导数公式的证明(最全版)

《导数公式的证明(最全版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数公式的证明(最全版)（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、导数的定义：f(x)=limAy/Axxf0(下面就不再标明AxfO了)用定义求导数公式(1) f(x)=xAn证法一：(n为自然数)f(x)=lim(x+Ax)An-xAn/Ax=lim(x+Ax-x)(x+Ax)A(n-1)+x*(x+Ax)A(n-2)+.+xA(n-2)*(x+Ax)+xA(n-1)/Ax=lim(x+Ax)A(n-1)+x*(x+Ax)A(n-2)+.+xA(n-2)*(x+Ax)+xA(n-1)=xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+.xA(n-2)*x+xA(n-1)=nxA(n-1)证法二：(n为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nl

2、nx(lnf(x)=(nlnx)f(x)/f(x)=n/xf(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*xAnf(x)二nx人(n-1)(2) f(x)=sinxf(x)=lim(sin(x+Ax)-sinx)/Ax=lim(sinxcosAx+cosxsinAx-sinx)/Ax=lim(sinx+cosxsinAx-sinx)/Ax=limcosxsinAx/Ax=cosx(3) f(x)=cosxf(x)=lim(cos(x+Ax)-cosx)/Ax=lim(cosxcosAx-sinxsinAx-cosx)/Ax=lim(cosx-sinxsinAx-cos)/Ax=lim-sinxsi

3、nAx/Ax=-sinx(4) f(x)=aAx证法一：f(x)=lim(aA(x+Ax)-aAx)/Ax=limaAx*(aAAx-1)/Ax(设aAAx-1=m，则Ax=logaA(m+1)=limaAx*m/logaA(m+1)=limaAx*m/ln(m+1)/lna=limaAx*lna*m/ln(m+1)=limaAx*lna/(1/m)*ln(m+1)=limaAx*lna/ln(m+1)A(1/m)=limaAx*lna/lne=aAx*lna证法二：f(x)=aAxlnf(x)=xlnalnf(x)=xlnaf(x)/f(x)=lnaf(x)=f(x)lnaf(x)=aAxl

4、na若a=e,原函数f(x)=eAx则f(x)二eAx*lne二eAx(5) f(x)=logaAxf(x)=lim(logaA(x+Ax)-logaAx)/Ax=limlogaA(x+Ax)/x/Ax=limlogaA(1+Ax/x)/Ax=limln(1+Ax/x)/(lna*Ax)=limx*ln(1+Ax/x)/(x*lna*Ax)=lim(x/Ax)*ln(1+Ax/x)/(x*lna)=limln(1+Ax/x)A(x/Ax)/(x*lna)=limlne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge人x=lnx则f(x)=1/(x*lne)=1/x(6)

5、f(x)=tanxf(x)=lim(tan(x+Ax)-tanx)/Ax=lim(sin(x+Ax)/cos(x+Ax)-sinx/cosx)/Ax=lim(sin(x+Ax)cosx-sinxcos(x+Ax)/(Axcosxcos(x+Ax)=lim(sinxcosAxcosx+sinAxcosxcosx-sinxcosxcosAx+sinxsinxsinAx)/(Axcosxcos(x+Ax)=limsinAx/(Axcosxcos(x+Ax)=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2(7) f(x)=cotxf(x)=lim(cot(x+Ax)-

6、cotx)/Ax=lim(cos(x+Ax)/sin(x+Ax)-cosx/sinx)/Ax=lim(cos(x+Ax)sinx-cosxsin(x+Ax)/(Axsinxsin(x+Ax)=lim(cosxcosAxsinx-sinxsinxsinAx-cosxsinxcosAx-cosxsinAxcosx)/(Axsinxsin(x+Ax)=lim-sinAx/(Axsinxsin(x+Ax)=-1/(sinx)A2=-cscx/sinx=-(secx)A2=-1-(cotx)A2(8) f(x)=secxf(x)=lim(sec(x+Ax)-secx)/Ax=lim(1/cos(x+Ax

7、)-1/cosx)/Ax=lim(cosx-cos(x+Ax)/(AxcosxcosAx)=lim(cosx-cosxcosAx+sinxsinAx)/(Axcosxcos(x+Ax)=limsinxsinAx/(Axcosxcos(x+Ax)=sinx/(cosx)A2=tanx*secx(9) f(x)=cscxf(x)=lim(csc(x+Ax)-cscx)/Ax=lim(1/sin(x+Ax)-1/sinx)/Ax=lim(sinx-sin(x+Ax)/(Axsinxsin(x+Ax)=lim(sinx-sinxcosAx-sinAxcosx)/(Axsinxsin(x+Ax)=lim

8、-sinAxcosx/(Axsinxsin(x+Ax)=-cosx/(sinx)A2=-cotx*cscx(10) f(x)=xAxlnf(x)=xlnx(lnf(x)=(xlnx)f(x)/f(x)=lnx+1f(x)=(lnx+1)*f(x)f(x)=(lnx+1)*xAx(12) h(x)=f(x)g(x)h(x)=lim(f(x+x)g(x+x)-f(x)g(x)/Ax=lim(f(x+Ax)-f(x)+f(x)*g(x+Ax)+(g(x+Ax)-g(x)-g(x+Ax)*f(x)/Ax=lim(f(x+x)-f(x)*g(x+x)+(g(x+Ax)-g(x)*f(x)+f(x)*g(

9、x+Ax)-f(x)*g(x+Ax)/Ax=lim(f(x+Ax)-f(x)*g(x+Ax)/Ax+(g(x+Ax)-g(x)*f(x)/Ax=f(x)g(x)+f(x)g(x)(13) h(x)=f(x)/g(x)h(x)=lim(f(x+x)/g(x+Ax)-f(x)g(x)/Ax=lim(f(x+x)g(x)-f(x)g(x+Ax)/(Axg(x)g(x+Ax)=lim(f(x+Ax)-f(x)+f(x)*g(x)-(g(x+Ax)-g(x)+g(x)*f(x)/(Axg(x)g(x+Ax)=lim(f(x+Ax)-f(x)*g(x)-(g(x+Ax)-g(x)*f(x)+f(x)g(x

10、)-f(x)g(x)/(Axg(x)g(x+Ax)=lim(f(x+Ax)-f(x)*g(x)/(Axg(x)g(x+Ax)-(g(x+Ax)-g(x)*f(x)/(Axg(x)g(x+Ax)=f(x)g(x)/(g(x)*g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)x(14) h(x)=f(g(x)h(x)=limf(g(x+Ax)-f(g(x)/Ax=limf(g(x+Ax)-g(x)+g(x)-f(g(x)/Ax(另g(x)=u,g(x+Ax)-g(x)=Au)=lim(f(u+Au)-f(u)/Ax=lim(f(u+Au)-

11、f(u)*Au/(Ax*Au)=limf(u)*Au/Ax=limf(u)*(g(x+Ax)-g(x)/Ax=f(u)*g(x)=f(g(x)g(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称,所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)(15) y=f(x)=arcsinx贝Vsiny=x(siny)=cosy所以(arcsinx)=1/(siny)=1/cosy=1/V1-(siny)A2(siny=x)=1/V1-xA2即f(x)=1/V1-xA2(16) y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)=1+(tany)A2=1+xA2所以(a

12、rctanx)=1/1+x人2即f(x)=1/1+xA2总结一下(xAn)=nxA(n-1)(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(aAx)=aAxlna(eAx)=eAx(logaAx)=1/(xlna)(lnx)=1/x(tanx)=(secx)A2=1+(tanx)A2(cotx)=-(cscx)A2=-1-(cotx)A2(secx)=tanx*secx(cscx)=-cotx*cscx(xAx)=(lnx+1)*xAx(arcsinx)=1/V1-xA2(arctanx)=1/1+xA2f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)/g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)f(g(x)=f(g(x)g(x)