《随机变量及其分布》PPT课件.ppt

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1、一.离散型随机变量的概念与性质,第二章 随机变量及其分布,离散型随机变量的定义,如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无 穷个，则称 X 为离散型随机变量,2离散型随机变量,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,2 离散型随机变量,离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,并设,则称上式为离散型随机变量 X 的分布律,离散型随机变量 X 的分布律还可写成矩阵的形式,返回主目录,说 明,1. 离散型随机变量可完全由其分布律来刻划 即离散型随机变量可完全由其的可能以及取 这些值的概率唯一确定,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,离散型随机变量分布律的性质:,返回主目录

2、,例 1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令： X：取出的5个数字中的最大值 试求 X 的分布律 解： X 的取值为5，6，7，8，9，10 并且,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,具体写出，即可得 X 的分布律：,返回主目录,例 2,将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差 试求 X 的分布律 解： X 的取值为-3，-1，1，3 并且,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,例 3,设离散型随机变量 X 的分布律为,则,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,（已知分布律，求随机变量落在某区间上的概率）,例 3（续）,第二章 随机变量

3、及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,例 4,设随机变量 X 的分布律为,解：由随机变量的性质，得,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,该级数为等比级数，故有,所以,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).,PX=3=(1-p)3p,例 5,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：,X pk,0 1 2

4、 3 4,p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4,或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,例 5(续),返回主目录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,以 p = 1/2 代入得：,X pk,0 1 2 3 4,0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625,例 5(续),返回主目录,1 、贝努里（Bernoulli） 试验,如果随机试验 E 只有两个结果，则称E为Bernoulli试验,Bernoulli 试验的例子,掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作

5、是一次Bernoulli试验,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,n重贝努里概型,对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一次射击”是Bernoulli试验 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli试验,Bernoulli 试验的例子,返回主目录,掷一颗骰子，有六种结果但如果我们只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也可以看作是Bernoulli试验,第二章 随机变量及其分布,2. n重Bernoulli 试验,若独立重复地进行n次Be

6、rnoulli试验，这里“重复”是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中“成功”的概率）不变，“独立”是指各次试验的结果相互独立，则称该试验为 n 重Bernoulli 试验,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,n重Bernoulli 试验的例子,掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验,对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验 在

7、某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验若独立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli试验,n重Bernoulli 试验的例子,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,n重Bernoulli 试验中的基本事件及其概率,在n重Bernoulli 试验中的基本事件为,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率,设在n重Bernoulli 试验中，,现考虑事件,返回主目录,n重贝努里概型,注意,由二项式定理，我们有,返回主目录,n重贝努里概型,n重Ber

8、noulli 试验中恰好成功k次的概率,二、一些常用的离散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,1) Bernoulli分布,如果随机变量 X 的分布律为,或,则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布,返回主目录,Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,Bernoulli分布的概率背景,进行一次Bernoulli试验，设：,令：X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数 或者说：令,返回主目录,例 5,15 件产品中有4件次品，11件正品从中取出1件 令 X：取出的一件产品中的次品数则 X

9、的取值 为 0 或者 1，并且,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,2）二 项 分 布,如果随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,说 明,显然，当 n=1 时,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,二项分布的概率背景,进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中,令 X：在这Bernoulli试验中事件A发生的 次数,分布律的验证,由于,以及 n 为自然数，可知,又由二项式定理，可知,所以,是分布律,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,例 6,一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10 件

10、试求下列事件的概率： B= 取出的10件产品中恰有4件次品 C= 取出的10件产品中至少有2件次品 D= 取出的10件产品中没有次品 ,返回主目录,n重贝努里概型,X：取出的10件产品中的次品数,取10件产品可看作是 10重Bernoulli试验,解：,例 6（续）,所以，,返回主目录,n重贝努里概型,例7,一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？,则答5道题相当于做5重Bernoulli试验,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，,例 7（续）,所

11、以,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 8,返回主目录,解：按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人负责的 20 台 中同一时刻发生故障的台数”，则 X b (20，0.01）.,以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及 时维修”，

12、则 80 台中发生故障而不能及时维修的概 率为：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 8(续),返回主目录,按第二种方法. 以 Y 记 80 台 中同一时刻发生故障的台数， 则 Y b(80，0.01）. 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 8(续),第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维 修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以 有效地使用人力、物力资源。,返回主目录,例9,对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均 为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命 中一次目标的概率不少于0.95？,返回

13、主目录,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量, n次射击至少命中一次目标 =B,解：设需进行n次射击，才能使至少命中一次目标 的概率不少于0.95 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验,设 X=n次射击中的命中次数，,例 9（续）,则有,由题意，得,所以，有,取对数，得,所以，有,即至少需进行12次射击，才能使至少命中一次目 标的概率不少于0.95,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,2-2 离散型随机变量,二项分布的分布形态,第二章 随机变量及其分布,2-2 离散型随机变量,返回主目录,二项分布的分布形态,由此可知，二项分布的分布,先是随着 k 的增大而增大，达到其最大

14、值后再随着 k 的增大而减少这个使得,第二章 随机变量及其分布,2-2离散型随机变量,返回主目录,第二章 随机变量及其分布,2-2离散型随机变量,返回主目录,例10,对同一目标进行400次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.02， （1）试求400次射击最可能命中几次？：,则,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,解：对目标进行400次射击相当于做400重Bernoulli 试验,（2）求至少命中两次目标 的概率。,令,例10（续）,因此，最可能射击的命中次数为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,P至少命中两次目标,3）Poisson 分布,如果随机变

15、量 X 的分布律为,则称随机变量 X 服从参数为的Poisson 分布,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,分布律的验证, 由于,可知对任意的自然数 k，有,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量, 又由幂级数的展开式，可知,所以,是分布律,返回主目录,Poisson分布中 的意义,* 考虑“要求服务的顾客到达服务站”,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,我们把顾客看作时间轴上的质点，顾客到达服务站认为是质点出现。,即 X 服从参数为= 的Poisson 分布,Poisson分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的

16、许多随机指标都服从Poisson分布,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,* 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的,例 11,设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且 已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,例 11（续）,得,由此得方程,得解,所以，,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,Poisson定理,

17、证明：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,Poisson定理的证明(续),对于固定的 k，有,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,Poisson定理的证明(续),所以，,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,Poisson定理的应用,由 Poisson 定理，可知,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,例 13,设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算） 解：设 B= 600次射击至少命中3次目标 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.,

18、第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,例 12（续）,所以，,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,或,4）几 何 分 布,若随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,分 布 律 的 验 证, 由条件, 由条件可知,综上所述，可知,是一分布律,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，,试验进行到 A 首次出现为止,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,即,返回主目录,例 15,对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率 为0.64，射击进行到击中目标时

19、为止，令： X：所需射击次数 试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行2次射击 才能击中目标的概率 解：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,例 15（续）,故， X 的分布律为：,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,5）超 几 何 分 布,如果随机变量 X 的分布律为,第二章 随机变量及其分布,2离散型随机变量,返回主目录,超几何分布的概率背景,一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件 为正品现从中取出 n 件 令： X：取出 n 件产品中的次品数 则 X 的分 布律为,2离散型随机变量,第二章 随机变量及其分布,返回主目录,例 10,某病的自然痊

20、愈率为 0.25，某医生为检验某种新药 是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给 10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有4 个人痊 愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效 求： 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过试验却被否定的概率 新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率,返回主目录,n重贝努里概型,例 10（续）,解：给10个病人服药可看作是一10重Bernoulli验, 若新药有效，则,此时若否定新药，只有在试验中不到4人痊愈 因此,返回主目录,n重贝努里概型,例 10（续）, 由于新药无效，则,此时若肯定新药，只有在试验中至少有4人痊愈因此,返回主目录,n重贝努里概型,说 明,在例 6 的第一问中，该医生把有用的药给否定了，这种错误在统计学中称为第类错误（弃真错误），犯这类错误的概率称为类风险； 在例 6 的第二问中，该医生把无用的药给肯定了，这种错误在统计学中称为第类错误（取伪错误），犯这类错误的概率称为类风险；,返回主目录,n重贝努里概型,