可控性分析

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1、【摘要】倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，研究倒 立摆的精确控制对工业复杂对象的控制有着重要的工程应用价值。本文以一阶单倒立摆系统的模型为基础，对一阶双倒立摆系统模型进行了建 模、线性化处理、封装、验证和仿真，并对仿真运行的结果进行了分析，得出一 阶直线双倒立摆系统的可控性分析。【关键词】双倒立摆 建模 封装 可控性Abstract 】Inverted pendulum system is a typical rapid, many variables, nonlinear, unstable system, the inverted pendulum is precis

2、e control of the industrial complex object to the control has the important engineering application value.This paper first single inverted pendulum system based on the model, the first order double inverted pendulum system modeling, model linearization, sealing, validation and simulation, and the re

3、sults of the simulation of operation is analysed and a order linear double inverted pendulum system control analysis.Key Words】Double inverted pendulum, modeling, encapsulation, controllable1.正文本论文中重点研究的关键问题是一阶直线双倒立摆系统的建模和仿真。建模 是为了对系统进行简化，方便模型的仿真；仿真是为了更好地对模型进行分析， 从而完成本课题研究的最终目的判断系统的能控性。在建模中，首先需要对 双倒

4、立摆系统的受力进行分析，主要是运用力学知识推到出系统状态空间表达式 的模型，这就建立了系统的数学模型。其次，为了方便对系统的研究还需要对系 统模型进行线性化处理和封装，这就完成了从数学模型到仿真模型的转化。最后， 在MATLAB环境下对系统模型进行仿真，并通过仿真结果来对系统进行可控性 的研究。2. 一阶直线双倒立摆的建模Q一阶单倒立摆模型的建立倒立摆系统是一种复杂的要求快速性很高、有很强非线性的系统，为了简化 直线一级倒立摆系统分析，在建立实际数学模型过程中，忽略了空气阻力和各种 摩擦之后，可以将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，则 一阶直线单级倒立摆系统可以建立成较为精确

5、的数学模型，其模型如图2-1所示。如图2-1所示，尸为加在小车上的外力，M为小车的质量，m为摆杆的质量，X为小车的位移，l为摆杆转动轴心到杆质心（即为杆的中点）的长度，为摆杆的偏角。其中小车和摆杆的受力分析如下图2-2、图2-3所示。图2-3摆杆的受力分析如图2-2、图2-3所示，其中气为小车与摆杆相互作用力的水平方向的分量， 尸为小车与摆杆相互作用力的垂直方向的分量。由图3-2所示，根据小车在水平方向所受的合力，可得F - F = Ma（2-1）其中，a为小车在水平方向的加速度。由于d2 xa =dt2所以（2-2）F = ma（2-3）其中，a x 为摆杆在水平方向的加速度。由于d 2a

6、=(x + l sin )所以F = m(x + l sin )xdt2（2-4）由图2-3所示，根据摆杆质心在水平方向所受的合力，可得由图2-3所示，根据摆杆质心在垂直方向上所受的合力，可得其中，g由于所以-mg = may为重力加速度，ad 2a =y dt2(2-5)y为摆杆在垂直方向的加速度。F - mg = m 一 (1 cos e ) ydt2(2-6)由图2-1所示，根据刚体绕定轴转动定律，可得如下微分方程iS =dtMiz(2-7)其中，1为摆杆对质心的转动惯量为刚体转动的角速度刚体主动力对该轴力矩的代数和。O =竺又因为dt -乙 M. = r xi=1i=1F = F -1

7、 sine - F -1 cos|所以d2 ei -dt 2F - 1 sin e -F -1 cos（2-8）在摆杆上任取一微元dx则摆杆的质量，设摆杆的线密度为入m = 21 人（2-9）根据刚体的转动惯量的公式，得（2-10）把（2-9）式带入（2-10）式，得ml 2（2-11）dx 因为x 0 /d 2 x，x 0 dt 2d e， dtd2 e ，dt 2由（2-2）、 （2-4）式可得F = (M + m)x + m1 (cos。$ - sin。$2)（2-12）由（2-4）、（2-6）、（2-8）、（2-11）式可得4 ，-(2-13)一 l。+ % cos。= g - sin

8、。3则（2-12）、（2-13）式即为一阶单倒立摆的数学模型的微分方程。Q一阶双倒立摆模型的建立一阶双倒立摆的建模原理与单倒立摆的建模原理类似，双倒立摆只是在单倒立摆系统的小车上多加了一个摆杆，可以利用叠加原理，在单倒立摆的基础上建 立起一阶双倒立摆的数学模型.一阶直线双倒立摆系统如下图3-4所示。义:M小车的质量，X小车的位置，F加在小车上的外力，M1，M2两个摆杆的质量，Ll，L2两个摆杆质心到转轴点的距离， 1、 2 两个摆杆与竖直方向的夹角, 0、12 两个摆杆的转动惯量。根据对单倒立摆的研究中可知：13 M 2 L 22(3-1)由于小车上有两个摆杆，则小车水平方向受到了两个摆杆的分

9、立七、Fx2。所以根据牛顿第二定律，根据式（2-2）可推出:F - F - F - M x(3-2)同理，对两个摆杆分别进行分析，可根据（3-4 ）式推得:FX1=M(x + L sin e ) = M (X + L 0 cos e 一 L e,2 sin e )1 dt 21111 111 11(3-3)d2=M 一2 dt 2(x + L sin e ) = M (x + L e cos e 一 L 0 2 sin e )22 222 2222(3-4)根据（2-6）式可推得:Fy1d 2-M g = M (L cos e ) = M (-L esin e1一 l e2 cos e)111

10、（3-5）d 2 =M2 dt 22(L cos e ) = M (-L e22根据（2-8）式可推得F L sinFx 1L1cossin e-L 6 222cos e )2（3-6）F 2 L 2 sinFx 2 L 2cosd 2e1dt 21 M3（3-7）d2 e2dt 21 -M32 L 22 J（3-8）把(3-3)、(3-4)式代入(3-2)F = (M + M + M )x + M L (cose。(3-3)、4 L3（3-5）式代入e + x cos(3-4)、4L3（3-6）式代入式可得-sme .e 2) + m l (cose .e2（3-7）式，(3-8)式，11-

11、sme .e 2)222（3-9）消去中间变量，-sin e1消去中间变量，e + x cos e = g - sm e可得可得（3-10）（3-11）则（3-9）、（3-10）、（3-11）式即为一阶双倒立摆系统的数学模型的微分方程。双倒立摆系统数学模型的线性化由上述双倒立摆数学模型的微分方程可知，该系统是明显的非线性系统。为 便于分析和计算，需要将系统在工作点（|气| 10。，|气| 10。）进行线性化处 理。各参数计算可作如下近似处理： 12cos 0 就 1， cos 0 就 1， sin。就。，sin 0 就。，（）2 = 2 牝 0，121122 dt1（d0 ）2 =0 2 牝

12、0。dt 2将上述条件代入一阶双倒立摆系统的微分方程（3-9）、（3-10）、（3-11） 中，则进行线性化处理后的微分方程组为F = (M + M + M )无 + M L 0 + M L 0121 1 12 2 2 -L 0 + X = g03 1 11(3-12)3 L22 + = g02由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式:x = Ax + Buy = Cx + Du其中，u表示系统控制输入向量，x表示系统状态变量，y表示系统的输出向 量，A表示系统的状态矩阵，B表示系统控制输入矩阵，C表示系统输出观测矩阵， D表示系统输入输出矩阵。贝U，由方程组（3-12）可

13、解的e +f4M + M + M 2 4M + M + M9M 2 g八3X =-3M1g0 -4 M + M + M 13 g(4 M +4 MM 2) +_e-:F(3-13)1 4L (4M + M + M ) 1 4L (4M + M + M ) 2 L (4M + M + M )1 12112112e =3 g(4 M + 4 M1+M 2)e 2+9Mg3f2 4L (4M + M + M )4L (4M + M + M ) 1 L (4M + M + M )2 12212212整理后以X、X、0、0、0、0为状态变量，得到系统状态空间表达1122式为:0000100000000_

14、 3 M声a03 g (4M + 4M + M )4 L a019 Mg4 L a0010000_ 3M2ga09 Mg4L a013 g (4M + 4M + M )4 L2 a000010x,x99929204a03La 013x 100000 一9001000191-2000010X9919292(3-14)式中 ，a = 4 M + M + M 。(3-14)式即为一阶线性双倒立摆系统数学模型的状态空间表达式。3-系统模型验证模型封装模块封装是复杂系统建模和仿真时常用的方法之一，采用模块封装有很多好 处：首先，它能使系统的结构更加清晰、简洁。其次，可以提高模型的通用性。 它可以存入到自

15、己的模块库中，使用时就可以和Simulink中其他的标准模块一 样，只需双击，并在弹出的对话框中输入具体的参数值即可，而不需考虑它是如 何实现的。由于内部结构被封装起来了，这样可以避免一些误操作，使用起来更 方便。利用Simulink封装子系统功能，可使模型验证原理表示的更加简洁。以小车的外力F作为输入信号，位移x、两个摆杆的摆角9 1、9 2作为输 出响应，采用MATLAB中的Simulink工具箱以及模块封装技术对双倒立摆系统的 模型进行封装。一阶双倒立摆系统的模型进行封装处理后的模块如图4-1所示。.一阶双倒立摆精确模型的封装把(3-10)、(3-11)式带入(3-9)式中，以 x、*、

16、。、。、9、。为 1122.、八.状态变量，消去9 1、9 2可解得：4F - 3gM cos 9 sin 9 + 4M L sin 9 9 2 - 3gM 2cos 9 sin 9 + 4M L sin 9 9 2X = 11111112222224(M + M + M ) - M cos 2 9 - M cos 2 9121122(4-1)9- -3 g si n 9 . 一 X cos9由(3-10)可得1 4 L 1(4-2)9- -3 g sin 9- x cos 9由(2-11)可得24 L 2(4-3)则如图4-1所示的双倒立摆系统精确模型封装的子系统内部的具体结构如图4-4所示

17、。其中，integrator为积分器环节。根据(4-1)式可知，Fcn3中输入的表达式为:(4*u5-3*g*M1*cos(u1)*sin(u1)+4*M1*L1*sin(u1)*(u32)-3*g*M2*cos(u2)*sin(u2)+4*M2*L2*sin(u2)*(u4”2)/(4*(M+M1+M2)-M1*( cos(u1)”2-M2*(cos(u2)”2)根据(4-2)式可知，Fcn1中输入的表达式为：(3*g*sin(u1)-u2*cos(u1)/(4*L1)根据(4-3)式可知，Fcn2中输入的表达式为：(3*g*sin(u2)-u1*cos(u2)/(4*L2)线性化模型的封装

18、如图4-1所示的双倒立摆系统线性化后封装的子系统内部的具体结构模型 如图4-5所示。其中，integrator为积分器环节。根据方程组(2-13)可知，Fcnl中输入的表达式为：3*g*(4*M+4*M1+M2)*u1/(4*L1*a)+9*M2*g*u2/(4*L1*a)-3*u3/(L1*a)Fcn2中输入的表达式：3*g*(4*M+4*M1+M2)*u2/(4*L1*a)+9*M1*g*u1/(4*L2*a)-3*u3/(L2*a)Fcn3中输入的表达式为：-3*M1*g*u1/a-3*M2*g*u2/a+4*u3/a而其中 a=4M+M1+M2Q模型验证对一阶线性双倒立摆系统的数学模型

19、的验证过程如下：(1) 实验设计：假设使小车上的两个摆杆都在(x = 0、气=0。、0 2 = 0。) 的初始状态下，突加一个有限恒定作用的力，则根据经验知：小车的位置X将不 断增大，而由于惯性定律，两个摆杆的摆角0 1、0 2都会增大。(2) 仿真实验：首先对封装后的双倒立摆系统的仿真模型如图4-6的子系 统进行参数的设置，取 M=1、M1=M2=0.5、L1=L2=0.6、g=9.8,则 a=4M+M1+M2=5。 设置输入阶跃信号F=1，初始时间为0。分别对精确模型和线性化后的模型进行上述设置后执行如图4-6所示的双 倒立摆系统，利用模型中的示波器观察各个输出量的波形图如下列各图。如图4

20、-8、图4-9、图4-10、图4-11所小，在t=0时刻，施加恒定的力F=1 后，小车位移x逐渐增加，两摆杆的摆角也逐渐的反向增加。这一结果符合前述 的实验设计，故可以在一定程度上确认：该双倒立摆系统的数学模型是有效的。 再根据精确模型的响应曲线图4-8、图4-9和线性化模型的响应曲线图4-10、图 4-11的对比分析可知，线性化后的响应曲线与精确模型的响应曲线在施加恒力F 后短期内的变化趋势是类似的。因此，利用线性化后的模型代替精确模型来研究 双倒立摆系统的可控性是可行的。4. 总结通过本论文课题的研究这篇内容所建立的模型在一定条件下可以精确的描 述一阶直线双倒立摆系统，我了解和学习了许多与

21、专业有关的理论和前沿知识， 同时也巩固了自己的专业知识，尤其是现代控制理论和仿真技术在实践中的运 用，利用较成熟的线性系统理论设计控制器，设计好的控制律设计可以再用精确 的模型进行仿真（已经封装成模块，便以随时调用）进一步调整。这篇内容所建立 的模型在一定条件下可以精确的描述一阶直线双倒立摆系统5. 参考文献1 张晓华.系统建模与仿真.清华大学出版社,20062 黄忠霖.控制系统的MATLAB计算及仿真.国防工业出版社,20013 蒋珉.控制系统计算机仿真.电子工业出版社,20064 李国勇，谢克明,杨丽娟.计算机仿真技术与CAD.电子工业出版社,20085 倒立摆与自动控制原理实验V2.0固高科技（深圳）有限公司，20056 瞿量.基于MATLAB的控制系统计算机仿真.清华大学出版社,20067 王海英.控制系统的MATLAB仿真与设计.高等教育出版社，8 薛定宇.控制系统计算机辅助设计.清华大学出版社,20059 薛安克，王俊宏,柴利，王惠姣.倒立摆控制仿真与试验研究现状.杭州 电子工业学院智能信息与控制技术研究所,200710 刘坤，陈今润，吕郁青，李万红.直线双倒立摆的双闭环选择型模糊控 制系统.重庆大学自动化学院,2009