全国通用版2022年高考数学一轮复习第十一单元空间位置关系学案理

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1、全国通用版2022年高考数学一轮复习第十一单元空间位置关系学案理4个公理(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2平行公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行1以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段

2、必共面正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选B假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形2下列命题中，真命题是()A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内解析：选DA是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；B不正确，两两相交的三条直线不一定共面；C不正确，两组对边相等的四边

3、形可能是空间四边形；D正确，故选D.3三个不同的平面可能把空间分成_部分(写出所有可能的情况)解析：如图(1)，可分成四部分(互相平行)；如图(2)(3)，可分成六部分(两种情况)；如图(4)，可分成七部分；如图(5)，可分成八部分答案：4,6,7,8清易错1三点不一定确定一个平面当三点共线时，可确定无数个平面2判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选DA，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面2过同一点的4条直线中，任意3

4、条都不在同一平面内，则这4条直线确定平面的个数是_解析：设四条直线为a，b，c，d，则这四条直线中每两条都确定一个平面，因此，a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d都分别确定一个平面，共6个平面答案：6空间点、线、面的位置关系过双基1空间直线间的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在

5、平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况1若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交或异面都有可能解析：选D当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交2若平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系为()A平行 B相交C平行或重合 D平行或相交解析：选D当两个平面平行时，平面上存在无数多个点到平面的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面的距离相等且不为零故选D.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱

6、CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选C连接AD1，则AD1与MN平行所以D1AC为异面直线AC和MN所成的角的平面角因为D1AC是正三角形，所以D1AC60.4在正四面体ABCD中，M，N分别是BC和DA的中点，则异面直线MN和CD所成的角为_解析：因为ABCD是正四面体，所以ABCD.取AC的中点E，连接ME，NE，则ENM的大小为异面直线MN和CD所成角的大小因为MENE，且MENE，所以ENM.答案：清易错1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直

7、线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”1.如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A2对 B3对C4对 D6对解析：选B依题意，异面直线有AP与BC，PB与AC，CP与AB，共3对2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或b Db与相交或b或b解析：选Db与相交或b或b都可以平行关系4定理过双基1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

8、行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，b，ab1过平面外的直线l，作一组平面与相交，如果所得的交线分别为a，b，c，那么这些交线的位置关系为()A都平行B都相交且一定交于同一点C都相交但不一定交于同一点D都平行或交于同一点解析：选D若l平面，则交线都平行；若l平面A，则交线都交于同一点A.2下列说法中正确的是()一条直线如果和一个平面平

9、行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行ABC D解析：选D由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面3已知直线a平面，P，那么过点P且平行于直线a的直线()A只有一点，不在平面内B有无数条，不一定在平面内C只有一条，在平面内D有无数条，一定在平面内解析：选C由线面平行的性质可知C正确4设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为

10、真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确答案：或清易错1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件，如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交1已知直线a与直线b平行，直线a与平面平行，则直线b与的关系为()A平行 B相交C直线b在平面内 D平行或直线b在平面内解析：选D依题意，直线a必与平面内的某直线平行，又ab，因此直线b与平面的位置关系是平行或直线b在平面内2设，是两个不同的平面，m

11、是直线且m，“m ”是“ ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m / ；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要不充分条件.垂直关系4定理过双基1直线与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2平面与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直

12、线与另一个平面垂直l1.如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：选BA中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，又AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.2设，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m的一个充分条件为()A，l，ml Bm，C，m Dn，n，m解析：选D若，l，ml，则m与的位置不确定；若m，则

13、，可能平行，此时m；若，m，则，不一定平行，所以m不一定与垂直；若n，n，则，又m，则m.故选D.3.如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_解析：PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB4已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析：由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PA

14、C平面PDB，平面PAB平面PAD, 平面PBC平面PDC，共7对答案：75.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则ACBD.PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)清易错1证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使

15、用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误1已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法中正确的是()Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n解析：选D对于选项A，由直线与平面平行的判定定理可知，还需要满足n在平面外；对于选项B，根据直线与平面垂直的判定定理可知，要使直线垂直平面，直线应该垂直平面内的两条相交直线；对于选项C，这两个平面也有可能相交；由平面与平面垂直的判定可知，选项D成立故选D.2下列说法中，错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那

16、么平面内所有直线都垂直于平面解析：选DA项显然正确根据面面垂直的判定，B项正确对于选项C，设m，n，在平面内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使am，bn.，am，a，al，同理有bl，又abP，a，b，l，故选项C正确对于选项D，设l，则l，但l，故在内存在直线不垂直于平面，即选项D错误3若不同的两点A，B到平面的距离相等，则下列命题中一定正确的是()AA，B两点在平面的同侧BA，B两点在平面的异侧C过A，B两点必有垂直于平面的平面D过A，B两点必有平行于平面的平面解析：选C由题意得A，B两点在平面的同侧或异侧，排除A、B；当A，B两点在平面的异侧时，过A，B两点不存在平行于平面的平面，排

17、除D.故选C.一、选择题1设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1l3，l2l3，则l1与l2()A是异面直线B是相交直线C是平行直线D可能相交、平行或异面解析：选D如图所示，在正方体ABCDEFGH中，ABAD，AEAD，则ABAEA；ABAE，AEDC，则ABDC；ABAE，FHAE，则AB与FH是异面直线，故选D.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是()AA1BD1B1BAC1B1CCA1B与平面DD1B1B成45角DA1B与B1C成30角解析：选B易知四边形BDD1B1是平行四边形，所以DBD1B1，又因为A1B与DB相交，所以A1B与D1B1是异面直线，故A错

18、误；连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，易知A1C1垂直平面DD1B1B，所以A1B与平面DD1B1B成30角，故C错误；连接A1D，则三角形A1BD是等边三角形，且A1DB1C，则A1B与B1C成60角，故D错误，选B.3已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn解析：选D若m，n，则m与n平行或异面，即A错误；若m，n，则m与n相交或平行或异面，即B错误；若m，n，则m与n相交、平行或异面，即C错误，故选D.4.(2018广东模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形

19、，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：BE与CF异面；BE与AF异面；EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确结论的个数是()A1B2C3 D4解析：选B画出该几何体，如图，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EFAD，所以EFBC，BE与CF是共面直线，故不正确；BE与AF满足异面直线的定义，故正确；由E，F分别是PA，PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，故正确；因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE平面PAD，故不正确故选B.5.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交

20、点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：PD平面AMC；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正确的个数有()A1 B2C3 D4解析：选C因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点在PBD中，M是PB的中点，所以OM是PBD的中位线，OMPD，则PD平面AMC，OM平面PCD，且OM平面PDA.因为MPB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交6(2018余姚模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行解析：选D如

21、图，连接C1D，在C1DB中，MNBD，故C正确；CC1平面ABCD，BD平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故A正确；ACBD，MNBD，MN与AC垂直，故B正确，故选D.7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等解析：选D因为AC平面BDD1B1，BE平面BDD1B1，所以ACBE，A项正确；根据线面平行的判定定理，知B项正确；因为三棱锥的底面BEF的面积是定值，且点A到平面BDD1B1的距离是定值，所以其体积为定值，C项

22、正确；很显然，点A和点B到EF的距离不相等，故D项错误8(2018福州质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线()A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条解析：选D在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交二、填空题9如图所示，平面，两两相交，a，b，c为三条交线，且ab，则a，b，c的位置关系是_解

23、析：ab，a，b，b.又b，c，bc.abc.答案：abc10(2018天津六校联考)设a，b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若a且b，则ab；若a且a，则；若，则一定存在平面，使得，；若，则一定存在直线l，使得l，l.其中真命题的序号是_解析：中a与b也可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在，使得与，都垂直，正确中只需直线l且l就可以，正确答案：11如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于_解析：取BB1的中点G，连接FG，A1G，易得A1GD1E，则FA

24、1G是异面直线D1E和A1F所成角或补角，易得A1FA1G，FG，在三角形FA1G中，利用余弦定理可得cosFA1G.答案：12(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又ACa，ACb，AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作BDa，交

25、底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DEBD，DEb，连接AD，设BC1，在等腰ABD中，ABAD，当直线AB与a成60角时，ABD60，故BD，又在RtBDE中，BE2，DE，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，EF，BFDE，ABF为等边三角形，ABF60，即AB与b成60角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线AB与a所成角的最大值为90，错误正确的说法为.答案：三、解答题13.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60，设AA1a.(1)求a的值；(2)求三棱锥B1A1BC的体积解：(1

26、)BCB1C1，A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即A1BC60.又AA1平面ABC，ABAC，则A1BA1C，A1BC为等边三角形，由ABAC1，BAC90BC，A1Ba1.(2)CAA1A，CAAB，A1AABA，CA平面A1B1B，VB1A1BCVCA1B1B1.14如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点(1)证明：直线EE1平面FCC1；(2)证明：平面D1AC平面BB1C1C.证明：(1)F是AB的中点，AB CD，AB4，BCCD2，AF綊CD，四边形AFC

27、D为平行四边形，CFAD.又ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，C1CD1D.而FCC1CC，D1DDAD，平面ADD1A1平面FCC1.EE1平面ADD1A1，EE1平面FCC1.(2)在直四棱柱中，CC1平面ABCD，AC平面ABCD，CC1AC，底面ABCD为等腰梯形，AB4，BC2，F是棱AB的中点，CFADBF2，BCF为正三角形，BCFCFB60，FCAFAC30，ACBC.又BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，平面D1AC平面BB1C1C.高考研究课(一) 平行问题3角度线线、线面、面面全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度线面

28、关系基本问题5年4考空间线面平行、垂直关系判断线面平行的证明5年4考证明线面平行面面平行的证明未考查平行关系的基本问题典例(1)(2018成都一诊)已知三个不同的平面，三条不同的直线a，b，c，则下列命题正确的是()A若，则B若ac，bc，则abC若a，b，则abD若a，b在内的射影相互平行，则ab(2)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析(1)若，则与可能垂直，排除A；若ac，bc，则a与b可能异面，排除B；若a，b在内的射影相互平行，则a与b平行或异面，排除D；垂直于同一平面的两直线平行，C正确

29、故选C.(2)m，若l，则必有lm，即llm.但lm/ l，lm时，l可能在内故“lm”是“l”的必要不充分条件答案(1)C(2)B方法技巧解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确即时演练1在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是_(填序号)AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.解析：如图，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形故AD1BC1，从而正确；易证BDB1D1，AB1

30、DC1，又AB1B1D1B1，BDDC1D，故平面AB1D1平面BDC1，从而正确；由图易知AD1与DC1异面，故错误；因为AD1BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1平面BDC1，故正确答案：2如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_解析：平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四边形EFGH的形状是平行四边形答案：平行四边形直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质是高考的考查重点.多考查直线与平面平行的判定.利用线面平行的性质判定线线平行及探索

31、存在性问题.常见的命题角度有：(1)直线与平面平行的判定；(2)直线与平面平行的性质；(3)与平行相关的探索性问题.角度一：直线与平面平行的判定1.如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EFAD，P，Q分别为棱BE，DF的中点求证：PQ平面ABCD.证明：法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在ABE中，PBPE，AGGE，所以PGBA，又PG平面ABCD，BA平面ABCD，所以PG平面ABCD.在梯形ADFE中，DQQF，AGGE，所以GQAD，又GQ平面ABCD，AD平面ABCD，所以GQ平面ABCD.因为PGGQG，PG平面PQG，GQ平面PQG，所以平面PQG平

32、面ABCD.又PQ平面PQG，所以PQ平面ABCD.法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EFDH，所以EFQHDQ，又FQQD，EQFDQH，所以EFQHDQ，所以EQQH.在BEH中，BPPE，EQQH，所以PQBH.又PQ平面ABCD，BH平面ABCD，所以PQ平面ABCD.方法技巧证明直线与平面平行的3种方法定义法一般用反证法判定定理法关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程性质判定法即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面角度二：直线与平面平行的性质2.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平

33、面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APMO.又MO平面BMD，PA平面BMD，AP平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，且AP平面PAHG，APGH.方法技巧判定线面平行的4种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)角度三：与平行相关的探索性问题3.在如图所示的多面体中，四边形ABB1

34、A1和四边形ACC1A1都为矩形设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论证明：存在点M为线段AB的中点，使直线DE平面A1MC，证明如下：如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，得O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A

35、1MC.方法技巧解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明面面平行的判定与性质典例如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点(1)求证：平面BDGH平面AEF；(2)求多面体ABCDEF的体积解(1)证明：在CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GHEF.

36、又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.设AC与BD的交点为O，连接OH，在ACF中，因为O，H分别是AC，CF的中点，所以OHAF.又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.又因为OHGHH，OH平面BDGH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(2)因为AC平面BDEF，又易知AO，S矩形BDEF326，所以四棱锥ABDEF的体积V1AOS矩形BDEF4.同理可得四棱锥CBDEF的体积V24.所以多面体ABCDEF的体积VV1V28.方法技巧判定面面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直

37、于同一条直线的两平面平行；(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行即时演练1已知平面平面，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于点A，C，过点P的直线n与，分别交于点B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为()A16B24或C14 D20解析：选B设BDx，由ABCDPABPCD.当点P在两平面之间时，如图1，得x24；当点P在两平面外侧时，如图2，得x.2.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，

38、连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DEBDD，DE平面BDE，BD平面BDE，所以平面BDE平面MNG.1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A法一：对于选项B，如图

39、所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ .又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB平面MNQ.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQAB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB平面MNQ.故选A.2(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.

40、解析：选C法一：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1.法二：如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MNAB1，NPBC1，所以PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角易知MNAB1，NPBC1.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知PQM为直角三角形，PQ1，MQAC.

41、在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，所以AC，MQ.在MQP中，MP，则在PMN中，cosPNM，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.3(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90，得四边形ABCM为正方形

42、，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.4(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解：(1)证明：

43、由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为MN平面PAB，AT平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.5(2014全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 (1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥P

44、ABD的体积V，求A到平面PBC的距离解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为平面ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)由VPAABADAB.V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，又BCPBB，故AH平面PBC.又AH，所以A到平面PBC的距离为.一、选择题1(2018惠州模拟)设直线l，m，平面，则下列条件能推出的是()Al，m，且l，mBl，m，且lmCl，m，且lmDl，m，且lm解析：选C借助正方体模型进行判断易排除选项A、B、D，故选C.2.如图，

45、在长方体ABCDABCD中，下列直线与平面ADC平行的是()ABCBABCAB DBB解析：选B连接AB，ABCD，CD平面ADC，AB平面ADC.3设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是()Aml1且nl2 Bm且nl2Cm且n Dm且l1解析：选A由ml1，m，l1，得l1，同理l2，又l1，l2相交，所以，反之不成立，所以ml1且nl2是的一个充分不必要条件4(2018福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在无数个平行于a

46、的平面与b交于一定点则其中命题正确的是()A BC D解析：选D对于，若存在平面使得b，则有ba，而直线a，b未必垂直，因此不正确；对于，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面，此时平面与直线a，b均平行，因此正确；对于，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面，此时平面与直线a平行，且b，因此正确；对于，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此正确综上所述，正确5如图，透明塑

47、料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C由题图，显然是正确的，是错误的；对于，A1D1BC，BCFG，A1D1FG且A1D1平面EFGH，A1D1平面EFGH(水面)是正确的；对于，水是定量的(定体积V)，SBEFBCV，即BEBFBCV.BEBF(定值)，即是正确的，故选C.6(2018合肥模拟)在空间四边形ABCD

48、中，E，F分别是AB和BC上的点，若AEEBCFFB12，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A平行 B相交C在平面内 D不能确定解析：选A如图，由得ACEF.又因为EF平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.二、填空题7有下列四个命题，其中正确命题的序号是_若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；若平面与平面平行，直线l在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点解析：若直线l上有无数个点不在平面内，则l或l与相交，故错误；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行或异面，故错误；由面面平行

49、的定义可知，正确；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点，故正确答案：8在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.解析：如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QBPA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.答案：Q为CC1的中点9如图，在四棱锥VABCD

50、中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱VC，VB上的点，且满足VC3EC，AF平面BDE，则_.解析：连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M，连接AM，MF，由VC3ECVMMEEC，又AOCOAMEOAM平面BDE，又由题意知AF平面BDE，且AFAMA，平面AMF平面BDEMF平面BDEMFBEVFFB2.答案：2三、解答题10.如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)设BC3，求四棱锥B AA1C1D的体积解：(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.四边

51、形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C.平面ABC平面AA1C1CAC，作BEAC，垂足为E，则BE平面AA1C1C.ABAA12，BC3，ABBC，在RtABC中，AC，BE，四棱锥B AA1C1D的体积V(A1C1AD)AA1BE23.11如图，在四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，E，F分别在BC，AD上，EFAB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC.若BE1

52、，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且APPD，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由解：AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时.理由如下：当时，可知，如图，过点P作MPFD交AF于点M，连接EM，PC，则有，又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，所以MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以CPME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，所以CP平面ABEF.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2，E为PA的中点，BAD60.(1)求证：PC平面EBD；(2)求三棱锥PEDC的体积解：(1)证明：设

53、AC与BD相交于点O，连接OE.由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，又E为AP的中点，所以OEPC.因为OE平面EBD，PC平面EBD，所以PC平面EBD.(2)SPCESPAC22.因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.因为PA平面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以DO平面PAC，即DO是三棱锥DPCE的高，且DO1，则VPEDCVDPCE1.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BCAD，ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点(1)求证：DD1平面ABCD；(2)求证：平面A1BE平面ADD1A1；(3)若CF平面A1BE，求棱BC的长度解：(1)证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1AD，且DD1CD.因为ADCDD，所以DD1平面ABCD.(2)证明：因为ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BEAD.因为DD1平