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1、全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例一.有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形例：如图：已知ABC勺中线，且/ 1 = 7 2, / 3=/ 4,求证：BE CFEF。分析：要证BE+ CF EF ,可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE, CF, EF移到同一个三角 形中，而由已知7 1 = 7 2,7 3=/ 4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN FN EF移到同一个三角形中练习：如图，已知在厶 ABC中，7 B=60,A ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E=0D有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角
2、形。 例：如图：ABC的中线，且7 1 = 7 2,7 3=7 4,求证：BE+ CFEF练习：如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEI DF, D是BC中点，试比较 BE+CF与EF的大小.有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形例：如图3： AD为 ABC的中线，求证：AB+ AO2AD分析：要证 AB+ AO2AD由图想至U： AB+ BDAD,AO CDAD 所以有 AB + AC+ BD+ CDAD+ AD= 2AD左边比要证结论多 BD+ CD故不能直接证出 此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线, 把所要证的线段转移到同一 个三角形中去。练习：1已知，如图
3、 ABC中，AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是 2、已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角 形，如图4， 求证EF= 2ADF图4四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图5:在厶ABC中, ABAC, / 1 = Z 2, P为AD上任一点 求证：AB- AO PB- PC分析：要证：AB- AO PB- PC,想到利用三角形三边关系定理证之， 因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造 第三边AB- AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB- AO BN 再 连接 PN 贝U PO PN 又在 PNB中, PB- PN
4、PB- PGB练习：如图，在四边形 ABCD中, BCBA,AD= CD BD平分.ABC ,求证： A C =180五、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AC= BD, / CADM CBD求证：AD= BC分析：欲证AD= BC先证分别含有 AD BC的三角形全等,有几种 方案： ADC与 BCD AOD 与厶BOC ABD与 BAC但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角, 且让此角作为两个三角形的公共角。图6六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7： AB/ CD AD/ BC求证：AB=CD分析：图为四边形，我们只学了三角
5、形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。七、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 Rt ABC中 , A吐 AC / BAC= 90, / 1 = Z 2 , CEL BD的延长于 E。求证：BD =2CE分析：要证BD= 2CE想到要构造线段2CE同时CE与/ ABC的平分线垂直,想到要将其延长。A八、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 9; AC BD相交于0点，且A吐DC AO BD,求证：/ A=Z D。分析：要证/ A=Z D,可证它们所在的三角形厶ABOA DCO全等，而只有AB= DC和对顶角两个条 件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其
6、它的三角形全等，由 A吐DC AO BD若连接BC 则厶ABCPA DCB全等，所以，证得/ A=Z Do图 9九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10： AB= DC / A=Z D 求证：/ ABC=Z DCB分析：由A吐DC / A=Z D,想到如取AD的中点N,连接NB NC再由SAS公理有 ABNA DCN 故BN= CN / ABN=Z DCN下面只需证/ NBC=Z NCB再取BC的中点 M 连接MN则由SSS公理 有厶NBIWA NCM所以/ NBG/ NCB问题得证。图10十、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度
7、数.BCE例2如图，UABC是边长为3的等边三角形，.汩DC是等腰三角形，且.BDC =120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交 AB于点M交AC于点N,连接MN贝AMN的周长为C应用:1、已知四边形 ABCD 中，AB _ AD , BC _ CD , AB =BC , Z ABC =120 , / MBN =60 : Z MBN 绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于 E, F .当Z MBN绕B点旋转到 AE =CF时（如图1）,易证AE C EF .（图1）（图2）当Z MBN绕B点旋转到AE =CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，
8、请给予 证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2、在等边 ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N , D为ABC外一点，且AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的.MDN =60BDC =120 ,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线数量关系及. AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1（I）如图此时Q =L 1，当点M、图2N 边 AB、AC图3上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是N边AB、AC上，且当DM =DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜（II）如图2，点M、想并加以证明；（III）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN= X，贝U Q= （用X、L表示）.
全等角形中常见的辅助线添加方法
