自动控制原理考试试题第七章习题与答案.doc

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1、WORD格式可编辑第七章非线性控制系统分析练习题及答案7-1设一阶非线性系统的微分方程为xx3x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系统平衡状态xe0,1,1其中：x0：稳定的平衡状态；ex1,1：不稳定平衡状态。e计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211图解7-1系统相轨迹可见：当x(0)1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)1时，系统发散；x(0)1时，x(t);x(0)1时，x(t)。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可

2、能在整个xx平面上任意分布。7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。(1)xxx0(2)x1x2xx122xx12解（1）系统方程为1专业知识 整理分享:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0，得平衡点：xe0。系统特征方程及特征根：132:ss10,sj(稳定的焦点)1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍点)1,2xf(x,x)xx,dxdxxxxdxdx1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)计算列表-3-1-1/301/313x0:11-1-2/302-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-420-2/3-1用等倾斜线法绘制系

3、统相平面图如图解7-2（a）所示。2图解7-2（a）系统相平面图（2）xxx112x22xx12由式：x2x1x1式代入：(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10令x1x10得平衡点：xe0由式得特征方程及特征根为2.4 142ss2101,2（鞍点）0.4 14画相轨迹，由式xx11dx1dxx12x1x1x1x12计算列表322.5311.52=1/(-2)210-1-2用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。7-3已知系统运动方程为xsinx0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。解求平衡点，令xx0得sinx0平衡点xek(k0,1,2,)。将原方程在平

4、衡点附近展开为台劳级数，取线性项。设F(x)xsinx0FxFxxxexex0xxex0cosxx0xk(k0,2,4,e)xx0xk(k1,3,5,e)特征方程及特征根：2k为偶数时s10,j（中心点）122k为奇数时s10,1（鞍点）12用等倾斜线法作相平面xdxdxsinxxsinx01xsinx-2-1-1/2-1/401/41/212-1/1/2124-4-2-1-1/2作出系统相平面图如图解7-3所示。47-4若非线性系统的微分方程为2(1)x(3x0.5)xxx0(2)xxxx0试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。解（1）由原方程得222xf(x,x)(3x0.5)xx

5、x3x0.5xxx令x1x102(1)0得xxxx解出奇点xe0,1在奇点处线性化处理。在xe0处：xf(x,x)f(x,x)xxx0xx0xx00x(12x)x(6x0.5)xx0.5xxx0xx0即x0.5xx0特征方程及特征根22.5 0.54s120.25j0.984（不稳定的焦点）,2在xe1处5x(12x)xx10x(6x2.6 5)xx10xx0.5 x即x0.5xx0特征根20.5 0.541.218s（鞍点）1,220.718概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：（2）由原方程xf(x,x)xxx令xx0得奇点xe0,在奇点处线性化xfxfxxxx0xx0x(x1)

6、xxxxx0xx0得xx即xx0特征根sj1,2。奇点xe0（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。7-5非线性系统的结构图如图7-36所示。系统开始是静止的，输入信号r(t)41(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解由结构图，线性部分传递函数为C(s)12M(s)s得c(t)m(t)6由非线性环节有0e2m(t)e(t)2e2e(t)2e2由综合点得c(t)r(t)e(t)4e(t)将、代入得0e2Ie(t)2e(t)e2II2e(t)e2III开关线方程为e(t)2:e(t)0ec(常数):ee20II令ee0得奇点e02特征方程

7、及特征根2s10,s,j（中心点）12III：ee20III令ee0得奇点e02特征方程及特征根2s10,s,j（中心点）12绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。7-6图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。7解由系统结构图有:c0C(s)51E(s)s0.5s12:c0s(0.5s12)C(s)5E(s)2.7 5c0.6 c3cc5e5ecc00III因为cre1e代入式有e6e10e0e0Ie2e10e0e0II特征方程与特征根I:2s6s100s3j(稳定的焦点1,2)II:2s2s100s11,2j3(不

8、稳定的焦点)依题意c(0)0,c(0)0可得e(0)1c(0)1e(0)c(0)0以(1,0)为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。7-7已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。图7-38具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：8（1）Td0时系统的运动；（2）Td0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用；（3）Td2时系统的运动特点。解依结构图，线性部分微分方程为cu非线性部分方程为u11eeTedTde00开关线方程：e1eTd由综合口：cre1e、代入并整理得e11eeTedTed00在I区：eedede1220（抛物线）解出：ee(e

9、)同理在II区可得：220（抛物线）ee(e)开关线方程分别为Td0时，e0;Td0.5时，e2e;Td2时，e0.5e.概略作出相平面图如图解7-7所示。图习题集P178T8-109由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。7-8具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。解非线性特性的数学表达式为e|e|ayMeaMea线性部分的微分方程式为图7-39非线性系统结构图TccKy考虑到rce，上式又可以写成TeeKyTrr输入信号为阶跃函数，在t0时有，rr0，因此有TeeKy0根据已知的非线性特性，系

10、统可分为三个线性区域。区：系统的微分方程为TeeKe0(ea)按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。图解7-8（a）为区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。区：系统的微分方程为TeeKM0(ea)设一般情况下，初始条件为e(0)e0,e(0)e。则上式的解为0tTe(t)e0(e0KM)T(e0KM)TeKMt对上式求一次导数，得tTe(t)(e0KM)eKM故当初始条件eKM时，相轨迹方程为eKM。0当eKM时，相轨迹方程为0ee0(ee)TKMTln0ee0KMKM10由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8(b)所示，相轨迹渐进于直线eKM。区：

11、此时系统的微分方程为TeeKM0(ea)将区相轨迹方程中的KM改变符号，即得区的相轨迹方程eKM(eKM0)ee0(ee)TKMT0lnee0KMKM(e0KM)该区的相轨迹如图解7-8（b）所示。将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8（c）所示。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为e(0)R,e(0)0。此时的系统的相平面图如图解7-8（d）所示。由图可知，系统在阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。图解7-8非线性系统的相平面图117-9试推导非线性特性yx3的描述函数。解y(t

12、)A3sin3t314A234B21Asintdt00142(1co2st)dt333AAA2222cos(12tcos2t)dtsin2t0023Aco4st12dt023A333AAA30cos4dt22tdt222400N(A)BA11jAA32A47-10三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为(1)G(s)1s(0.1s1)(2)G(s)2s(s1)(3)G(s)2(1.5s1)s(s1)(0.1s1)试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？解线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-10所示。12由

13、对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。7-11将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。图7-40非线性系统结构图解(a)将系统结构图等效变换为图解7-11（a）的形式。G(s)G1(s)1H1(s)(b)将系统结构图等效变换为图解7-11(b)的形式。G(s)H(s)11G(s)1G(s)17-12判断题7-41图中各系统是否稳定；1N(A)与G(j)两曲线交点是否为自振点。13题7-41图自振分析解（a）不是（b）是（c）是（d）a、c点是，b点不是（e）是（f）a点不是，b

14、点是（g）a点不是，b点是（h）系统不稳定（i）系统不稳定（j）系统稳定7-13已知非线性系统的结构图如图742所示图7-427-13题图图中非线性环节的描述函数为A6N(A)(A0)A214试用描述函数法确定：（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的值范围；（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。解（1）1(A2)N(A)A611,N(0)3N1()1dN(A)42dA(A2)0N(A)单调降，1N(A)也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线1N(A)和G(j)曲线如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。求使I

15、mG(j)0的值：令G(j)902arctg180得arctg45,1令Gj()1K2211K2131KK13232可得出K值与系统特性之间的关系：15（2）由图解7-13可见，当1N(A)和G(j)相交时，系统一定会自振。由自振条件N(A)G(j)1AA6221(A6)K2A46K42A解出(K2)2K317-14具有滞环继电特性的非线性控制系统如图7-43（a）所示，其中M1,h1。（1）当T0.5时，分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数；（2）讨论T对自振的影响。图7-43非线性系统结构图及自振分析解具有滞环继电特性的描述函数为4Mh4hM2N(A)1()j,2AAAAh代入M1,

16、h1，有N(A)4A1(1)A24j2AN112A(1()j)12AAA(A)41111224(1()j)(1()j)AAAA1j416其负倒描述函数1N(A)曲线如题7-43（b）所示，G(j)曲线位于第三象限，两曲线必然有交点，且该点为自振点。G(s)5(Ts2s1)G(j)52j5TG(j)N1(A)根据虚部相等，有5Tjj420T自振角频率随T增大而增大，当T0.5时，3.18。根据实部相等，有(52A20T42)1解出非线性输入端振幅为2A14400T当T0.5时，A1.18。自振振幅随T增大而减小。7-15非线性系统如图7-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输

17、出信号振荡的振幅和频率。17解将系统结构图等效变换为图解7-15。G(j)101010j22j(j1)1(1)N(A)4A12.8A2j40.72A4A10.6A2j0.2A1A1N(A)40.20.221jAA4A120.2 0.2jAA令G(j)与1N(A)的实部、虚部分别相等得1021A410.2A2102(1)0.240.157两式联立求解得3.91,A0.806。10.806由图7-44，r(t)0时，有c()，所以c(t)的振幅为0.161(t)e(t)xt55。7-16用描述函数法分析图7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。若存在自振，求出自振振幅和自振频率（Mh）。

18、图7-45非线性系统结构图18解因为Mh，所以当xc0时N1(A)环节输出为Mh，N2(A)环节输出也为Mh。同样N3(A)输出也是M；当x0时情况类似。所以实际上N2(A)和N3(A)不起作用，系统可等效为如图解7-16（a）的形式。画出1N(A)和G(j)曲线如图解7-16（b）所示。可见系统一定自振。由自振条件N1(A)G(j)14M10即1Aj(1j)(2j)40M22j(1j)(2j)3j(2A)比较实部、虚部有40MA322(2)0A2.12M解出图解7-1627-17试用描述函数法说明图7-46所示系统必然存在自振，并确定输出信号c的自振振幅和频率，分别画出信号c、x、y的稳态波形。解41N(A),AN(A)4A图7-46非线性系统结构图绘出1N(A)和G(j)曲线如图解7-17(a)所示，可见D点是自振点，系统一定会自振。由自振条件可得N(A)1G(j)4j(j2)A10即22j24(4)101019令虚部为零解出=2，代入实部得A=0.796。则输出信号的自振幅值为：AcA20.398。画出c、x、y点的信号波形如图解7-17(b)所示。20