD的面积分别为S5，S10，S6，求ABO的面积S。123分析此例中，直接出现面积，因此，一看便知须用面

2、积关系进行解答，在解题过程中，常常把多边形面积转化为三角形的面积，再把三角形面积转化为底和高的问题，在转化中要特别留心是否等底或等高。S1BO5OD10BO1BD3SBOS1解：SS33S2。2S63SBD3例2在RtCAB中，CAB=90，AD、AE分别是高和角平分线，且ABE、AED的面积分别为S30，S6，求证ADC的面积S。12分析因RtADCRtBDA，故可考虑用相似三角形面积之比等于相似比的平方。SACAB)2解：RtADCRtBDA(306ACCEAE是CAB的平分线ABEBCES6EB30S(S6)3022S13S360S4或9。36AAAAAA精品文档你我共享例3如图，D是A

3、BC中BC边上的一点，E是AD上的一点，求证：BDSAEBDCSAEC分析运用两个等高三角形的面积之比等于它们底之比，即可获证。说明：此例提供了一个把线段之比转化为面积之比的好方法，它在解决线段与面积关系方面起着重要的作用。证明：SAEBSEDBSAECSEDCAEEDSAEBSAECSEDBSEDCBDDC思考此例中，当点E与点D重合时，结论仍成立吗？例4已经知道从ABC各顶点作平行线ADEBFC，分别与对边或其延长线交于D、E、F，求证：SDEF2SABC分析利用ADEBFC可找出等高的三角形，再利用等底等高的三角形等积作等积代换，问题即可解决。证明：ADEBFC,SADESADB，SAD

4、FSADC，SBEFSBECSADESADFSADBSADCSABCSBEFSBEASBECSBEA即SAEFSABCSADESADFSAEF2SABC即SDEF2SABC。例5如图，已经知道点O为ABC内一点，AD、BE、CF过点O分别交BC、CA、AB于点D、E、F。ODOEOF求证：1ADBECF分析解此题的关键是化异分母为同分母，根据例3，可将线段的长度之比转化为面积之比，再由面积之比即可得出证明。ODSOBDADSABDSODCSADC证明：ODSOBDSODCADSABDSADCSOBCSABCAAAAAA精品文档你我共享OESOCA，OFSOABBESABCCFSABC同理ODO

5、EOFSOBCSOCASOABADBECFSABCSABCSABCSOBCSOCASOAB=SABCSABCSABC1ODSBOC吗？ADSABC思考1.你能利用面积公式证明2.根据题设你能证明AOBOCO2吗？ADBECF例6在ABC中，假设BCBA，AD、CE是两条高如图，求证：BC+ADAB+CE.分析“高不离积，凡涉及三角形高的关系式，不妨用面积法试一试。1212BCABCEAD证明：SABCADBCABCEADBCABCEBCABCEADABADBCABABCEADADABADBCBA,CEADBCAB1BCABCEADBCADABCECEAD思考1.不用面积法，你能证明此题结论吗？

6、2.从此题你可以发现并归纳出什么规律？3.求证：直角三角形斜边与斜边上高的和大于两条直角边的和。例7E是平行四边形ABCD中AB上任一点，EFAC交BC于F，求证：ADE与DCF等积分析此题证法较为灵活，可根据同底等高的两个三角形面积相等；有一对角相等的两个三角形的面积比等于角的两边乘积之比；等面积的积差比例等方法来解决。证1连结AF、CE，ABCD是平行四边形ABDCSADESACE同理SDCF，SACF，EFAC，AAAAAA精品文档你我共享SACESACF，SADESDCF。证2ABCD是平行四边形，AD=BC，AB=DC，EFAC，AECFABBCAECE，DCADAEADDCCF，D

7、AB=DCB，SADESDCFAEADDCCF1，SADESDCF例8在ABC的边AB、BC、CA上取AD、BE、CF各等于所在的边长的三分之一，求证DEF的面积等于ABC面积的三分之一。分析因为DEF与ABC之间没有直接关系，1因此要证SDEFSABC，只要证明：323SBDESEFDSAFDSABC即可，要证它们与SABC的关系那么可用同高的两角形面积之比等于它们底的比；或利用相似三角形的性质；或利用有一对角相等的两个三角形面积之比等于角两边乘积之比。BE1BC313证1:连结AE，ABE与ABC等高，SABESABC。2321SABC3329同理SBDE同理SDEFSABESABC29S

8、AFDSABC21SDEFSABCSBDESEFCSAFD(13)SABCSABC93证2:B是ABC与BDE的公共角。231ABBC3ABBCSBDESABC292SBDESABC92同理SEFCSAFDSABC913SDEFSABC证明3：取BD之中点M，连结EM，AAAAAA精品文档你我共享BMBABE1BC3MEACMBEABCSMBESABC119()23192SMBESABC，SBDESABC，929同理可证：SEFCSAFDSABC1SDEFSABC3例9四边形ABCD的两对角线AC、BD之中点M、N，作MODB，NOAC，各边之中点E、F、G、H与O连结，求证：OE、OF、OG

9、、OH分四边形ABCD为四等分。1分析1由于连结三角形中位线可以得到一个三角形的，为此连结MF、41414MG，可证SMFCGSABCD，只须证SMFCGSOFCG由已经知道可SABCD，要证SOFCG得OMFG，OFG与MFG是同底等高的三角形，因而可证。其它部分同理可证。证1:连结MF、MG、FG，F、M是BC、AC之中点，1SMFCSABC41同理SMGCSMFCGSACD414SABCD。F、G是BC，CD之中点，FGBD，OMBD，FGOM，SOFGSMFG，1SOFCGSMFCG同理SOEBFSOHAE分析2连结各中点得平行四边形EFGH，恰等于SABCDSABCD，41SOGDH

10、SABCD。4的一半，又121414SOEHSOFGSEFGHSABCD，要证SOFCGSABCD，只要证SOEHSCGE即14可，由已经知道可证SOFCGSABCD，MHECGF，即可，由已经知道可证SOEHSMHE，MHECGF，从而得证。AAAAAA精品文档你我共享证2：连结EF、FG、GH、HE、EM、HM，E、H是AB、AD之中点，/EHBD，12/同理FGBD12/EHFG，EFGH是平行四边形，SEFGH1SABCD21214SOEHSOFGSEFGHSABCDOMBD，EHBD，OMEH。SOEHSMHE，H、M是AD、AC的中点，1HM=CD=CG，同理EM=FC，2MHEC

11、GF，SSS，SCGFSOEH1414SCGESOFGSABCD，即SOFCGSABCD1同理SOEBFSOHAESOGDHSABCD.4练习1.在ABC的边BC上取一点P，过点P作PEBA交AC于E，PDCA交BA4BPBC于D，且ADPE与ABC的面积之比为，求的值.92.已经知道梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，AOD的面积Sp，1BOC的面积Sq，求梯形ABCD的面积S.23.如图，设M是ABC的边AC的中点，过M作直线ME交AB于点E，过B1作BFEM交AC于F，求证：SAEFSABC。2AAAAAA精品文档你我共享4.梯形的面积被一条对角线分成3：7，求这梯形被它

12、的中位线所分成两部分的面积之比。5.如图，ABC的三条中线AD、BE、CD相交于O，求证：SAOFSFOBSBODSDOCSCOESEOA6.用面积法证明：在ABC中，M、N分别在AB、AC上，且AM=MB，AN=NC，/求证：MNBC。127.已经知道ABC中，DEBC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE.提示：作DHAM于H，EKAM于K，连结DM、EM，要证DN=NE，只需证DH=EH，即证SADMSAEM，然而SABMSACM，SDBMSECM8.求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰所引的垂线段之和为定值。9.如图，在ABCD的CD、AD边上各

13、取一点，E、F，使AE=CF，如果AE、CF相交于P，那么PB平分APC。AAAAAA精品文档你我共享10.D、E分别是ABC的边AC、AB上的点，F、G各是BD、CE之中点，求证1AFG的面积等于四边形BCDE面积的.4练习题解1解：PEAB，PC2SPCEBC2SABCPB2BC2SBPCSABC同理：，49SABC2PC2SABCSABCPB591BC2PCBCPE又由PEAB得，由PDAC得：AB1SPEADPBPDPBPCBC2PDPEABAC2922，BCACSABC由12得(PBPC)2BC25929PBPCBCBC1，3221，(PBPC)2BC2592199PBPC1BCBC

14、3，4PB1BC32由3，4知。或。32.解，设AOB，DOC的面积分别为SS，。43ADBCSABCSBDCSSSS2SS43324AAAAAA精品文档你我共享SOB3S1ODSSSS2341S32pqS42SOD4Sp,Sq12S2OBSSSSSpq2pq312343.证：连结BM，BFEM，SFEMSBEM，SAEMSEFMSAEMS，BEMSAEFSABM1M是AC之中点，SABMSABC21SAEFSABC24.证：设梯形ABCD，ABDC，EF为中位线，设BD对角线分梯形为两部分的面积比3：7。即S37，ABDC，BCE与ABD等高，BCDSABDSBCDSABD3DC，7AB12

15、令DC3k，那么AB7k，EF(DCAB)5kSDEFCSEABFDCEF3k5k2EFAB5k7k311SBAD5.证：ODAD，SBOD331SBADSDACSABC21SBODSABC616同理可证SAOF6.证明：SFOBSBODSDOCSCOESEOASABCAAAAAA精品文档你我共享11SMNCSAMCSABC2141SABC4SMNBSANB21SMNCSMNBMNBC，SABCMNSMNCBCSBCN1412SABC27.证：过D作DHAM于H，过E作EKAM于K，SABHSBMDSACMSCMESADMSAEMDHEKDNEN。8.分析，PE+PD之定值为何值，移动PD至C

16、，可知定值为AB腰上的高CF。证：过C作CFAB于F，连结AP。1SABCABCF，212121212那么SABCSAPBSAPCABPEACPDAB(PEPD)ABCFPE+PD=CF9.证：作BGAE于G，BHCF于H，连结BF、BE，1212那么SABESABCD，SBCFSABCDSABESBCF112而SABESABCD，SBCFSABCD2SABESBCF11CFBH2而SABEAEBGSBCF2AE=CFBG=BH，BPG=BPH，即PB平分APC。10.证，连结DG、EF、FC取DE之中点M，连结AM，FM，GM。G是EC之中点，M是DE之中点，MGAC，SAMGSDMG同理SAFMSEMFAAAAAA精品文档你我共享SAFGSDEFG11SDEGSDEC，SDEFGSDEFC2211SBCDE同理SDEFCSBCDE，SAFG24沁园春雪北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。须晴日，看红装素裹，分外妖娆。江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。俱往矣，数风流人物，还看今朝。克AAAAAA