直线与方程(经典例题)[共9页]

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1、直线与方程知识点温习：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x轴正向 与直线向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 0 ,90时, k 0； 当 90 ,180时, k 0； 当 90时, k 不存在。y y2 1 x x 过两点的直线的斜率公式： ( )k1 2x x2 1注意下面四点： (1) 当 x1 x2时,公式右边无意义,直线的

2、斜率不存在,倾斜角为90；(2) k 与 P1、P2 的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： ( )y y1 k x x 直线斜率 k,且过点 x1, y11注意： 当直线的斜率为0时, k=0,直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因 l上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。斜截式： y kx b ,直线斜率为k,直线在 y轴上的截距为by y x x两点式： 1 1y y x x2 1 2 1（x1 x2

3、, y1 y2 ）直线两点 x1, y1 , x2, y2x y截矩式： 1a b其中直线l 与 x轴交于点 ( a,0) , 与 y轴交于点 (0, b) , 即 l 与 x轴、 y轴的 截距 分别为a,b 。一般式： Ax By C 0 （A,B不全为0）注意： 1 各式的适用范围2 特殊的方程如：平行于 x轴的直线： y b（ b为常数）； 平行于 y轴的直线： x a（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一配合性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0A0 x B y C （0 0A0 , B 是不全为0 的常数）的直线系：0A0 x B y C 0 （C为常数）0（二）过定点的直线

4、系（）斜率为k 的直线系：y y0 k x x ,直线过定点0x0, y ；0l1 A x B y C ,l2 : A2 x B2 y C2 0 的交点的直线系方程 （）过两条直线: 01 1 1 A （为参数）,其中直线l2 不在直线系中。为 01x B y C A x B y C1 1 2 2 2（6）两直线平行与垂直当l1 : y k x b , l2 : y k2 x b2时,1 1l1 / l k k ,b b ； l1 l2 k1k2 12 1 2 1 2共 6页第 1 页注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点l1 : A x B y C

5、0 l2 : A2 x B2 y C2 0相交1 1 1交点坐标即方程组A x1B1yC10的一组解。A x2B y2C20方程组无解 l1 / l 2 ； 方程组有无数解 l1 与 l2 重合（8）两点间距离公式： 设A( x ,y ),（B x , y ）是平面直角坐标系中的两个点,1 1 2 2则2 2| AB | (x x ) ( y y )2 1 2 1（9）点到直线距离公式： 一点 P x0 , y0 到直线 l1 : Ax By C 0的距离（10）两平行直线距离公式dAx02ABy02BC在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。典型例题例 1. 已知直线过点 P（

6、-5 ,-4 ）,且与两坐标轴围成三角形面积为 5,求直线 l 的方程。解：设直线的截距式方程为：xayb1则有5 41a b125ab a 5,b 2 或a ,b524直线方程为 8x 5y 20 0或2x 5y 10 0例 2 已知两点 A(-3 ,4) ,B(3 ,2) ,过点 P(2 ,1) 的直线 l 与线段 AB有大众点（1）求直线 l 的斜率的取值范围 （2）求直线 l 的倾斜角的取值范围分析： 如图 1,为使直线 l 与线段 AB有大众点,则直线 l 的倾斜角应介于直线 PB的倾斜角与直线 P A的倾斜角之间,所以,当 l 的倾斜角小于 90 时,有 k kPB ；当 l 的倾

7、斜角大于90 时,则有k kPAAy解： 如图 1,有分析知B 4 ( 1) 2 ( 1)k 3 2PA 1, kPB 3 23OxP （1） k 1 或 k 3图 13（2）arctan3 4说明： 容易错误地写成 1 k 3,原因是或误以为正切函数在 0, 上单调递增共 6 页 第 2 页1例 3 若三点 A ( 2, 3) , B (3, 2) ,C ( , m) 共线,求 m 的值2分析： 若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在解答： 由 A、 B 、C 三点共线,则kAB k AC2 3 m13 2232,解得1m 2说明： 由三点共线求其中参数 m的方法很多,如两点间

8、的距离公式,定比分点坐标公式,面积公式等,但用斜率公式求 m的方法最简便例 4. 在直线 3x y 1 0上求一点 P,使点P到两点（ 1, 1）,（ 2,0）的距离相等。分析：（1）设 P（x,y）,则有 y3x1,故点 P 的坐标为（ x,3x1）,由距离公式得x 的方程,解得 x0。（2）设 P（x,y）,求出两点（ 1,-1 ）,（2,0）的中垂线方程为 xy10,再解方程组得 P（0,1）。解法 1：设 P（x,y）,则有 y3x1故点 P的坐标为（ x,3x1）2 2 2 2由距离公式得： x 1 3x 2 x 2 3x 1解之得： x0所求的点为 P（0,1）解法 2：设 P（x

9、,y）,两点（ 1,-1 ）,（2,0）所连线段的中垂线方程为：x y 1 0 1 又3x y 1 0 2解由、组成的方程组得： P（0,1）练习:1. 直线 ax by 1 (ab 0) 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A.12abB.12abC.12ab D.12ab2. 过点 A（4,1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）A. x y 5 B. x y 5C. x y 5或 x 4y 0 D. x y 5或 x 4y 0共 6 页 第 3 页3. 已知直线 Ax By C 0的横截距大于纵截距,则 A、B、C应满足的条件是（ ）A. A B B. A B C.CACB0D.

10、CACB04. 直线 l1：ax y b 0,l 2：bx y a 0 (ab 0) 的图象只可能是下图中的（ ）5. 直线 2x y 7 0在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则 a、b 的值是 （ ）A. a 7,b 7 B.a 7,b72C.7a b,27D.7a b,271arctan6. 若直线 l 的倾斜角为 2 且过点（ 1,0）,则直线 l 的方程为 _。7. 由已知条件求下列直线的斜截式方程。（1）直线经过点 P P1 2,1 、 2 0, 3；（2）直线在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为 3。共 6 页 第 4 页8. 设直线 l 的方程为2 2

11、 3 2 2 1 6 2 0m m x m m y m,根据下列条件分别确定实数 m的值。（1） l 在 x 轴上的截距是 3；（2）斜率是 1。9. 过点 P（2,1）作直线 l 交 x 轴、y 轴的正半轴于 A、B 两点,当 PA PB 取最小值时,求直线 l 的方程。10. 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为 3,且在 x 轴和 y 轴上的截距之和为 5,求这样的直线的条数。11. 已知点 P（-1 ,1）、Q（2,2）,直线 l：y kx 1与线段 PQ相交,求实数 k 的范围。12已知 ABC 中,A(1, 3) ,AB、AC 边上的中线所在直线方程分别为 x 2y 1 0 和y 1

12、 0 ,求 ABC 各边所在直线方程共 6 页 第 5 页参考解题格式 ：9. 解： 设直线 l 的方程为 y k x 2 1(k 0)分别令 x 0,y 0得：1B 0 1 2k A 2 0, , ,kPA PB1k22 2 22 2 0 1 2 2k412kk28 4k0,当且仅当 k 1 时, PA PB 取得最小值 4故所求直线的方程为 x y 3 011. 解： 直线 l 的纵截距为 1 直线过点 M（0,-1 ） l 与线段 PQ相交 k k k kMQ 或 PMkMQ2 12 032kPM1 11 023k k或2212 分析： B 点应满足的两个条件是： B 在直线 y 1 0 上； BA 的中点 D 在直线x 上。由可设 ,12y B ,进而由确定1 0 xBx 值.B解：设 B ,1 则 AB的中点xBDxB21,2D在中线 C D：x 2y 1 0 上xB212 2 1 0,解得 x 5 , 故 B(5, 1).B同 样 , 因 点 C 在 直 线 x 2y 1 0 上 , 可 以 设 C 为2yC 1,yC, 求 出yC .1,C 3, 1根据两点式,得 ABC 中 AB： x 2y 7 0, BC： x 4y 1 0 ,AC： x y 2 0 .共 6 页 第 6 页科教兴国