李雅普诺夫稳定性分析

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1、第5章李雅普诺夫稳定性分析本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数（或微分）方程的求解等。最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设计。一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏,但在外界干扰去掉以后,它仍有能力自动地恢复在平衡态下继续工作。系统的这种性能,叫做稳定性。例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力、电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行

2、中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为不稳定系统。也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是LimAx(t)tfg式中，心为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;8为任意小的规定量。如果系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它不可能是一个稳定系统。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多线性定常系统的稳定性判据，如劳斯-胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的稳定性判别及设计方法。但这些稳定性判据仅限于讨

3、论SISO线性定常系统输入输出间动态关系，讨论的是有界输入有界输出（BIBO）稳定性，未研究系统的内部状态变化的稳定性。再则，对于非线性或时变系统，虽然通过一些系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用，但是难以胜任一般系统。现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时，最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论。早在1892年，俄国学者李雅普诺夫就发表了题为“运动稳定性一般问题”的著名文献，建立了关于运动稳定性研究的

4、一般理论。李雅普诺夫把分析系统稳定性的方法归纳为两类，分别称为李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第一法（亦称间接法）是解描述系统动力学的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性的方法。对于线性定常系统，主要是根据系统极点的分布来判断系统的稳定性，即为经典控制理论的稳定性判别方法。对于非线性系统,在平衡态的邻域内,可以用线性化了微分方程式近似描述系统的非线性动力学,并根据线性化系统特征方程式的根（极点）的分布判定该非线性系统在工作点附近是否稳定。李雅普诺夫第二法（亦称直接法）的特点是不必求系统的微分方程式或系统特征值,而是通过定义一个叫作李雅普诺夫函数的标量函数，直接分析、判断

5、系统的稳定性,而且给出的稳定信息是非近似的。李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,还可用来研究时变系统、非线性系统,甚至离散时间系统、离散事件动态系统、逻辑动力学系统等复杂动力学系统的稳定性,这正是其优势所在。可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起控制系统稳定性研究人员的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占据绝对地位。随着状态空间分析法引入动态系统研究,李雅普诺夫第二法又重新引起人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得到了进一步发展。本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用。5.1 李雅普诺夫稳定性

6、的定义由经典控制理论可知道,线性系统的输出稳定性取决于其特征方程的根,与初始条件和状态空间分布没有关系。对于稳定的线性系统,由于只存在惟一的孤立平衡态,可以笼统地讨论线性系统在整个状态空间的稳定性。非线性系统的稳定性是相对系统状态空间的各个平衡态而言的,很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性,稳定性具有局部性。为此,在讨论李雅普诺夫稳定性的定义之前,先介绍系统的平衡态的定义。5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理5.2.1李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法,它是通过研究动态系统的一次近似数学模型的稳定性来分析非线性系统平衡态稳定性的方

7、法。它的基本思路是:李雅普诺夫第一法为：1）首先,对于非线性不很严重的系统,可先将其非线性状态方程在平衡态附近进行线性化,即在平衡态对其求一次泰勒展开式,得到线性化方程。2）对于线性定常系统或经过线性化处理的非线性系统,解出线性状态方程组或线性化状态方程组的特征值,然后根据全部特征值的情况来判定原非线性系统在零输入情况下的稳定性。5.2.2 李雅普诺夫第二法由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于部分弱非线性定常系统,不能推广至时变系统,对强非线性系统的稳定性判定则无能为力。下面讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法又

8、称为直接法，它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着时间的推移而衰减,当趋于平衡态时,其能量达到最小值。反之,若系统平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。基于这样的观点,只要找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式能量的正性函数，通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统的稳定性。5.3线性系统的稳定性分析由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。由于各种系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难以建立统一的定

9、义李雅普诺夫函数的方法。目前的处理方法是,针对各种系统的不同分类和特性,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法。本节将讨论对线性系统,包括线性定常系统和线性时变系统,如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性。5.3.1线性定常连续系统的稳定性分析设线性定常连续系统的状态方程为x=Ax（5-15）这样的线性系统具有如下特点。1）当系统矩阵A为非奇异时，系统有且仅有一个平衡态x=0,即为状态空间原点；e2）若该系统在平衡态x=0的某个邻域上是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳e定的；3）对于该线性系统，其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。5.3.2 线性时变连续

10、系统的稳定性分析5.3.3 线性离散系统的稳定性分析5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中，如果平衡态是渐近稳定的，则系统的平衡态是唯一的，且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。对非线性系统则不然。非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态（吸引子），同时还存在不稳定的平衡态（孤立子），稳定性的讨论远比线性系统来得复杂。与线性系统稳定性分析相比，由于非线性系统的多样性和复杂性，所以非线性系统稳定性分析要复杂得多。对于非线性系统，李雅普诺夫第二法只给出了充分条件，并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。许多情况下，往往因为找不到满足定理的李雅普诺夫函数，而不能对系统平衡态的稳定性作

11、出判断，这样促使人们从两种途径去研究非线性稳定性。即通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基（KpacoBCku说）法（也叫雅克比矩阵法）和变量梯度法（也叫舒尔茨-吉布生法），以及针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼（A说3epMah）法（也叫线性近似法）、鲁立叶法等。5.5 Matlab问题本章涉及的计算问题为线性定常连续/离散系统的李雅普诺夫稳定性分析，主要为对称矩阵的定号性（正定性）判定、连续/离散李雅普诺夫矩阵代数方程求解等。本节除将讨论上述问题基于Matlab的问题求解外，还将介绍进行线性定常系统结构性质分析的仿真平台软件lti_struet_analysis，以及该软件平台在系统实现、模型变换、状态能控性/能观性分析、能控/能观分解、能控/能观规范形以及李雅普诺夫稳定性分析等系统结构性问题中的应用。