2020-2021学年 北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明经典好题培优提升训练

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1、2021 年度北师大版八年级数学下册第 1 章三角形的证明经典好题培优提升训练（附答案） 1如图，在ABC 中，AI 平分BAC，BI 平分ABC，点 O 是 AC、BC 的垂直平分线的交点，连接 AO、BO，若AIB，则AOB 的大小为（ ）AB4360C +90D180 2在等腰三角形中，有一个角是 50，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A25B25或 40C25或 35D403如图，在ABC 中，BD 是 AC 边上的高，AE 平分CAB，交 BD 于点 E，AB8，DE 3，则ABE 的面积等于（ ）A15 B12 C10 D144如图，在ABC 中，DE 垂直平分 BC，分别交

2、BC、AB 于 D、E，连接 CE，BF 平分 ABC，交 CE 于 F，若 BEAC，ACE12，则EFB 的度数为（ ）A58B63C67D705如图，在 ABC 中，BAC90，点 D 在 BC 上，过 D 作 DFBC 交 BA 的延长线于 F，连接 AD，CF，若CFE32，ADB45，则B 的大小是（ ）A32B64C77D876如图，ABC，点 D 在 AC 上，连接 BD，ABD2DBC，ADB2C，DBC A，则图中共有等腰三角形（ ）个A0 B1 C2 D37如图，已知ABC 的三条内角平分线相交于点 I，三边的垂直平分线相交于点 O若 BOC148，则BIC（ ）A120

3、B125C127D1328如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DEBC，交 AB、 AC 于点 D、E若 AB5，AC4，则ADE 的周长是（ ）A9 B10 C12 D149如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC 两两相交围成的一块平地内修建一个度假村要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？ 可供选择的位置有（ ）处A一B二C三D四10等腰三角形的一个内角是 50，则它的底角是 11如图，在ABC 中，边 AB 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 D、E，AE3cm，BD5cm，则ABD 的周长是cm12如图，已

4、知ABC 中，点 E、F 在 AB 边上，且 AEAC，BFBC，ECF40，则 ACB 13如图，在ABC 中，ABAC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DEAD，若 BAD55，B50，则DEC 的度数为 14在ABC 中，ACBC5，AB8，点 D 在 AB 边上，连接 CD，CD AD 的长为 ，则线段15如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CGCD，DFDE，则E度16如图，在ABC 中，ABCC，A100，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，点 E 是 BC 上一个动点 DEC 是直角三角形，则BDE 的度数是 17已知AOB60

5、，OC 是AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一点，过 D 作直线 DEOA，垂足为点 E，且直线 DE 交 OB 于点 F，如图所示，若 DE4，则 DF 18如图，ABC 中，已知 AB5，AC4，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DEAC 交 AC 于 点 E，若 DE2，则ABC 的面积为 19 顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 为 50 ，则该三角形的底角20如图，在ABC 中，ACB90，B22.5，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 E，BE8cm，则 AC 等于cm21如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC5 厘米，ABD 的周长等于 13

6、 厘 米，则ABC 的周长是 22如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AB 上的一点，E 是 CB 延长线上一点，连接 CD、 DE，已知EDBACD（1）求证：DEC 是等腰三角形（2）当BDC5EDB，EC8 时，求EDC 的面积23如图，ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB，BC 于点 D，E，AC 的垂直平分线分别ACD交 AC，BC 于点 F，G，连接 AE，AG（1）若AEG 的周长为 10，求线段 BC 的长；（2）若BAC104，求EAG 的度数24如图，ABC 中，点 D 在 BC 边上，BAD100，ABC 的平分线交 AC 于点 E， 过点 E 作 EFAB，垂

7、足为 F，且AEF50，连接 DE（1）求CAD 的度数；（2）求证：DE 平分ADC；（3）若 AB7，AD4，CD8，且 15，求ABE 的面积25如图，ABC 中，ABAC，B30，点 O 在 BC 边上运动（O 不与 B、C 重合）， 连接 AO作AODB，OD 交 AB 于点 D（1）当 ODAC 时，判断AOB 的形状并证明；（2）在点 O 的运动过程中 AOD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDO 的度数；若不可以，请说明理由26如图，ABC 是等边三角形，P 是ABC 的角平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E，线 段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点

8、 Q（1）若 BQ2，求 PE 的长（2）连接 PF，EF，试判断EFP 的形状，并说明理由27综合与实践：问题情境：已知在ABC 中，BAC100，ABCACB，点 D 为直线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），点E 在直线 AC 上，且 AEAD，设DACn（1）如图 1，若点 D 在 BC 边上，当 n36时，求BAD 和CDE 的度数； 拓广探索：（2）如图 2，当点 D 运动到点 B 的左侧时，其他条件不变，试猜想BAD 和CDE 的 数量关系，并说明理由；（3）当点 D 运动点 C 的右侧时，其他条件不变，请直接写出BAD 和CDE 的数量关 系28如图：已知在ABC 中，A

9、DBC 于 D，E 是 AB 的中点，（1）求证：E 点一定在 AD 的垂直平分线上；（2）如果 CD9cm，AC15cm，F 点在 AC 边上从 A 点向 C 点运动速度是 3cm/s，求当 运动几秒钟时ADF 是等腰三角形？参考答案1解：连接 CO 并延长至 D，AIB，IAB+IBA180，AI 平分BAC，BI 平分ABC，IAB CAB，IBA CBA，CAB+CBA2（IAB+IBA）3602，ACB180（CAB+CBA）2180， 点 O 是 AC、BC 的垂直平分线的交点，OAOC，OBOC，OCAOAC，OCBOBC，AOD 是AOC 的一个外角，AODOCA+OAC2OC

10、A，同理，BOD2OCB，AOBAOD+BOD2OCA+2OCB4360， 故选：B2解：当 50为底角时，BACB50，BCD905040； 当 50为顶角时，A50，BACB65，BCD906525 故选：B3解：过点 E 作 EFAB 于点 F，如图：BD 是 AC 边上的高，EDAC，又AE 平分CAB，DE3，EF3，AB8，ABE 的面积为：83212故选：B4解：DE 垂直平分 BC，EBEC，EBCECB，EBEC，BEAC，ACEC，AECEAC （18012）84， EBCECB AEC42，BF 平分ABC，EBFCBF21，EFBAECEBF63， 故选：B5解：如图，

11、取 CF 的中点 T，连接 DT，ATBAC90，FDBC，CAFCDF90，ATDT CF，TDTCTA，TDATAD，TDCTCD， ADB45，ADT+TDC135，ATC360213590， ATCF，CTTF，ACAF，AFC45，BFD453213，BDF90，B90BFD77，故选：C6解：图中共有等腰三角形 3 个，理由如下：ADBC+DBC，ADB2C， DBCC，BCD 是等腰三角形，DBDC， ABD2DBC，ABDADB，ABD 是等腰三角形，ABAD，DBCA，AC，ABC 是等腰三角形，ABCB，故选：D7解：连接 OA，BOC148，OBC+OCB180BOC32

12、，O 是三边的垂直平分线的交点，OAOBOC，OABOBA，OACOCA，OBA+OCA（18032）274，ABC+ACB74+32106，ABC 的三条内角平分线相交于点 I，IBC ABC，ICB ACB，BIC180IBCICB180 （ABC+ACB）127， 故选：C8解：ABC 和ACB 的平分线相交于点 F，DBFCBF，ECFBCF，DEBC，DFBCBF，BCFEFC，DBFDFB，ECFEFC，DBDF，EFEC，ADE 的周长AD+DE+AEAD+DF+EF+AEAD+BD+EC+AEAB+AC5+49故选：A9解：度假村到三条公路的距离相等，度假村在三条公路 AB，A

13、C，BC 所组成的角的平分线上，ABC 的三条角平分线相交于一点，度假村可供选择的位置有一处，故选：A10解：当 50的角是底角时，三角形的底角就是 50；当 50的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65 故答案是：50或 6511解：DE 是线段 AB 的垂直平分线，AE3cm，BD5cm，DADB5（cm），AB6（cm），ABD 的周长BD+AD+AB16（cm），故答案为：1612解：ECF40，AEC+BFC140，AEAC，AECACE，BFBC，BFCBCF，ACE+BCF140，ACBACE+BCFECF14040100故答案为：10013解：ABAC，

14、BC，B50，C50，BAC180505080， BAD55，DAE25，DEAD，ADE90，DECDAE+ADE115 故答案为：11514解：过 C 点作底边 AB 上的高 CE， ACBC5，AB8，AE4，CE3，DE2，如图 1，ADAEDE2；如图 2，ADAE+DE6故线段 AD 的长为 2 或 6故答案为：2 或 615解：ABC 是等边三角形，CA60，CGCD，GDC30，DFDE，E15故答案为：1516解：在ABC 中，ABCC，A100， ABCC40，BD 平分ABC，DBC20，当EDC90时，BDE18020409030； 当DEC90时，BDE902070故

15、BDE 的度数是 30或 70故答案为：30或 7017解：作 DGOB 于 G，OC 是AOB 的平分线，DGOB，DEOA， DGDE4，在 EOF 中，AOB60，OFE30，DF2DG8，故答案为：818解：过点 D 作 DFAB 于 F，AD 平分BAC，DEAC，DFAB，DFDE2，ABC 的面积ABD 的面积 ACD 的面积 52+ 429， 故答案为：919解：如图 1，ABC 是等腰三角形，BDAC，ADB90，ABD50， 在直角ABD 中，A905040，CABC 702 2 22 2 2故答案为：7020解：DE 垂直平分 AB，EAEB8，EABB22.5，AECE

16、AB+B45，ACEC，由勾股定理得，AC +EC AE ，即 AC +AC 8 ，解得，AC4故答案为：4，21解：DE 是 AC 的垂直平分线，DADC，ABD 的周长等于 13 厘米，AD+BD+AB13 厘米，即 AB+BC13 厘米，ABC 的周长AB+BC+AC13+518（厘米），故答案为：18 厘米22（1）证明：ABC 是等边三角形，ABCACB60，E+EDBABC60，ACD+DCB60，EDBACD， EDCE，DEDC，DEC 是等腰三角形；（2）解：设EDB，则BDC5，EDCE60，6+60+60180， 15，EDCE45，EDC90，如图，过 D 作 DHCE

17、 于 H，DEC 是等腰直角三角形，EDHE45，EHHCDH EC84，EDC 的面积ECDH841623解：（1）DE 垂直平分 AB，GF 垂直平分 AC，EAEB，GAGC，AEG 的周长为 10，AE+EG+AG10，BCBE+EG+GCAE+EG+GC10；（2）BAC104，B+C18010476，EAEB，GAGC，EABB，GACC，EAB+GACB+C76，EAGBAC（EAB+GAC）1047628 24（1）解：EFAB，AEF50，FAE905040，BAD100，CAD1801004040；ACD（2）证明：过点 E 作 EGAD 于 G，EHBC 于 H，FAED

18、AE40，EFBF，EGAD，EFEG，BE 平分ABC，EFBF，EHBC，EFEH，EGEH，EGAD，EHBC，DE 平分ADC；（3）解：S 15， ADEG+ CDEH15，即 4EG+ 8EG15， 解得，EGEH ，EFEH ，ABE 的面积 ABEF 7 25解：（1）AOB 为直角三角形，理由如下：ABAC，B30，CB30，BAC1803030120，ODAC，AODB30，OACAOD30，BAO1203090，AOB 是直角三角形；（2）AOD 的形状可以是等腰三角形，理由如下： 分三种情况： DADO 时，OADAOD30，BDOOAD+AOD60；OAOD 时，OD

19、AOAD （18030）75， BDO18075105；ADAO 时，ADOAOD30，OAD120BAC，点 O 与 C 重合，不合题意； 综上所述，BDO 的度数为 60或 10526解：（1）ABC 是等边三角形，BP 是ABC 的平分线， EBPPBC30，PEAB 于点 E，BEP90，PE BP，QF 为线段 BP 的垂直平分线，BP2BQ224，PE 42；（2）EFP 是直角三角形理由如下：连接 PF、EF，如图所示：ABC 是等边三角形，BD 平分ABC，ABC60，ABPCBD30，PEAB，PEB90，BPE60，FQ 垂直平分线段 BP，FBFP，FBQFPQ30，EP

20、FEPB+BPF90，EFP 是直角三角形27解：（1）BADBACDAC1003664在ABC 中，BAC100，ABCACB， ABCACB40，ADCABC+BAD40+64104AEAD，ADEAEDDAC36，ADEAED72CDEADCADE1047232 （2）BAD2CDE理由如下：在ABC 中，BAC100，ABCACB40在ADE 中，DACn， ACBCDE+E， BAC100，DACn， BADn100BAD2CDE（3）BAD2CDE，理由如下：如图 ，在ABC 中，BAC100， ABCACB40，ACD140在ADE 中，DACn，ADEAEDACDCDE+AED，CDEACDAED140BAC100，DACn， BAD100+n，BAD2CDE28（1）证明：ADBC，ADB90，E 是 AB 的中点，AEDE，E 点一定在 AD 的垂直平分线上； （2）解：ADBC， ，AD 当 FAAD12cm 时，t12（cm），4s，当 FAFD 时，则FADADF，又FAD+CADF+FDC90， CFDC，FDFC，FAFC ACcm，t s，当 DFAD 时，点 F 不存在，综上所述，当点 F 运动 4s 或 s 时，ADF 是等腰三角形