练习册P336题至2题

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1、线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1教学目的教学目的掌握用秩判断线性相关性的方法，掌握向量掌握用秩判断线性相关性的方法，掌握向量向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩的关系，掌握向量组的秩的求法。的秩的关系，掌握向量组的秩的求法。作业重点重点向量组秩的求法与方程组的基础解系向量组秩的求法与方程组的基础解系练习册练习册P31-36,P31-36,第第6 6题题 至至第第1212题题难点难点同上同上讲授方法讲授方法讲授与投影讲授与投影讲授内容讲授内容主线主线线性相关判定方法无关组线性表示其它向线性相关判定方法无关组线性表示

2、其它向量秩与无关组向量组与矩阵同秩向量量秩与无关组向量组与矩阵同秩向量组线性表示等价秩相等齐次方程组的基组线性表示等价秩相等齐次方程组的基础解系。础解系。内容概括内容概括最大无关组通过方程组可表示向量组所有向最大无关组通过方程组可表示向量组所有向量，方程组的解即线性表示系数，齐次线性量，方程组的解即线性表示系数，齐次线性方程组的基础解系即方程组解集的最大无关方程组的基础解系即方程组解集的最大无关组组班级：时间：年 月 日；星期 第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2友情提示友情提示 本次课讲第四章

3、第二节（续），第三节：本次课讲第四章第二节（续），第三节：相关性与向量组的秩；相关性与向量组的秩；下次课讲第四章第四节，第五节，方程组下次课讲第四章第四节，第五节，方程组解的结构与向量空间解的结构与向量空间 本次课讲完可完成作业本次课讲完可完成作业P31-P36P31-P36 下次上课时交作业下次上课时交作业P33-P36P33-P36线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3 有有解解无无解解是是否否有有解解线线性性表表示示由由向向量量组组向向量量组组定定理理：复复习习概概括括线线性性表表示示核核心心),()(),()(BARARBARARBAXAB数数。组组向向

4、量量线线性性表表示示表表示示系系由由为为的的解解的的列列向向量量的的解解即即其其中中，有有解解时时AbXbbbXXXABAXjjss),(),(,2121 第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构向向量量”请请记记住住：“行行变变换换，列列进进行行初初等等行行变变换换，因因此此却却是是对对解解方方程程组组表表示示系系数数时时均均是是列列向向量量，而而求求线线性性注注意意：),(,BABAXBXA),()()(BARBRARBA 是是等价的充分必要条件等价的充分必要条件与向量组与向量组推论：向量组推论：向量组线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性

5、相关性4第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构0.12211 mmkkk 用定义判定：关键式：用定义判定：关键式：向量组向量组 线性相关线性相关的充分必要条件是它所构的充分必要条件是它所构maaa,21成的矩阵成的矩阵 的秩的秩R(A)m；maaaA,21向量组向量组线性无关线性无关的充分的充分必要条件是必要条件是 R(A)=m.maaa,212.按照向量组的秩判定：按照向量组的秩判定：一、向量组线性相关性的判定一、向量组线性相关性的判定的解。的解。解，试判断解，试判断有无穷多有无穷多组，若组，若所对应的齐次线性方程所对应的齐次线性方程是非齐次线性方程组是非齐次线性

6、方程组矩阵，矩阵，是是例题：设例题：设00 AXbAXbAXAXnmA有有非非零零解解（无无穷穷多多解解）中中，有有无无穷穷多多解解，则则分分析析：因因为为0,)(0,),()(AXnARAXnBARARbAX线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性5（3）按照整体与部分的关系判定）按照整体与部分的关系判定定理定理5 5（1 1）若向量组）若向量组 A：线性相关，线性相关，maaa,21则向量组则向量组 B：121,mmaaaa也相关也相关；反言之，反言之，若向量组若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组A 也线性无关也线性无关.即即线线性性相相关关显显然

7、然，,1)(,)(1)()|()(1 mBRmARARaARBRm（4）用向量的维数判定）用向量的维数判定：m 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数m 时一定线性相关时一定线性相关.所所以以线线性性相相关关，分分析析：显显然然，,)(),min()(mARmnnmAR 第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性6证明：证明：记,21maaaA,21baaaBm由秩的定理，有R(A)R(B).因 A 组线性无关，有R(A)=m；因 B 组线性相关，有

8、R(B)m+1.所以 mR(B)n);已知BA=E,试证A的列向量线性无关mn,nm ;,21nA nkkk,2102211 nnkkk 0 0 nnkkk2121)(，000nkkkA21解：设若存在：即：因为：000nkkkBA21 000nkkk21左乘B:由BA=E得：.021 nkkk所以结论成立。第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性21 的值。的值。线性表示，求线性表示，求，向量组向量组可由可由且且具有相同的秩具有相同的秩与向量组与向量组已知向量组已知向量组分）分），数学二，数学二，（

9、例题例题babaTTTTTT,7,6,9,1,0,3,3,2,10,1,1,2,1,1,0.70043213321321 000210931201001260931713602931解：解：A .3 300130121,2,2321321321ababRR 即：即：由题设：由题设：第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性222,()(33213213213 ）线性表示，即：线性表示，即：，可由向量组可由向量组又：又：RR15,5,035 ,35000121260931),(3321 abbbbb即：即

10、：第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性23二、齐次线性方程组解集的最大无关组：二、齐次线性方程组解集的最大无关组：1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理复习齐次线性方程组解的秩的判定定理2.解向量的概念解向量的概念nrARAXnnARAX )(0()(0有非零解（无穷多解）有非零解（无穷多解）齐次方程组齐次方程组为解向量的维数）为解向量的维数）有唯一零解有唯一零解齐次方程组齐次方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa

11、（1）设）设,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA=x=,21 nxxx则（则（1）式可写成向量方程）式可写成向量方程 Ax=0（2）12111112121111,nnnxxxxxxx ）的的解解则则为为（若若称为方程组（称为方程组（1）的解向量，）的解向量，它也是向量方程（它也是向量方程（2）的解）的解.第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性24第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构2.解向量的性质解向量的性质性质性质1 1 若若 为为齐次方程组齐

12、次方程组的解的解，则则 也是也是相应齐次方程组相应齐次方程组的解的解.21,xx21 x证证21 A21 AA000性质性质2 2 若若 为为齐次方程组齐次方程组的解的解，k为实数，则为实数，则 k 也是也是相应齐次线性方程组相应齐次线性方程组的解的解.1 x1 x证：)()00.kkk（11AA的解（向量）。的解（向量）。均是均是的线性组合的线性组合的解向量的解向量结论：结论：0,0221121 AXkkkxAXttt 3.AX=0的基础解系的基础解系的一个基础解系。的一个基础解系。为为的任一个最大无关组称的任一个最大无关组称中中，则，则（或解向量组）（或解向量组）的全体解向量组成解集的全体

13、解向量组成解集定义：设定义：设00 AXSSAX线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性25基础解系不唯一基础解系不唯一的的的最大无关组，所以的最大无关组，所以）由于基础解系是解集）由于基础解系是解集（01 AXttttkkkxxAXAX 22112121,00,2线性表示，即：线性表示，即：均可用均可用的任意解的任意解的一个基础解系，则的一个基础解系，则方程组方程组为线性为线性设解向量设解向量）由最大无关组定义，）由最大无关组定义，（第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构4.4.求求AXAX=0=0的基础解系的基础解系AXAX0 0的通

14、解：的通解：事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定组通解的方法：假定AXAX=0,A=0,A的秩为的秩为R(A)=r,R(A)=r,求解步骤如下求解步骤如下线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性26化化A 为行最简形矩阵为行最简形矩阵为为,00001001,1,111 rnrrrnbbbb A与与 A 对应的方程组的同解方程组为对应的方程组的同解方程组为,11111nrnrxbxbx .,11nrnrrrrxbxbx 1122,rrnn rxc xcxc令自由未知数令自由未知数则：第十讲第

15、十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性27 rnnrrrnrnrrrrrnrncxcxcxcbcbcbxcbcbcbx0000000002111,2211,12121111 rnrnrnrrrrnrnnrrcccbcbcbcbcbcbxxxx-1,2211,121211111000000为为：向向量量（列列矩矩阵阵）的的形形式式矩矩阵阵表表示示通通解解，并并写写成成根根据据上上式式求求得得通通解解，用用 001010001)()(121221111rnrrnrnrrbbcbbcbbc第十讲第十讲 向量组的秩

16、与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性28 巧得很，巧得很，AX=0AX=0的通解正好是的通解正好是n-rn-r个解向量的线个解向量的线性组合，如果这性组合，如果这n-rn-r个解向量就是解集的最大无个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了关组，我们就等于找到了AX=0AX=0的基础解系。事实的基础解系。事实上，我们有如下定理：上，我们有如下定理：（2 2）定理：设）定理：设n n元齐次方程组元齐次方程组AX=0AX=0的系数矩阵的系数矩阵的秩的秩R(A)=rR(A)=r,解集（解向量组）为解集（解向量组）为S S,

17、则则R(S)=R(S)=n-rn-r第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构）（下：下：得到齐次方程组通解如得到齐次方程组通解如*2211rnrncccx 线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性29 定理：设定理：设n元齐次方程组元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩的系数矩阵的秩R(A)=r,解解集（解向量组）为集（解向量组）为S,则则R(S)=n-r证：证：,00001001,1,111 rnrrrnbbbbA第一步：和以前一样，将第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形：系数矩阵化成行最简形：第二步：仍然是写出与第二步：仍然是写出与

18、A A 对应的齐次线性方程组的同解方程组对应的齐次线性方程组的同解方程组,11111nrnrxbxbx .,11nrnrrrrxbxbx 第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性30,00121 nrrxxx,010 ,100 ,.,1,010,:11rnrixxxccrnirrn 其中其中依次令依次令量向量组的取值量向量组的取值的取值相当于对自由变的取值相当于对自由变原自由变量原自由变量的任意性的任意性由于由于自由变量取值自由变量取值第三步第三步代入同解方程组依次可得：代入同解方程组依次可得：

19、,1211121 rrbbbxxx ,22212 rbbb,2,1 rnrrnrnbbb第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性31第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:,0011111 rbb,0102122 rbb.100,1 rnrrnrnbb,rnrnrnrnrnkkkxcccxccc 2211221121 ,，或：，或：一致：即一致：即前一种方法的通解完全前一种方法的

20、通解完全组解向量的线性组合与组解向量的线性组合与的方法求出的一的方法求出的一由变量向量为单位向量由变量向量为单位向量结果，这里，通过令自结果，这里，通过令自求出通解的求出通解的量为任意常数量为任意常数通过比较原来令自由变通过比较原来令自由变线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性32的线性组合。的线性组合。，中任意的解向量均是中任意的解向量均是的解集的解集知它们是通解，即知它们是通解，即首先，由上一章知识已首先，由上一章知识已rnAX 210线性无关。线性无关。，故：故：，因此：因此：阶单位子式阶单位子式中，存在中，存在，其次，解向量组其次，解向量组rnrnrnrn

21、rnRErn 212121,)(,01rnSRSAXrn )(021系。即得：系。即得：最大无关组，即基础解最大无关组，即基础解的的的解集的解集是是，由最大无关组定义，由最大无关组定义，该定理的论证说明了两点：该定理的论证说明了两点：rnSRSRrnAXAX )()(0201之间的关系：之间的关系：解集的秩解集的秩及及、系数矩阵的秩、系数矩阵的秩的元的元）说明两方程组）说明两方程组（的基础解系的求解步骤的基础解系的求解步骤）指出了）指出了（第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性33即即基基础础

22、解解系系。成成解解集集的的最最大大无无关关组组，线线性性无无关关的的解解向向量量均均构构个个的的解解集集中中任任意意则则的的秩秩矩矩阵阵推推论论：设设rnAxrARAnm 0,)(线性相关。线性相关。，由相关性秩的判别法，由相关性秩的判别法，的解集的秩的解集的秩的任意一解。的任意一解。是是设设个解向量且线性无关。个解向量且线性无关。的的是是证：设证：设baaarnrnbaaaRrnRAxAxbrnAxaaarnrnsrn ,1),(,000,212121解系解系的最大无关组，即基础的最大无关组，即基础就是就是无关组定义，无关组定义，唯一线性表示。由最大唯一线性表示。由最大能由能由关系定理，关系

23、定理，由相关性与线性表示的由相关性与线性表示的线性相关。线性相关。，线性无关，并且线性无关，并且0,21212121 Axaaaaaabbaaaaaarnrnrnrn第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性344.4.齐次线性方程组的求解结论：齐次线性方程组的求解结论：根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：我们可以得到如下结论：（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是）由此还可以推断：齐次线性方程组

24、的基础解系不是唯一的唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.（3）齐次线性方程组）齐次线性方程组(1)的任何的任何 n-r 个线性无关的解向量都个线性无关的解向量都可作为它的基础解系可作为它的基础解系.（1）当）当 R(A)=n 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(1)只有零解只有零解,无基础解系无基础解系;（2）当）当 R(A)n 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(1)的基础解系含有的基础解系含有n r 个解向量个解向量.第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积的一个基础解系。的一个基础解系。构成了构成了个线性无关的

25、解向量均个线性无关的解向量均的任意的任意的秩为的秩为维，系数矩阵维，系数矩阵为为这一推论说明了，变量这一推论说明了，变量0)(AxrnrARAnx线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性35 010001010010011010001010010011111000011110011：行变换，化成行最简有行变换，化成行最简有解：对系数矩阵作初等解：对系数矩阵作初等A,000453521 xxxxxx得同解方程组：得同解方程组：的的基基础础解解系系求求齐齐次次线线性性方方程程组组 000543321521xxxxxxxxx分分），数数学学一一，（例例题题6961第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性36第十讲：解的解构、向量空间与向量内积第十讲：解的解构、向量空间与向量内积 22112154321,1,0,1,0,1,0,0,0,1,121,0,1,0,10,0,0,1,1,kkrnxxxxxTTTTT 通通解解为为：个个解解向向量量：对对应应的的基基础础解解系系是是。和和则：则：和和令令。非零行的非首元非零行的非首元为行最简形的为行最简形的自由变量自由变量,1001,2,3)(,55252 xxxxrnARn