高等数学之隐函数课件

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1、高等数学之隐函数第四节第四节 隐函数的导数及由参数方程隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数 *相关变化率相关变化率一一、隐函数的导数隐函数的导数二、二、对数求导法对数求导法三、三、由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数四、四、*相关变化率相关变化率五、五、小结、作业小结、作业1/18高等数学之隐函数一、隐函数的导数一、隐函数的导数.)(0),F(隐隐函函数数称称为为所所确确定定的的函函数数由由方方程程xyyyx .)(显显函函数数形形式式的的函函数数称称为为xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的隐函数的显化显化问题问题：隐函数不易显化或不能显化时如

2、何求导：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:视视 y=y(x),应用复合函数的求导法应用复合函数的求导法直接对方程直接对方程 F(x,y)=0 两边求导，然后解出两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数即得隐函数的导数.2/18高等数学之隐函数例例1 1.,)(0 0 xyxdxdydxdyxyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解得得求求导导方方程程两两边边对对视视 ,),(xxyy y解得解得,yxexyedxdy ,0 ,0 yx时时由由原原方方程程知知000 yxyxxexyedxdy.1 dxdyx xe ye 0 dxd

3、y3/18高等数学之隐函数例例2 2.)23,23(,3 33的的切切线线方方程程及及法法线线方方程程上上点点求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CxyyxC 解解得得求求导导方方程程两两边边对对视视 ,)(xxyy ,333322yxyyyx )23,23(22)23,23(xyxyy .1 于是，所求切线方程为于是，所求切线方程为,)23(23 xy.03 yx即即,2323 xy法线方程为法线方程为.xy 即即注注 本例中的方程形为本例中的方程形为 F(x,y)=G(x,y),其确定的其确定的y=y(x)的求导方法仍然是的求导方法仍然是.。4/18高等数学之隐函数例例3 3.)1,0()

4、(,1 44处的值处的值在点在点求求设设xyyxyx 解解得得求导求导方程两边对方程两边对 ,x)1(04433 yyyxyx代代入入，得得、将将10 yx;4110 yxy得得求求导导两两边边再再对对将将方方程程，、视视 ,)1()()(xxyyxyy ,04)(122123222 yyyyyxyx得得 4110 yxy及及、代代入入 10 yx.16110 yxy5/18高等数学之隐函数二、对数求导法二、对数求导法利用隐函数求导法求显函数导数的方法。利用隐函数求导法求显函数导数的方法。对数求导法：对数求导法：先先对对 y=f(x)（0）两边取对数两边取对数(或加绝对值后或加绝对值后两边取对

5、数两边取对数),然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围适用范围:,)()1()(xvxu函函数数幂幂指指型型方方、开开方方运运算算的的函函数数。含含有有较较多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(6/18高等数学之隐函数例例4 4解解.,)0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数等式两边取对数,得得,lnsinlnxxy 得得求求导导上上式式两两边边对对 ,x,1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy .)sinln(cossinxxxxxx?sin）（求求出出能能否否用用问问：xx显显式式求求导导法法7/18高等数学之隐函数例例5

6、 5解解.)142)1(3111()4(1)1(23 xxxexxxyx,|4|ln2|1|ln31|1|ln|lnxxxxy 得得求导求导上式两边对上式两边对 ,x,142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设等式两边取绝对值再取对数，得等式两边取绝对值再取对数，得.),1()1 ,4()4,(,),4()4,(函函数数不不恒恒正正；上上导导数数存存在在在在 D8/18高等数学之隐函数三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数称称此此函函数数为为由由此此间间的的函函数数关关系系与与可可

7、确确定定若若xytytx 例如例如 ,22tytx2xt ,)2(,22xty 此此参参数数方方程程确确定定的的函函数数得得.4)(2xxyy 即即消去参数消去参数 t问题问题:消参数困难或无法消去参数时如何求导消参数困难或无法消去参数时如何求导?9/18高等数学之隐函数);(I )()(I )(1xtttxxtxtxxxt 上上有有可可导导的的反反函函数数在在对对应应的的恒恒不不为为零零单单调调、可可导导且且在在上上若若,I )(上可导上可导在在又若又若ttyy dxdtdtdydxdyxy )(dtdxdtdy1 ,)()(txty )()(txtydtdxdtdydxdy ,I )()(

8、t ttyytxx 对对且且上上可可导导在在 ,I )()()(1xxyxtytyy :)()()(的的求求导导法法确确定定xyytxxtyy 10/18高等数学之隐函数例例6 6解解)()(txtydxdy ,cos1sintt taatacossin 2cos12sin 2 tdxdy.1 时时的的切切线线方方程程。在在求求摆摆线线 2 )cos1()sin(ttayttax,),12(,2 ayaxt 时时又又当当得得 所求切线方程为所求切线方程为,)12(axay.)22(axy即即11/18高等数学之隐函数例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos ,002000的的速速度度

9、大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可可由由切切线线的的斜斜率率来来反反映映切切线线方方向向时时刻刻的的即即轨轨迹迹在在时时刻刻的的运运动动方方向向在在tt)cos()21sin()()(020 tvgttvtxtydxdy,cossin00 vgtv .cossin 0000 vgtvdxdytt 12/18高等数学之隐函数轴轴方方向向的的分分速速度度分分别别为为、刻刻沿沿炮炮弹弹在在 )2(0yxt00

10、)cos(0ttttxtvdtdxv ;cos0 v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv ,sin00gtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在 0t22yxvvv .sin22020020tggtvv 13/18高等数学之隐函数例例8 8解解.)(sincos 33的二阶导数的二阶导数表示的表示的求求xyytaytax )()(txtydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ,tant )(22dxdydxddxyd ttatsincos3sec22 .sin3sec4tat)()tan(txt dxtd)tan(?33 dxyd问：问：14/18高等数

11、学之隐函数*四、相关变化率四、相关变化率.相相关关变变化化率率称称为为两两个个相相互互关关联联的的变变化化率率 当已知两个变量的关系后，可从其中一个变化当已知两个变量的关系后，可从其中一个变化率求出另一个变化率。率求出另一个变化率。15/18高等数学之隐函数例例9 9解解?,500 ./140,500 仰角增加率是多少仰角增加率是多少观察员视线的观察员视线的米时米时当气球高度为当气球高度为分分米米率为率为其速其速米处离地面铅直上升米处离地面铅直上升一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则视视线线的的仰仰角角为为观观察察员员其其高高度度为为分分后后设设气气球球上上升升 ,ht.500tanh 得

12、得求求导导上上式式两两边边对对 ,tdtdhdtd 5001sec2 ,/140 分分米米 dtdh,2sec,5002 米米时时当当 h.)/(14.0 分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米50016/18h米米高等数学之隐函数五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则:视视 y=y(x)，利用利用复合函数求导法复合函数求导法则则直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对函数两边取对数对函数两边取对数,然后按隐函数的求然后按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导法参数方程求导法:y对对x的导数的导数=y对参数的导数对参数的导数/x对参对参数的导数数的导数;*相关变化率相关变化率:两个相互关联的变化率两个相互关联的变化率;解法解法:通过建立两个变量之间的关系通过建立两个变量之间的关系,就将它们的就将它们的变化率联系起来，从一个变化率得到另一个变化率变化率联系起来，从一个变化率得到另一个变化率.17/18高等数学之隐函数作 业 习题2-4 3-(4)4-(1)(4)7-(1)高等数学之隐函数思考题思考题设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)(t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？18/18