高等数学多元微分第五节隐函数求导课件

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1、高等数学多元微分第五节隐函数求导v 二元方程确定一元隐函数二元方程确定一元隐函数v 方程组情形方程组情形第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法 第五节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 隐函数的求导公式隐函数的求导公式v 三元方程确定二元隐函数三元方程确定二元隐函数高等数学多元微分第五节隐函数求导本节主题本节主题:1.1.方程方程在在什么条件什么条件下下能确定隐函数能确定隐函数?例如例如,方程方程02Cyx当当 C 0 时时,不能确定隐函数不能确定隐函数;2.2.在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,解决隐函数的求导数解决隐函数的求导数问题问题.上页上页 下页下页 返回返回 结束结

2、束 由方程所确定的函数称为由方程所确定的函数称为隐函数隐函数.在一定条件下，在一定条件下，二元方程二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数；确定一元隐函数；三元方程三元方程F(x,y,z)=0 确定二元隐函数；确定二元隐函数；.高等数学多元微分第五节隐函数求导一、二元方程确定一元隐函数一、二元方程确定一元隐函数定理定理1.设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则则 (1)(1)方程方程),(0),(00yxyxF在在一个一个单值连续可导函数单值连续可导函数 y=f(x),;)(00 xfy yxFFxydd隐函数求导公式隐函数求导公式定理证明从略，仅就求导公式推导如下：定理

3、证明从略，仅就求导公式推导如下：1)1)有连续的偏导数有连续的偏导数;的的某邻域内某邻域内可唯一确定可唯一确定在在的某邻域内满足的某邻域内满足0),(00yxFy2)2)3)3)满足条件满足条件(2)(2)上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导0)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所所确确定定的的隐隐函函数数为为方方程程设设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导若若F(x,y)的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连

4、续,xyxxydddddd222yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF求求隐函数的二阶导数隐函数的二阶导数:)(yxFFxxyxxydd则可则可上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxFFxydd高等数学多元微分第五节隐函数求导例例1.1.验证方程验证方程01sinyxeyx在点在点(0,0)(0,0)的的某邻域内某邻域内可可确定一个确定一个单值连续可导的隐函数单值连续可导的隐函数,)(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解 令令,1sin),(yxeyyxFx,0)0,0(F,yeFxx连续连续,由定

5、理由定理1 1知知,1)0,0(yF01)1),)(xfy 确定一个单值可导确定一个单值可导的隐函数的隐函数 则则xyFy cos2)2)3)3)在在(0,0)的某邻域内的某邻域内,所给方程能唯一所给方程能唯一且且并计算并计算上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0,0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy 3100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy1,0,0yyx上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,1sin),(yxeyyxFx高等数学多元微分第五节隐函数求导

6、0 x30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyxyycos两边对两边对 x 求导求导1两边再对两边再对 x 求导求导yyyy cos)(sin2令令 x=0,注意此时注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0,0(第二种算法第二种算法y 利用隐函数求导法则利用隐函数求导法则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyyexcos高等数学多元微分第五节隐函数求导定理定理2.2.若三元函数若三元函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内有连续偏导数的某邻域内有连续偏导数,则则 (1)方程方程0),(zyxF在在),(000zyx(2),),(000

7、yxfz 唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数 z=f(x,y),定理证明从略定理证明从略,仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足0),(000zyxF0),(000zyxFz1)在点在点满足满足2)3)的某邻域内可的某邻域内可上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、三元方程确定二元隐函数二、三元方程确定二元隐函数高等数学多元微分第五节隐函数求导0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同理可得同理可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则则zFxz00),(000zFzyx的某

8、邻域内的某邻域内在在上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导例例2 2.设设,04222zzyx解一解一 利用隐函数求导法则利用隐函数求导法则0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对再对 x 求导求导上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导解二解二 利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式设设zzyxzyxF4),(222则则,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zx

9、z2zxzx242 zFz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导zxFFxz xz例例3.3.设设F(x,y)有连续偏导数有连续偏导数,0),(zyzxF.dz求解一解一 利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 所确定的隐函数所确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则则)()(2221zyzxFF 已知方程已知方程故故上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导对方程对方

10、程 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解二解二 微分法微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两边求微分两边求微分:整理得整理得解得解得高等数学多元微分第五节隐函数求导三、方程组情形三、方程组情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由函数由函数F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为称为

11、F、G 的的雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例：以两个方程确定两个隐函数的情况为例：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数),(0000vuyxP),(,),(vuyxGvuyxF则方程组则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF3)3),(00yx在点的单值连续函数的单值连续函数),(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式且有偏导数公式:1)1)在点在点2)2)的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确

12、定一组满足条件满足满足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；导数；,),(000yxuu),(000yxvv 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1课本课本P34-P35P34-P35xxGFyyGFxxGFyyGF参见二元参见二元线性方程线性方程组的求解组的求解公式公式上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元

13、微分第五节隐函数求导例例4.4.设设,vuvueyex.,yzxz解解 现在现在求求以下计算以下计算(1)式两端分别对式两端分别对 x 求导，得求导，得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,uvz,uvz 式中式中 u=u(x,y),v=v(x,y)由方程由方程,vuvueyex(1)所确定所确定.因此因此.,yvuyuvyzxvuxuvxz.,;,yvyuxvxu.0,1xvxuexvxuevuvu.0,)(xvxuexvxuvu.21)(vuexvxu高等数学多元微分第五节隐函数求导因此因此.)(21)(vuevu(1)式两边对式两边对 y 求导求导,得得上页上页 下页下页 返回返回

14、结束结束 vuvueyex,.1,0yvyueyvyuevuvuuveyvyuyvyu,0.21,21uvuveyveyu所以所以.)(21uveuvxvuxuvxzyvuyuvyz高等数学多元微分第五节隐函数求导内容小结内容小结1.1.隐函数存在定理隐函数存在定理2.2.隐函数求导方法隐函数求导方法方法方法1.1.套公式套公式;方法方法2.2.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法3.3.利用微分形式不变性利用微分形式不变性.思考与练习思考与练习设设,),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导

15、zx 解一解一),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf11f 1zx2f yxzxzy211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy21fzxf21fzyf上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(yxzz 确定隐函数确定隐函数高等数学多元微分第五节隐函数求导),(zyxzyxfz解二解二 利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性.,xzzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dz解出解出 dzxfzyfd)(21211fyxfyfzxfd21作业作业 P52 30,31，33,35,36由由d x 的系数可得

16、的系数可得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 等式等式两端微分，得两端微分，得类似可求得类似可求得.,yxzx高等数学多元微分第五节隐函数求导)()(xzzxyy及,2 yxeyx备用题备用题.ddxu求分别由下列两方程确定分别由下列两方程确定:又函数又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,设设解解 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导,得得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx2001考研考研解得解得

17、因此因此上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导222111cybxacybxa解解22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元线性方程组的求解公式二元线性方程组的求解公式上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高等数学多元微分第五节隐函数求导雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家德国数学家.他在数学方面最主要他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列他对行列式理论也作了奠基性的工作式理论也作了奠基性的工作.在偏微分在偏微分方程的研究中引进了方程的研究中引进了“雅可比行列式雅可比行列式”,并应用在微积分并应用在微积分中中.他的工作还包括代数学他的工作还包括代数学,变分法变分法,复变函数和微分方复变函数和微分方程程,在分析力学在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献动力学及数学物理方面也有贡献.他他在柯尼斯堡大学任教在柯尼斯堡大学任教18年年,形成了以他为首的学派形成了以他为首的学派.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束