圆的相似综合题

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1、圆的相似综合题相似与圆综合题目练习2.( 2013?湛江)如图，已知 AB是OO的直径，P为O O 外一点，且 OP II BC,/ P=Z BAC .(1)求证：PA为O O的切线；求AC的长.3.(2013?营口)如图，点 C是以AB为直径的O O上的一 点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点 D.(1)求证：AC平分/ BAD;(2)若CD=1 , AC= r,求O O的半径长.4. (2013?西宁)如图，O O是厶ABC的外接圆，BC为O O 直径，作/ CAD= / B,且点D在BC的延长线上，CE丄AD 于点E.(1) 求证：AD是O O的切线；(2) 若O O的半径为8, C

2、E=2，求CD的长.6.(2013?宁夏)在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , D 是 AB 边上的一点，以BD为直径作O O交AC于点E，连结DE 并延长，与BC的延长线交于点F .且BD=BF .(1) 求证：AC与O O相切.(2) 若 BC=6, AB=12,求O O 的面积.7.(2013?黄冈)如图，AB为OO的直径，C为OO上一 点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为 D，且AC平分 / DAB.(1) 求证：DC为O O的切线；(2) 若O O的半径为3, AD=4，求AC的长.9.( 2013?朝阳)如图，直线 AB与O O相切于点A，直径 DC的延长线交 AB于点B,

3、 AB=8, OB=10(1) 求O O的半径.(2) 点 E 在OO 上，连接 AE , AC, EC,并且 AE=AC , 判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论.(3) 求弦EC的长.11.( 2013?巴中)如图，在平行四边形 ABCD中，过点A 作AE丄BC,垂足为E，连接DE , F为线段DE上一点，且 / AFE= / B(1) 求证： ADFDEC ;(2) 若 AB=8, AD=6 乙 AF=4 二求 AE 的长.12.(2012?岳阳)如图所示，在O O中，計f 弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC.(1 求证:AC2=AB?af ；(2)若O

4、 O的半径长为2cm,/ B=60,求图中阴影部分 面积.A14.(2012?陕西)如图，正三角形 ABC的边长为3+ 7(1) 如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点 N在边AC上，在正三角形 ABC及其内部，以点A为位似 中心，作正方形EFPN的位似正方形E F P N ，且使 正方形E F P N 的面积最大(不要求写作法)；(2) 求(1)中作出的正方形E F P N 的边长；(3) 如图，在正三角形 ABC中放入正方形DEMN和正 方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边 CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并 说明理由.图图15. (201

5、2?河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法， 在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完 整.原题：如图1,在平行四边形ABCD中，点E是BC的中 点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点 G 若；=3，求啲值.图1图2图3(1) 尝试探究在图1中，过点E作EH / AB交BG于点H，则AB和EH 的数量关系是 ， CG和EH的数量关系是 啲值是.(2) 类比延伸如图2，在原题的条件下，若 =m (m0)，则 啲值是 一_(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程.(3) 拓展迁移 如图3,梯形ABCD中，DC II AB，点E是BC的延长线上 的一点，AE和BD相交于点

6、F.若“ =a, =b,(a0, bCDBE 0)，则普的值是 (用含a、b的代数式表示).初中数学组卷一 解答题(共15小题)2.( 2013?湛江)如图，已知 AB是OO的直径，P为O O 外一点，且 OP II BC,/ P=Z BAC .(1) 求证：PA为O O的切线；(2) 若 OB=5, OP=-求 AC 的长.考 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质.占 八、分 (1)欲证明PA为O O的切线，只需证明 OA丄AP; 析 (2)通过相似三角形厶ABCPAO的对应边成比例 :来求线段AC的长度.解 (1)证明：T AB是O O的直径，答/ ACB=90 ,/ BAC+ /

7、 B=90.又 OP II BC,:丄 AOP= / B,:丄 BAC+ / AOP=90/ P=Z BAC.:丄 P+Z AOP=90 ,由三角形内角和定理知/ PAO=90,即OA丄AP. 又 OA是的O O的半径，PA为O O的切线；(2)解：由(1)知，Z PAO=90. OB=5,二 OA=OB=5 .又 OP=,7= 11在直角 APO中，根据勾股定理知PA=, 由(1)知，Z ACB= Z PAO=90 . Z BAC= Z P, ABCPOA , AB-AC ?PAAC203=po1025一 3解得AC=8 即AC的长度为8.占八、评本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相

8、似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进:而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键.3.（2013?营口）如图，点 C是以AB为直径的O O上的一 点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点 D.（1）求证：AC平分Z BAD;（2）若CD=1，AC= ，求O O的半径长.考 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质. 占 八、专压轴题. 题 分 （1）连接 0C 先由 OA=OC，可得/ ACO= / CAO , 析 再由切线的性质得出 OC丄CD，根据垂直于同一直线的:两直线平行得到AD / CO,由平行线的性质得/ DAC= / ACO，等量代换后可得/ DAC= Z C

9、AO，即 AC 平分Z BAD;(2)解法一：如图2，过点0作0E丄AC于E.先 在Rt ADC中，由勾股定理求出 AD=3，由垂径定理求 出AE=Vp，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 AEOADC，由相似三角形对应边成比例得到2蔦求出AO=爲即O O的半径为影解法二：如图 AD AC332，连接BC.先在Rt ADC中，由勾股定理求出 AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 ABCACD，由相似三角形对应边成比例得到 藍率，求出AB=i?，则O 0的半径为号.AU AVJJ解 答(1) 证明：连接0C . OA=OC，/ ACO= / CAO . CD切O 0于C，OC丄CD，

10、又 AD丄CD， AD II CO，/ DAC= / ACO，/ DAC= / CAO， 即AC平分/ BAD;(2) 解法一：如图2，过点O作OE丄AC于E. 在Rt ADC中，AD=社严一時=J (后川小=3， OE 丄 AC，AE=AC哼./ CAO= / DAC，/ AEO= / ADC=90 , AEO sADC ,Vio塑出，即卫半， AD AC?3V10?AO毛，即O O的半径为!解法二：如图2，连接BC .在 Rt ADC 中，AD=Je-Dc2=J （何）2 -乎=3. AB是O O直径，/ ACB=90 ,/ CAB= / DAC，/ ACB= / ADC=90 , ABC

11、ACD , 而应，AB吨岡学，即OO的半径为仝3图2图1占八、评:本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂 径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质.此题 难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应 用.4. (2013?西宁)如图，O O是厶ABC的外接圆，BC为O O 直径，作/ CAD= / B,且点D在BC的延长线上，CE丄AD 于点E.(1) 求证：AD是O O的切线；(2) 若O O的半径为8, CE=2，求CD的长.考占 八、切线的判定；解分式方程；相似三角形的判定与性质.分析(1)首先连接0A，由BC为O O直径，CE丄AD， / CAD= / B，易求得/ C

12、AD+ / OAC=90 ，即卩/ OAD=90。，则可证得 AD是O O的切线；(2)易证得 CEDsOAD，然后设CD=x，贝9OD=x+8，由相似三角形的对应边成比例，可得方程： 4,继而求得答案.解 答(1) 证明：连接OA , BC为O O的直径，/ BAC=90 ,/ B+Z ACB=90 , OA=OC ,Z OAC= Z OCA , Z CAD= Z B,Z CAD+ Z OAC=90 , 即 Z OAD=90 ,OA丄AD ,点A在圆上， AD是O O的切线；(2) 解： CE 丄 AD , Z CED= Z OAD=90 , CE II OA, CEDOAD , CD CE

13、 ce=2OD 0A?，设 CD=x，则 OD=x+8 , 即3,x+8 3?解得x=,经检验x=|是原分式方程的解，-1所以CD=.占八、评此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及 直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的 作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.5.（ 2013?绍兴）在厶 ABC 中，/ CAB=90 , AD 丄BC 于 点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G,点F在BC 上.(1)如图 1, AC : AB=1 : 2, EF 丄CB，求证：EF=CD .EG的值.考 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质. 占 八、专压轴题.(1)

14、根据同角的余角相等得出/ CAD= / B,根据AC : AB=1 : 2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用 AAS 证明 ACD BEF，即可得出 EF=CD ;(2) 作EH丄AD于H , EQ丄BC于Q，先证明四边形 EQDH是矩形，得出/ QEH=90。，贝9Z FEQ= Z GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证 明厶EFQEGH，得出EF : EG=EQ : EH，然后在 BEQ中，根据正弦函数的定义得出 EQ=1BE，在 AEH中，根据余弦函数的定义得出 EH=AE，又 BE=AE，进而求出EF : EG的值.(1) 证明：如图1，在厶ABC中，/ CAB=90 ，AD

15、丄BC于点D，Z CAD= Z B=90-Z ACB . AC : AB=1 : 2， AB=2AC，点 E 为 AB 的中点， AB=2BE， AC=BE .在厶ACD与厶BEF中，ZCAD-ZBZADC=ZBFE=9Q ，QBE ACD BA BEF， CD=EF，即 EF=CD ;(2)解：如图2,作EH丄AD于H，EQ丄BC于Q， EH 丄 AD , EQ 丄 BC, AD 丄 BC,四边形EQDH是矩形，:丄 QEH=90 ,:丄 FEQ= / GEH=90 -Z QEG ,又/ EQF= Z EHG=90 , EFQs EGH , EF: EG=EQ : EH . AC : AB=

16、1:代 Z CAB=90 , Z B=30 .在 BEQ 中，/ BQE=90 , sin/ B嚅号, EQ=*BE.在 AEH 中，/ AHE=90 ,Z AEH= Z B=30 cos/ AEH=曽諾,EH仝AE .2 点E为AB的中点，BE=AE , EF: EG=EQ : EH=gBE:晳AE=1 :换.2 2占八、评本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判 定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性 较强，有一定难度解题的关键是作辅助线，构造相似 三角形，并且证明四边形 EQDH是矩形.6.(2013?宁夏)在 Rt ABC 中，/ ACB=90，D 是 AB 边上的一

17、点，以BD为直径作O O交AC于点E，连结DE 并延长，与BC的延长线交于点F .且BD=BF .(1) 求证：AC与O O相切.(2) 若 BC=6，AB=12，求O O 的面积.考 切线的判定；相似三角形的判定与性质. 占八、分 (1)连接OE，求出/ ODE= / F= / DEO，推出 析 OE II BC，得出OE丄AC，根据切线的判定推出即可;(2)证厶AEO sACB，得出关于r的方程，求出r 即可.证明：(1)连接OE , OD=OE , / ODE= / OED , BD=BF,/ ODE= / F,/ OED= / F, OE II BF,/ AEO= / ACB=90 ,

18、AC与O O相切；(2)解：由(1)知/ AEO= / ACB,又/ A= / A, AOE ABC, 0 E AO设O O的半径为r，贝q疳绘解得：r=4,O O的面积n X 42=16n点 本题考查了等腰三角形的性质,切线的判定,平行线的 评 性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,主要考:查学生的推理和计算能力，用了方程思想.7.(2013?黄冈)如图，AB为OO的直径，C为OO上一 点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为 D，且AC平分 / DAB.(1) 求证：DC为O O的切线；(2) 若O O的半径为3, AD=4，求AC的长.考 切线的判定；相似三角形的判定与性质.占八、分

19、(1)连接0C,由OA=OC可以得到/ OAC= Z OCA , 析 然后利用角平分线的性质可以证明Z DAC= Z OCA，接:着利用平行线的判定即可得到 0C / AD，然后就得到OC丄CD，由此即可证明直线 CD与O O相切于C点；(2) 连接BC,根据圆周角定理的推理得到Z ACB=90。，又Z DAC= Z OAC，由此可以得到 ADCACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题.解 (1)证明：连接0C答 OA=OC/ OAC= / OCA AC平分/ DAB/ DAC= / OAC/ DAC= / OCA OC II AD AD丄CD OC丄CD直线CD与O O相切于点C;(2)

20、解：连接 BC,则/ ACB=90 ./ DAC= / OAC，/ ADC= / ACB=90 , ADCACB,匾ACACAB? AC2=AD ?AB, O O的半径为3, AD=4,AB=6,AC=2讥.刍占八、评此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证 明三角形相似即可解决问题.点 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判 评 定与性质，(1)求出三角形全等的条件Z 1 = Z E是解题 : 的关键，(2) (i)根据两次三角形相似求出 AP=BF是 解题的关键，(ii)判断出路径为三角形的中位线是解题 的关键.9.( 201

21、3?朝阳)如图，直线 AB与O 0相切于点A，直径 DC的延长线交 AB于点B，AB=8，OB=10(1) 求0 0的半径.(2) 点 E 在0O 上，连接 AE，AC，EC,并且 AE=AC， 判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论.(3) 求弦EC的长.考 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质.占八、分 (1)连接OA，交EC于F，根据切线性质得出析Z OAB=90。，根据勾股定理求出即可；:(2)根据AE=AC推出弧AE=弧AC,根据垂径定理求出0A丄EC ,根据平行线判定推出即可；(3)证厶OFCOAB，求出FC,根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可.(1)解

22、：连接AO ,交EC于F, AB切O O于A,OA丄AB,:丄 OAB=90 ,在Rt OAB中，由勾股定理得： 0A= Job： -ab=JM -护=6, 答 :O O的半径是6.(2)直线EC与AB的位置关系是EC II AB. 证明： AE=AC ,弧AE=弧AC , OA 过 O,OA丄EC, OA 丄 AB, EC I AB.(3)解：I EC I AB, OFC OAB,-:=n abob?8 10?FC=5 ?.OA 丄 EC , OA 过 O , EC=2FC=.点 本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线 评 性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综 :合运用

23、性质进行推理的能力.10. (2013?百色)如图，在等腰梯形 ABCD中，DC II AB, E是DC延长线上的点，连接 AE，交BC于点F.(1) 求证： ABFECF ;(2) 如果 AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求 CE 的长.考 相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质.占八、分 (1)由“两直线平行，内错角相等”推知/ B= Z ECF， 析 Z BAF= Z E.则由“两角法”证得结论；:(2)利用(1)中的相似三角形的对应边成比例得到-=；，即=.所以 CE= (cm).解(1)证明：J DC II AB，答 / B=Z ECF，Z BAF= Z E， ABF sEC

24、F.(2)解：在等腰梯形 ABCD中，AD=BC , AD=5cm,AB=8cm, CF=2cm,:.BF=3cm.由(1)知， ABFECF ,.型=里即三CE CF? CE 2* CE= (cm).点 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性评质等腰梯形的两腰相等.11.( 2013?巴中)如图，在平行四边形 ABCD中，过点A 作AE丄BC,垂足为E，连接DE , F为线段DE上一点，且 / AFE= / B(1) 求证： ADFDEC ;(2) 若 AB=8，AD=6 乙 AF=4 ，求 AE 的长.相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性点质.压轴题.(1)证明： ？A

25、BCD，二 AB/ CD , AD II BC, / C+ / B=180,Z ADF= / DEC ./ AFD+ / AFE=180 ,Z AFE= / B,/ AFD= / C在厶ADF与厶DEC中，工 AFD 二 ZCZADF=ZDEC ADFDEC .(2)解：I ?ABCD，二 CD=AB=8 由(1)知厶 ADF DEC ,.辿卫 .DE= 4CD=師 X 8=12DECD?AF 43在Rt ADE中，由勾股定理得： AE=de2 凰2=如2(皿)2=6 .占八、评本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形 的性质和勾股定理三个知识点.题目难度不大，注意仔 细分析题意，认真

26、计算，避免出错.12.(2012?岳阳)如图所示，在O O中，w,弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC.(1) 求证：AC2=AB?AF ;(2) 若O O的半径长为2cm,/ B=60,求图中阴影部分 面积.A扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定 理；相似三角形的判定与性质.几何综合题.(1) 由計，,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三 角形相似可得出厶ACF与厶ABC相似，根据相似得比 例可得证；(2) 连接0A，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由/ B为60，求出/ AOC为120OE垂直于AC，垂

27、足为点E，由OA=OC，利用三线合 一得到OE为角平分线，可得出/ AOE为60，在 Rt AOE中，由OA及cos60的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt AOE中，利用勾股定理求 出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积- AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面 积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积.解 答(1)证明:於奩，/ ACD= / ABC，又/ BAC= / CAF， ACFABC，借逼，即 AC2=AB?AF ;(2)解：连接OA，OC,过O作OE丄AC，垂足为点匚，如图所示：/ ABC=60 ,二/ AOC=120 ，又 OA=OC，/ A

28、OE= / COE号 X 120 =60 ， 在 Rt AOE 中，OA=2cm，:.OE=OAcos60 =1cm，二 AE=w -oi=cm，AC=2AE=2Vcm，oMl G e-G “ 一G一一 1 初兀讣-1 v V d-cm2丿、J阴影扇形 OACAOC_ _ _ /、厶 7 7/、 |3602A3v 75“ 占八、评此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角 形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练 掌握性质及定理是解本题的关键.14.(2012?陕西)如图，正三角形 ABC的边长为3+(1) 如图，正方形EFPN的顶

29、点E、F在边AB上，顶点 N在边AC上，在正三角形 ABC及其内部，以点A为位似 中心，作正方形EFPN的位似正方形E F P N ，且使 正方形E F P N 的面积最大(不要求写作法)；(2) 求(1)中作出的正方形E F P N 的边长；(3) 如图，在正三角形 ABC中放入正方形DEMN和正 方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并 说明理由.图图考 位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性 点质.专几何综合题；压轴题.分析(1) 利用位似图形的性质，作出正方形 EFPN的位似正 方形E F P N ，如答图

30、所示；(2) 根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间 的关系，利用等式E F +AE +BF =AB，列方程求 得正方形E F P N 的边长；(3) 设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、(mn)，求得面积和的表达式为：S=+ (m - n) 2, 可见S的大小只与m、n的差有关： 当m=n时，S取得最小值； 当m最大而n最小时，S取得最大值.m最大n最小 的情形见第(1) (2)问.解 答解:( 1)如图，正方形E F P N即为所求.(2) 设正方形E F P N 的边长为x, ABC为正三角形， AE =BF 爭./ E F +AE +BF =AB， x+誓 x+x=3

31、W，二x谱，即x=3硬-3，(没有分母有理化也对，x 2.20也正确)(3) 如图，连接 NE、EP、PN，则/ NEP=90 .设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为 m、n(m n),它们的面积和为S,则NE二血n, PE二近n. PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2( m2+n2) S=m2+n号PN2,延长PH交ND于点G,贝V PG丄ND .在 Rt PGN 中，PN2=PG2+GN2= (m+n) 2+ (m- n) 2 AD+DE+EF+BF=AB，即省m+m+n+晳n=+3,化简 得 m+n=3. S=32+ (m-n) 2=号+ (m-n) 2 当(m - n)

32、2=0时，即m=n时，S最小./. S最小=号； 当(m - n) 2最大时，S最大.即当m最大且n最小时，S最大. m+n=3,由（2）知，m最大=3衍3./. S最大=号9+（m最大n最小）2弓9+ （3诉-3 -6+3诉）2 =99 54H .（S最大 5.47也正确）最小一：.综上所述，S最大=99 - 54任,S图占八、评本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方 形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有 一定的难度本题（1） （2） （3）问之间互相关联，逐级 推进，注意发现并利用好其中的联系第 （3）问的要点 是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨 论，在求S

33、最大值的过程中，利用了第（1） （2）问的结 论.15. （2012?河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法， 在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完 整.原题：如图1,在平行四边形ABCD中，点E是BC的中 点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点 G .若；=3，求怕勺值.图1圏2圏3(1) 尝试探究在图1中，过点E作EH / AB交BG于点H，则AB和EH 的数量关系是 AB=3EH , CG和EH的数量关系是 CG=2EH ，的值是.(2) 类比延伸如图2,在原题的条件下，若 =m (m0),则f的值是: ErCG2(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程.(3) 拓展迁移如图3,梯形ABCD中，DC / AB，点E是BC的延长线上 的一点，AE和BD相交于点F 若 仟a, p,(a0，b CDDE 0),则的值是 ab (用含a、b的代数式表示).