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1、5.微分及其运算微分及其运算15.微分及其运算微分及其运算1高等数学之微分及其运算一、微分的定义一、微分的定义xxxx2x2xx的的正正方方形形面面积积考考虑虑边边长长为为 x.2)(2222xxxxxxsxxxs，则，则，.,22愈愈小小时时，误误差差也也愈愈小小，当当误误差差为为因因此此，xxxxs包包含含两两部部分分：s的的线线性性函函数数；是是 xxx2.)0)(2的的高高阶阶无无穷穷小小是是关关于于xxxox5.微分及其运算微分及其运算25.微分及其运算微分及其运算2高等数学之微分及其运算).0()()()(xxoxAxfxxfy，是是否否，一一般般地地，对对于于xxxfy)(Def
2、:xxyxxfy的的改改变变量量与与自自变变量量地地改改变变量量在在若若)(xAdyxAxdf)(或有有下下列列关关系系：).0)(xxoxAy:)()(点点的的微微分分，记记为为在在称称为为可可微微，在在点点无无关关，则则称称的的函函数数而而与与是是其其中中xxfxAxxfxxA的的线线性性主主要要部部分分：又又称称yxA的的一一次次函函数数；“线线性性”指指xA)1(.的的线线性性主主要要部部分分是是即即ydy).0()2(xxAy“主主要要”指指5.微分及其运算微分及其运算35.微分及其运算微分及其运算3高等数学之微分及其运算.2dssxxds，例例如如：上上例例中中，,343rV球球体
3、体积积.0),(3444,)(34)(4434)(3432232233）（rrorrrrrdVVrrrrrrrrV.0),(2,)(2)(22222）（，圆圆面面积积rrorrrdssrrrrrrsrs?)(AxAdyxxf，则则可可微微，即即在在若若5.微分及其运算微分及其运算45.微分及其运算微分及其运算4高等数学之微分及其运算.)()(可可导导在在可可微微在在xxfyxxfy可可微微，即即在在”若若证证明明：“xxf)(.)(无无关关与与，xAxoxAyTh.),()(lim0 xfAxxfAxyx可可导导且且在在，即即故故,)(xxoAxy于于是是.)()(xxfxdfdy从从而而5.
4、微分及其运算微分及其运算55.微分及其运算微分及其运算5高等数学之微分及其运算),(lim)(0 xfxyxxfx可可导导，即即在在若若”“.)(xxfdy有有关关系系式式：，且且的的可可微微性性与与可可导导性性等等价价对对一一元元函函数数而而言言，函函数数.0)()(xxoxxfy，亦亦即即,)(xxxdxdyxy 的的微微分分由由微微分分定定义义，.)()(xxfdyxxf可可微微，且且在在即即).(.)()(xfdxdydxxfdyxxfy从从而而的的微微分分可可写写为为在在导导数数又又称称微微商商5.微分及其运算微分及其运算65.微分及其运算微分及其运算6高等数学之微分及其运算有有关关
5、，有有关关，也也与与既既与与微微分分dxxdy)1(.2导导数数）求求微微分分实实质质上上就就是是求求（）（例例：Rxy).()(1xddxxdxxdy解解：.列列出出其其微微分分公公式式相相应应于于基基本本导导数数公公式式可可注：注：.是是相相互互独独的的两两个个变变量量与与而而dxx5.微分及其运算微分及其运算75.微分及其运算微分及其运算7高等数学之微分及其运算 微分是导数的另一种形式微分是导数的另一种形式.由导数的运算法则可相应由导数的运算法则可相应地得到如下的微分法则：地得到如下的微分法则：).()()()(.1xdgxdfxgxfd二、微分的运算法则二、微分的运算法则).()()(
6、)()()(.2xdgxfxdfxgxgxfd.),()(constcxcdfxcfd.0)(,)()()()()()()(.32）（xgxgxdgxfxdfxgxgxfd5.微分及其运算微分及其运算85.微分及其运算微分及其运算8高等数学之微分及其运算).()(xguufy，设设复复合合函函数数求求导导，即即可可看看作作对对性性，符符号号按按一一阶阶微微分分的的形形式式不不变变xdxdy.)3()1(.是是自自变变量量与与否否都都成成立立中中的的从从而而法法则则之之比比与与也也可可看看作作xdxdy注：注：4.4.复合函数的微分：复合函数的微分：.)()()()(duufdydudxxguf
7、xgf，故故有有，因因一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性.)()(dxxgxgfdy，有有则则由由)()(xgxgfdxdududydxdy.)(样样但但两两者者在在形形式式上上完完全全一一是是中中间间变变量量，是是自自变变量量，而而相相比比较较，虽虽与与uxdxxfdy5.微分及其运算微分及其运算95.微分及其运算微分及其运算9高等数学之微分及其运算,1112222xadxaxdxaady)13(ln(sin2xy解：解：例2.解：解：例3.解：解：).()0(arctan1adydyaxay，求求例1.22ueydxxxdxxxxdy13)13(ln(2sin33131)13ln(cos)13ln(sin2.)2()21(2222duueduuedyuu.21)(1)0(22dxaadydxady，5.微分及其运算微分及其运算105.微分及其运算微分及其运算10高等数学之微分及其运算微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 小结小结
高等数学之微分及其运算课件
