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1、高等数学之空间解析几何与向量代数(3)第六节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七七章 四、两平面间的关系四、两平面间的关系高等数学之空间解析几何与向量代数(3)zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量,),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目
2、录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)例例1.1.求过点 且以 为法线 2(1)(2)(1)0 xyz230 xyz即M解解:(1,2,1),M向量的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程n机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,1,1n 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价,)0(222CBA),(CBAn
3、的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,),0(iCBn机动 目录 上页
4、下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)例例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解:因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy(P327 例4,自己练习)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)kji例例3.3.求过三点,1M又)1,9,14(0)4()1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解:取该平面 的法向量为),2,3,1(),4,1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程.利用
5、点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况:过三点)3,2,1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程.),0,0(,)0,0(,)0,0,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)(cay)(0ba
6、zabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0axyzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程高等数学之空间解析几何与向量代数(3)三、两平面间的关系三、两平面间的关系设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)2特别有
7、下列结论：特别有下列结论：21)1(0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)因此有例例4.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0)1()1()1(2CzCyCxC约去C,得0)1()1()1(2zyx即02zyx0)1()1()1(zCyBxA)1,1,1(1M,)1,1,0(2M和则
8、所求平面故,),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021nn,0:22222DzCyBx
9、A),(2222CBAn,0:11111DzCyBxA机动 目录 上页 下页 返回 结束),(1111CBAn 高等数学之空间解析几何与向量代数(3)第六节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P33:1;2(2);6(1).1;2(2);6(1).高等数学之空间解析几何与向量代数(3)5,15,10(0)1(5)1(15)1(10zyx0632zyx备用题备用题求过点 且垂直于两平面 和 的平面方程.)1,1,1(7zyx051223zyx解解:已知两平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1,1,1(1n)12,2,3(2n21nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束
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