湘教版数学七年级下册全册教案(2021年春修订)

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1、湘教版数学七年级下册全册教案（2021 年春修订） 湘教版数学七年级下册全册教案（ 2021 年春修订）湘教版数学七年级下册 全册教案设计 2021-1-24 第 1 章 二 元一次方程组 1.1 建立二元一次方程组 【知识与技能】 1. 理解二元 一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；3.能根据问题情境列二元一次方程组. 【过程与方法】 通过概念 的形成过程，发展分析问题、解决问题、归纳概括的能力；在经历分析实际问题中数量关系的过程中，体会方程是刻画现实 世界的数学模型. 【情感态度】 通过对情境问题的观察、思考，激发 学习数学的好奇心和求知欲

2、，并在运用数学知识解答问题的活动中获 取成功的体验，建立学习的自信心. 【教学重点】 二元一次方程组和 它的解的概念. 【教学难点】 二元一次方程组的解的概念. 一、情境 导入, 初步认识 1.什么是一元一次方程？ 方程的 ，只 ，并且 ，这 样的方程叫做一元一次方程. 2.等式的基本性质. （1）等式的两边都 或都减去 的数或式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以或 都 同一个不为 的数或式，所得结果仍是 . 3. 下面各式中是一元一次 方程的有哪些？ （1）2x+3 （2）2x-5=1 （3）+3=0 （4）+x=2 4. 判断下列 x 的值是不是方程 2x+1=7-x 的解. （

3、1）x=-2 （2）x=2 【教 学说明】通过对一元一次方程的有关知识的复习，为本节课的教学作 铺垫 . 二、思考探究，获取新知 探究 1:二元一次方程的概念 问题： 小亮家今年 1 月份的水费和天然气费共 60 元，其中天然气费比水费 多 20 元，你知道天然气费和水费各是多少吗？ 1.若设小亮家 1 月份 总水费为 x 元，则天然气费为 元.可列一元一次方程为 ，做好后交 流，并说出是怎样想的？ 2.想一想，是否有其它方法？（引导学生设 两个未知数）. 设小亮家 1 月份的水费为 y 元，天然气为 x 元. 列出 满足题意的方程， x+y=60， x-y=20. 3.观察所列的方程、，和我

4、们以前学过的一元一次方程有什么不一样？各含几个未知数？ 含未知数的项的次数是多少？你能给这样的方程取个名字吗？ 【归 纳结论】 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方 程叫做二元一次方程. 探究 2：二元一次方程组 在方程、中，x 都表示 1 月份的天然气费，y 都表示 1 月份的水费，所以它们必须同 时满足方程、，因此把方程、用大括号联立起来，得：像这样，把两个含有相同未知数的二元一次方程（或一个二元一 次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组，叫做二元一 次方程组. 探究 3：二元一次方程组的解 把 x=40，y=20 代入方程组 的每一个方程中，每一个方程左、右两边的

5、值相等吗？ 【归纳结论】 在一个二元一次方程组中，使每一个方程组的左、右两边都相等的一 组未知数的值，叫做这个方程组的一个解. 我们把叫做的一个解， 把 求方程组的解的过程叫做解方程组. 【教学说明】讲方程组的一个解 的概念，强调方程组的解是相关的一组未知数的值，这些值是相互联 系的，而且要满足方程组中的每一个方程，写的时候也要象写方程组 一样用“ ”括起来. 三、运用新知，深化理解 1.见教材 P4 例题. 2.下 列方程中，属于二元一次方程的是（ B ） Axy-71 B2x-13y+1 C4x-5y3x-5y D3x-=1 3.下列方程组是二元一次方程组的是（ D ） 6.由 x+2y4

6、，得到用 y 表示 x 的式子为 x4-2y；得到用 x 表示 y 的式子为 y. 7.若 x=2，y=-1 是二元一次方程 ax+by=-2 的一个解，则 2a-b-6 的值是-8. 8.已知 x=2，y=3 是一个 二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组. 解：答 案不唯一，现举一例：x2，y3， x+y2+35，2x+y22+37， x+y=5 2x+y=7 就是所求的一个二元一次方程组 9.根据下列语句，分别设 适当的未知数，列出二元一次方程或方程组 （1）甲数的比乙数的 2 倍少 7；（2）摩托车的时速是货车的倍，它们的速度之和是 200km/h； （3）某种时装的价格

7、是某种皮装价格的 1.4 倍，5 件皮装比 3 件时装贵 700 元 解：（1）设甲数为 x，乙数为 y，则 x2y=7（2） 设摩托车的速度为 x km/h ，货车的速度为 y km/h ，则 （3）设时装 的价格为 x 元/件，皮装的价格为 y 元/件，则 【教学说明】让学生在 课后进行练习巩固，对新学习的知识进行进一步的巩固. 四、师生互 动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表 进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第 5 页“习题 1.1”中第 3 、4 题 . 2. 完成同步练习册中本课时的练习 . 本节从学生感兴趣的问题入 手，意在让学生经历一个实际背景

8、，激发了学生自主探究数学问题、 体验发现问题的乐趣.学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程 组，初步体会用二元一次方程组来刻画实际问题中的数量关系 . 在本 节课的学习中让学生学会自主学习、观察猜想、合作交流、抽象概括、 总结归纳等 . 使学生从学会转变为会学 .本节课，学生不是停留在学会 课本知识的层面上，而是与老师一起站在探究者的角度深入其境，体 验探究的氛围与真谛 . 1.2 二元一次方程组的解法 1.2.1 代入消元法 【知识与技能】 会用代入消元法解简单的二元一次方程组. 【过程与 方法】 经历探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元 法的基本思想所体现的化归思想方法.

9、【情感态度】 通过提供适当的 情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透 类比、化归的意识 . 【教学重点】 用代入消元法解二元一次方程组 . 【教学难点】 探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元” 思想. 一、情境导入，初步认识 在上节课中，我们列出了二元一次方 程组，并知道是这个方程组的一个解，这个解是这样得到的呢？ 【教 学说明】通过建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义 的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的最近“发展区”，愉 悦地接受教学活动. 二、思考探究，获取新知 探究：解二元一次方程

10、组 1.对于方程组方程、中的 x 都表示 1 月份的天然气费，y 都表 示 1 月份的水费，由此方程中的 x、y 分别与方程中的 x、y 的值 相同. 由式可得，x=y+20 . 于是可以把代入式，得 （y+20 ）+y=60 解方程，得 y=20， 把 y 的值代入式，得 x=40， 因 此原方程组的解是 2.解方程 解：把代入，得 2y-(3y-1)=7 解得 y= -6 把 y= -6 代入中，得 x= -19. 所以原方程组的解为 【归纳 结论】 解二元一次方程组的基本想法是：消去一个未知数（简称为 消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程. 在上面的 例子中，消去一个未知

11、数的方法是：把其中一个方程的某一个未知数 用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中， 便得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简 称代入法. 3.解方程组 观察分析此方程组与 2 中的方程组在形式上的 差别 . 易知 2 的方程组中直接将一个方程移项后代入另外一个方程 , 而此方程组中两个方程未知数的系数都不是 1,不能直接代入， 这时 怎么办呢? 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另 一个未知数?显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是 某个方程两边同除以某个未知数的系数 , 使这个未知数的系数化 1, 化成例 1 的形式；

12、另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边 , 其他各 项移到另一边 ,再把这个未知数的系数化 1, 从而达到“用一个未知数 来表示另一个未知数 ”的目的 . 显然第二种方法更为直接 , 因而考虑 方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见比较简单, 所以将方程中的 x 用 y 来表示 . 解：由, 得 x=4+y， 将代 入, 得 3(4+y)-8y-10=0, y=-0.8 . 将 y=-0.8 代入, 得 x=1.2. 所 以方程组的解是 x=1.2，y=-0.8. 【教学说明】这里是先消去 x ,得到 关于 y 的一元一次方程 ,可不可以先消去 y 呢?(让学生试一试,

13、 并比 较两种解法的优劣. 易知先消去 x 使变形后的方程比较简单和代入后 化简比较容易.) 由上面的解题过程，你能总结出用代入法解二元一次 方程组的步骤吗？ 【归纳结论】 代入法解二元一次方程组的步骤：(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一未知 数的代数式表示 (2)把这个代数式代替另一个方程中相应的未知数， 得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值 (3)把这个未知数的值代入代数式，求另一未知数的值 . (4)写出方程组的解 . 三、运用新 知，深化理解 1. 见教材 P7 例 2. 2.方程-x+4y=-15 用含 y 的代数式表 示 x 是（ C ） A-x=4y-1

14、5 Bx=-15+4y Cx=4y+15 Dx=-4y+15 3.将 y=-2x-4 代入 3x-y=5 可得（ B ） A3x-2x+4=5 B3x+2x+4=5 C3x+2x-4=5 D3x-2x-4=5 4.见教材 P7 例 1. 5.用代入法解方程组 有以下过程：（1）由得 x= ；（2）把代入得 3-5y=5；（3）去分母得 24-9y-10y=5；（4）解之得 y=1，再由得 x=2.5.其中错误的一步是（ C ） A（1） B（2） C（3） D（4） 6.把下列方程写成用含 x 的代数式表示 y 的形式: (1) 3x+4y1=0；(2)5x 2y+9=0 分析:即将方程作适当

15、的变形, 把含有 y 的项放在 方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把 y 的系数化 1. 【教学说 明】通过不同题型考察代入法解方程组，从而加强对所学知识点的巩 固提高，加深对所学知识的理解与应用. 四、师生互动，课堂小结 先 小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结 . 教师作以 补充. 1. 布置作业:教材第 12 页“习题 1.2”中第 1 题. 2. 完成同步练习册 中本课时的练习 . 本课按照 “ 数学问题引入 寻求一元一次方程的 解法 探索二元一次方程组的代入消元法 典型例题 归纳 代入法 ”的一般步骤的思路进行设计在教学过程中，充分调动学生 的主观能动性和发挥教

16、师的主导作用，坚持启发式教学教师创设有 趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，将发现知识的过程 融于有趣的活动中重视知识的发生过程将设未知数列一元一次方 程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的 代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新 知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要 的. 1.2.2 加减消元法 第 1 课时 加减消元法 【知识与技能】 1.会阐 述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过 “加减”达到“消元” 的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；2.会用加减法解简单的二元一次方程组 【过程与方法】

17、 在探 究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验. 【情感态 度】 培养学生观察、归纳、类比、联想以及分析问题、解决问题的能 力. 【教学重点】 学会用加减法解简单的二元一次方程组. 【教学难 点】 准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组. 一、情境 导入，初步认识 1.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 2.用代入 法解方程组的关键是什么？ 3.你会解下面这个方程组吗？ 3x+5y=5， 3x-4y=23. 【教学说明】由问题导入新课，既复习了旧知识，又 引出了新课题，最后设置悬念，既增强了学生的学习兴趣，又激发了 学生的学习热情，对学生探究新知起到很好的推动作用，让学生发

18、表 自己的见解，又培养了学生的数学语言表达的能力，发挥了学生学习 的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上. 二、思考探究，获取 新知 1. 解方程组 我们可以用代入法来解这个方程组 . 你还有没有更 简单的解法呢？ 我们知道解二元一次方程组的关键是消去一个未知 数，使方程组转化为一元一次方程. 分析方程、，可以发现未知 数 x 的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消 去其中一个未知数 x，得到一个一元一次方程. 即-，得 2x+3y- (2x-3y)=-1-5， 解得 6y=-6，y=-1. 把 y=-1 代入中，得 2x+3(- 1)=-1 解得 x=1， 因此原方程组的

19、解是 解上述方程组时，在消元的 过程中，如果把方程与方程相加，可以消去一个未知数吗？试着 做一做. 2.解二元一次方程组 看一看：y 的系数有什么特点？ 想一想： 先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？ 解： + ，得 7x+3y+2x-3y=1+8 解得 x=1. 把 x=1 代入 式，得 71+3y=1， 解得 y=-2. 因此原方程组的解是 x=1，y=2. 【归纳 结论】 将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化 为一元一次方程来解这种解法叫做加减消元法，简称加减法 3.讨 论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法？什么条 件下用减法？ 【教学说

20、明】这个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性，不仅强化了学生对概 念的理解，又培养了学生勤于动脑，勤于探究的好习惯，还可为之后 灵活运用加减法解二元一次方程组打下良好的基础. 【归纳结论】 当 方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加， 当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而 达到消元的目的 4.用加减法解二元一次方程组：问题：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系 数变成一样呢？ 解：3，得 6x+9y=-33， -, 得-14y=42， 解得 y=-3， 把 y=-3 代入式，得 2x+3(-3)=-11

21、， 解得 x=-1. 因 此原方程组的解是 x=-1，y=-3. 如果先消去 y 应如何解？会与上述 的结果一样吗？试着做一做. 【教学说明】通过练习使学生掌握用加 减法解二元一次方程组. 三、运用新知，深化理解 【教学说明】通过 这一系列有层次、有梯度、形式多样的练习，使学生可以灵活熟练地 选择准确的加减法完成二元一次方程组的求解，并能在解答的过程中 摸索运算技巧，培养计算能力和观察问题、分析问题与解决问题的能 力. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组 为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材第 10 页“练习”. 2.完成同步练习册中本课时的练习 .

22、 用加减法消元的关键是根据方程 组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法 . 虽然消元的 途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异 曲同工”第 2 课时 选择适当方法解二元一次方程组【知识与技能】 会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 【过程与方法】 通过对 具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方 程组，培养学生的观察、分析能力. 【情感态度】 通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法.【教学重点】 会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 【教学难 点】 在解题过程

23、中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思 想 . 一、情境导入 , 初步认识 1. 代入法解二元一次方程组的步骤是什么？ 2.加减法解二元一次方程组的步骤是什么？ 3.代入法、加减法 的基本思想是什么？ 4. 我们在解二元一次方程组时，该选取何种方 法呢？ 【教学说明】既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置 悬念，增强了学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知 加减消元法 和代入消元法是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过消去其 中一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解， 只是消元的方法不同 . 我们可以根据方程组的具体情况来灵活选择适 当的消元方法. 1.解

24、二元一次方程组：这两个方程不能直接消去 m 或 n，能不能使两个方程中某个未 知数的系数相反或相等呢？ 解：10，得 2m-5n=20. -，得 3n-(-5n)=4-20. 解得 n=-2. 把 n=-2 代入中，得 2m+3(-2)=4， 解得 m=5. 因此原方程组的解是 m=5，n=-2. 2.解二元一次方程组：解：4，得 12x+16y=32， 3, 得 12x+9y=-3， -, 得 16y-9y=32-(-3)，解得 y=5. 把 y=5 代入式中，得 3x+45=8， 解得 x=-4. 因此原方程组的解是 x=-4，y=5. 3.分别用代入法、加减 法解二元一次方程组 解：代入

25、法：由得 x= , 把代入中，得 5y-7=5, 解得 y=-6. 把 y=- 6 代入中，得 x=-5. 所以原方程组的解为：x=-5,y=-6. 加减法: 5 得 10x-15y=40, 3 得：15y-21x=15, +得-11x=55. 解得：x=-5.把 x=-5 代入中， 得 y=-6. 所以原方程组的解为：x=-5,y=-6. 观察上面的解题过程，回答下列问题： 代入法和加减法有什么共同点？ 什么样的方程组用代入法 简单？什么样的方程组用加减法简单？ 【归纳结论】 关于二元一 次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.通过比较，我们发现 其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化

26、“二元”为“一元”； 只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单. 【教学说明】 通过学生自学、对比、讨论以及互帮互助.既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中学会根据方程组的具体情况选 择适合的消元法. 三、运用新知，深化理解 1.见教材 P12 例 7. 【教 学说明】 通过练习，使学生熟练地用代入法、加减法解二元一次方 程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力. 四、师生互动，课堂小 结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教 师作以补充. 1.布置作业:教材第 12 页“习题 1.2”中第 2

27、、3、7 题. 2.完 成同步练习册中本课时的练习 . 本节课是让学生学会根据方程组的 具体情况选择适合的消元法 . 在学习二元一次方程组的解法中，关键 是领会其本质思想 消元，体会 “化未知为已知”的化归思想 . 因而 在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并 通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分 析并总结出在解二元一次方程组时，根据方程组的特点选择恰当的方 法. 1.3 二元一次方程组的应用 第 1 课时 用二元一次方程组解决较 为简单的实际问题 【知识与技能】 1.通过实际问题使学生感受二元 一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些

28、实际问题 的一种有效的数学模型，增强应用意识；2.能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结 果是否符合实际意义. 【过程与方法】 教师引导学生的自主探索，体 会把实际问题转化到数学方程问题的数学思想方法，加强知识的综合 运用，培养学生分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 使学生体 验数学活动充满探索与创造，体会到经济社会中数学的应用价值，提 高学生探索的精神与能力. 【教学重点】 把应用问题转化为数学问题 的过程，即对实际问题的数学模型的建立. 【教学难点】 在实践探索 中寻找解题方案. 一、情景导入，初步认知 “今有鸡兔同笼，上有三 十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”

29、你知道这四句话的意思吗？ 你能应用所学知识解决这个问题吗？ 分析：本题涉及的等量关系有：鸡头数+兔头数= 鸡的腿数+兔子的腿数= 解：设鸡有 x 只，兔 子有 y 只，根据等量关系，得 答：笼中有 23 只鸡，12 只兔. 【教学 说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣 . 二、思考探究，获取新知 1. 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练，某 次训练中，他骑自行车的平均速度为 10 米每秒，跑步的平均速度为 103 米每秒，自行车路段和长跑路程共 5 千米，共用时 15 分钟，求 自行车路段和长跑路段的长度. 分析：本题涉及的等量关系有：自行车路段长度+长跑路段长度=总路程. 骑自行车的