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1、2022年高考数学压轴卷理(III)一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 设集合，集合，则 = （ ）A B C D3.设是两个不同的平面，直线，则“”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ).A B C D5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生， 将他们的模块测试成绩分成6组：40，50)，50，60)，60，70)，
2、70，80)，80，90)，90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A588 B480 C450 D1206.按照如图的程序运行，已知输入的值为， 则输出的值为( )A. 7 B. 11 C. 12 D. 247.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若成等比数列，则（ ）A B C D8.一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（ ）A BC D9.设函数是（）的
3、导函数，且，则的解集是( )A. B. C. D. 10. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置11. 已知向量，满足，则 .12. 二项式展开式中的常数项为 .13. 若x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为 14.已知点在单位圆上运动，点到直线与的距离分别记为、，则最小值为_15.现定义一种运算“”；对任意实数，设，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则实数的取值范围是_三、解答题：本大
4、题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内16.（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.17. （本小题满分12分） 在三棱柱中，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足：，数列的前项和满足：，.（）求与；（）比较与的大小，并说明理由.19. （本小题满分12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1
5、小时的部分按 1小时计算）有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望20. （本小题满分13分） 已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由21. （本小题满分14分）已知函数是自然对数的底数
6、，（1）当时，讨论函数的单调性并求的最小值；（2）求证:在(1)的条件下，；（3）是否存在实数,使的最小值是，如果存在,求出的值；若不存在,请说明理由.1.【答案】D【解析】由题意得，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.2.【答案】A【解析】由已知，所以故选A3.【答案】C【解析】一条直线垂直于两个不同的平面，则这两个平面平行；反之也成立（面面平行的判定与性质）。故选C.考点：充分条件和必要条件.4. 【答案】B【解析】由三视图可知几何体为圆锥和半球的组合体.半球的半径为1，圆锥的高为为，故圆锥的母线长为，故几何体的表面积.5.【答案】B【解析】根据频率分布直方图，成绩不少于分的
7、频率，然后根据频数=频率总数，可求出所求.根据频率分布直方图，成绩不少于分的学生的频率为.由于该校高一年级共有学生人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不少于分的人数为.故选B.6.【答案】D【解析】由程序框图，因此值变为，此时计算故选D7.【答案】C【解析】因为是公差为的等差数列，为的前项和，成等比数列，所以，解得，所以，故选C.8.【答案】B【解析】设h（t）=Acost+B，12min旋转一周，=12，=由于最大值与最小值分别为18，2，解得A=8，B=10h（t）=8cost+10故选：B9. 【答案】D【解析】根据，导函数于原函数之间没有用变量x联系，可知函数与有
8、关，可构造函数为，即，解得，故选D10.【答案】C.【解析】如下图所示，过作准线的垂线，垂足是，由对称性，不妨令在第一象限，问题等价于求的最小值，而，当且仅当时等号成立，此时，故选C11.【答案】【解析】由，即，即，所以.12.【答案】20【解析】中的通项为，若为常数项，则，.13.【答案】-4【解析】由题意作平面区域如下，目标函数z=2x+y可化为y=2x+z，故结合图象可知，当过点B（3，2）时，z有最小值为23+2=4；故答案为414.【答案】【解析】设，则，而，所以，所以最小值为，故答案应填.15.【答案】【解析】由题意得出函数，作出函数的图象如图所示，若函数的图象与轴恰有二个公共点，
9、则方程即恰有二个不同实根，则或或，所以的取值范围是，故答案应填.16.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），.又是三角形的内角，.（2），又，,.17.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）设为的中点，连结，为的中点，为的中点，又为的中点，又为的中点，为的中点，又，四边形为平行四边形，又，又平面，平面，平面；（2）建立如图所示的坐标系，分别为，的中点，设平面的法向量为，不妨令，则，同理可得平面的一个法向量为，二面角的余弦值为. 18.【答案】（），；（）当时，；当时，理由见解析.【解析】（）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得：解得，所以，对数列，由已知有，即，所以，（*）又由已知
10、，可得，两式相减得，即，整理得结合（*）得（常数），,所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（），所以于是显然当时，即，当时，即，所以当时，；当时，.19.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望是【解析】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为（2）设甲、乙两个所付的费用之和为，可能取得值为0，2，4，6，8，分布列所以20.【答案】（1）；（2）存在一个定点满足条件【解析】（1）则由题设可求得 又，则，所以椭圆的方程是 （2）解法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，
11、将它代入椭圆方程，并整理得 设点的坐标分别为，则，因为及，所以 当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点 所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点 当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件分解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为， 由，解得，由此可知所求点如果 存在，只能是 事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程并整理得 设点的坐标为，则，因为，所以有，所以，即以为直径的圆恒定过点 综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件21.【答案】（1）函数在上是减函数，在上是增函数，最小值为；（2）证明见解析；（3）存在，.【解析】(1)则函数在上是减函数，在上是增函数的最小值为 (2)证明：上的最小值为1，(3)假设存在实数a，使上有最小值3，若，上的增函数（舍去）若由、知，存在实数有最小值3
2022年高考数学压轴卷理(III)
