六年级奥数专题03：定义新运算

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1、六年级奥数专题03：定义新运算 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定ab =,则2(53)之值为 .2.规定“”为一种运算,对任意两数a,b,有ab,若6x,则x= .3.设a,b,c,d是自然数,定义.则 3, 4, 1, 2 . 4.A表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成4=3.计算:= . 5.规定新运算:ab=3a-2b.若x(41)=7,则x= . 6.两个整数a和b,a除以b的余数记为ab.例如,135=3,513=5,124=0.根据这样定义的运算,(269) 4= .7.对于数a,b,c,d规定.如果,那么x= .8.规定:62=6+66=7

2、2,23=2+22+222=246, 14=1+11+111+1111=1234.75= . 9.规定:符号“”为选择两数中较大数,“”为选择两数中较小数.例如:35=5,35=3.那么,(73)55(37)= . 10.假设式子表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算,则计算结束时,a与b的和是 .二、解答题 11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算如下: (a,b)(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算如下: (a,b)(c,d)= (ac+bd,ad+

3、bc).试计算(1,2) (3,6)(5,4)(1,3). 12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号表示羊羊=羊;羊狼=狼;狼羊=狼;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了. 小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号表示为羊羊=羊;羊狼=羊;狼羊=羊;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了. 对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果: 羊(狼羊

4、)羊(狼狼). 13.表示成; 表示成. 试求下列的值: (1) ; (2); (3); (4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:. 14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为ab,比如52=1,725=4,68=2.(1)求1991xx,(519)19,(195)5;(2)已知11x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x.答 案1. .53=,2(53)=2.2. 8.依题意,6,因此,所以x=8.3. 280.原式.4. 5.因为有个约数,所以18=6,同样可知22=4,7=2.原式.5. 9.因为41=,所以x(41)=

5、 x10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.6. 0.,269=8,又,故(269)4=84=0.7. 6.因为,所以,故.8. 86415.75=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=3557=55=25.10. 14. 第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.11. (1,2)(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式=(4,8)(6,7)=(46+87,47+86)=(80,76).12. 原式=羊羊羊狼=羊羊狼=羊狼=狼.13. (1); (2); (3)

6、因为,所以; (4)令则. .14. (1)1991xx=9; 由519=4,得(519)19=419=3; 由195=4,得(195)5=45=1. (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解. 用y表示19x,不管19作除数还是被除数,19x都比19小,所以y应小于19. 方程y19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,

7、所以y=7,14. 当y=7时,分两种情况解19x=7. 1)x19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x50,所以x=19+7=26或=45. 当y=14时,分两种情况解19x=14. 1) x19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x50,所以x=19+14=33. 总之,方程(19x)19=5有四个解,x=12,26,33,45.三、定义新运算（二） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定:ab=(b+a)b,那么(23)5= .2.如果ab表示,例如34,那么,当a5=30时, a= .3.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小

8、公倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812= . 4.已知a,b是任意有理数,我们规定: ab= a+b-1,那么 .5.x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么+的值是 . 6.如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x= . 7.如果14=1234,23=234,72=78,那么45= .8.我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号表示选择两数中较小数的运算,例如:53=35=3.请计算: . 9.规定一种新运算“”: ab=.如果(

9、x3)4=421200,那么x= .10.对于任意有理数x, y,定义一种运算“”，规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 .二、解答题11.设a,b为自然数,定义ab. (1)计算(43)+(85)的值;(2)计算(23)4;(3)计算(25)(34).12.设a,b为自然数,定义ab如下:如果ab,定义ab=a-b,如果ab,则定义ab= b- a.(1)计算:(34)9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc). 13.设a,b是两个非零

10、的数,定义ab.(1)计算(23)4与2(34). (2)如果已知a是一个自然数,且a3=2,试求出a的值. 14.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则1014=70-2=68.(1)求1221,515;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除ab;如果c整除a和ab,则c也整除b;(3)已知6x=27,求x的值.答 案1. 100.因为23=(3+2)3=15,所以(23)5=155=(5+15)5=100.2. 8.依题意,得,解得.3. 42.1812=(18,12)+18,12=6+36

11、=42.4. 98. 原式 5. 11.为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,所以原式=+=11.6. 6.x5-5x=(3 x-25)-(35-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.7. 45678.8. .因为,0.625,所以,原式.9. 2.令x3=y,则y4=421200,又421200,所以y=24,即x3=24.又24=,故x=2.10. 4. 由题设的等式xy=及xm=x(m0),得 , 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得 解得a=5,c=1. 所

12、以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.11. (1)原式; (2)原式4=74=; (3)原式13 .12. (1)原式=(4-3)9=19=9-1=8; (2)因为表示ab表示较大数与较小数的差,显然ab= ba成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(34)9=8,而3(49)=3(9-4)=35=5-3=2.13. (1)按照定义有23,34. 于是(23)44=. 2(34)=2. (2)由已知得 若a6,则2,从而与矛盾.因此a5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入式中检查知,只有a=3符合要求.14. (1)为求1221,先求

13、出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此1221=84-3=81,同样道理515=15-5=10. (2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除ab. 如果c整除a和ab,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除ab推知, c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b. (3)由于运算“”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有3

14、0是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3. 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到. 所以.附送：2019年六年级奥数专题05：分数应用题 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.有一个分数,它的分母比分子多4.如果把分子、分母都加上9,得到的分数约分后是,这个分数是 . 2.甲、乙两数是自然数,如果甲数的恰好是乙数的.那么甲、乙两数之和的最小值是 .3.商店的书包降价后,又提价,最后的价格是8元1角一个,那么最初是 元钱一个. 4.小萍今年的年龄是妈妈的,二年前母子年龄相差24岁,四年后小萍的年龄是 .5.甲、乙、丙三人共同加工一批

15、零件.甲比乙多加工零件20个,丙加工零件是乙加工零件的,甲加工零件是乙丙两人加工零件总数的.甲、乙、丙各加工零件 个. 6.六一班男生的一半和女生的共16人,女生的一半和男生的共14人,这个班男、女生各 人.7.在4点多钟时,时钟的时针和分针在一直线上且方向相反,这时是4点 分. 8.甲、乙两人各有钱若干元,已知甲的钱数是乙的4倍,当甲花去后,又花去余下的,如果这时甲给乙7元钱,甲、乙两人的钱数正好相等.甲原来有 _元钱.CAB 水9.A、B、C三根木棒插在水池中,(如图)三根捧长度和是360厘米,A棒有露出水面外,B棒有露出水面外.C棒有露出水面外.水池有 厘米深. 10.一只猴子摘了一堆桃

16、子: 第一天吃了这堆桃子的七分之一; 第二天它吃了余下桃子的六分之一; 第三天它吃了余下桃子的五分之一; 第四天它吃了余下桃子的四分之一; 第五天它吃了余下桃子的三分之一; 第六天它吃了余下桃子的二分之一. 这时还剩下12只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是 只.二、解答题 11.小辉乘飞机参加世界少年奥林匹克数学金杯赛.机窗外是一片如画的蔚蓝大海.她看到云海占整个画面的,并遮住一个海岛的,露出的海岛占整个画面的.求:被遮住的海面占应看见整个海面的几分之几? 12.学校早晨6:00开校门,晚上6:40关校门.下午有一同学问老师现在的时间.老师说“从开校门到现在时间的,加上现在到关校门

17、时间的,就是现在的时间”.那么现在的时间是几点几分? 13.有一根1米长的木条,第一次去掉它的;第二次去掉余下木条的;第三次去掉第二次余下木条的,等等;这样一直下去,最后一次去掉上次余下木条的,问:这根木条最后还剩下多长?14.甲从A地到B地需要5小时,乙从B地到A地,速度是甲的.现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,相向而行.在途中相遇后继续前进.甲到B地后立即返回,乙到A地后也立即返回,他们在途中又一次相遇.如果两次相遇点相距72千米,A、B两地相距多少千米?答 案1. 后来的分母为,故原来分母为18-9=9, 原来分子为9-4=5,原分数为.2. 甲数是乙数的,甲乙两数之和是乙数的,要

18、使甲乙两数之和最小,乙只能是10,从而甲数是3,和为13.3. (元).4. 16(岁).5. 乙加工的零件数(个);丙加工的零件数为(个);甲加工的零件数为(个).6. 这个班男女人数之和为(人),其中男生有(人),女生有40-24=16(人).7. (分).8. (元).9. 将池深看作单位1, A棒有=4(份); B棒有(份); C棒有(份).故池(厘米).10. (个).11. .12. 设现在时间是下午x点钟,则有 解得x=4. 即现在时间是下午4点正.13. (米).14. 将A、B两地的距离看作单位“1”,则甲每小时行,乙每小时行, 第一次相遇时间是(小时).此时甲行了全程的,

19、乙行了全程的. 从第一次相遇到第二次相遇,两人合走了两个全程,甲走了全程的,这个地方离甲的出发点是全程的,故两次相遇点之间距离是全程的,全程的距离是(千米).五、分数应用题（2） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.足球赛门票15元一张,降价后观众增加了一半,收入增加了五分之一,一张门票降价是 元. 2.把一根绳子分别等分折成5股和6股,如果折成5股比6股长20厘米,那么这根绳子的长度是 厘米.3.张、王、李三人共有54元,张用了自己钱数的,王用了自己钱数的,李用了自己钱数的,各买了一支相同的钢笔,那么张和李两人剩下的钱共有 元. 4.某工厂的27位师傅共带徒弟40名,每位师傅可以带一名徒弟

20、、两名徒弟或三名徒弟.如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍,那么带两名徒弟的师傅有 位. 5.李明到商店买一盒花球,一盒白球,两盒球的数量相等.花球原价是1元钱2个,白球原价是1元钱3个.节日降价,两种球的售价都是2元钱5个,结果李明少花了4元钱,那么他共买了 个球. 6.把100个人分成四队,一队人数是二队人数的倍,一队人数是三队人数的倍,那么四队有 人. 7.有一篓苹果,甲取一半少一个,乙取余下的一半多一个,丙又取余下的一半,结果还剩下一个,如果每个苹果1元9角8分,那儿这篓苹果共值 元. 8.小刚有若干本书,小华借走一半加一本,剩下的书小明借走一半加两本,再剩下的书小峰借走一半

21、加三本,最后小刚还剩下两本书,那么小刚原有 本书. 9.一条绳子第一次剪掉1米,第二次剪掉剩余部分的,第三次剪掉1米,第四次剪掉剩余部分的,第五次剪掉1米,第六次剪掉剩余部分的,这条绳子还剩下1米.这条绳子原长 米. 10.某班学生参加一次考试,成绩分优、良、及格、不及格四等.已知该班有的学生得优,有的学生得良,有的学生得及格.如果该班学生人数不超过60人,则该班不及格的学生有 人.二、解答题 11.有梨和苹果若干个,梨的个数是全体的少17个,苹果的个数是全体的少31个,那么梨和苹果的个数共多少? 12.某中学初中共780人,该校去数学奥校学习的学生中,恰好有是初一的学生,有是初二的学生,那么

22、该校初中学生中,没进奥校学习的有多少人? 13.小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条的一半是上坡路,一半是下坡路,小明上学两条路所用时间一样,已知下坡的速度是平路的倍,那么上坡路的速度是平路的多少倍? 14.在编号为1, 2, 3的三个相同的杯子里,分别盛着半杯液体.1号杯中溶有100克糖,2号杯中是水.3号杯中溶有100克盐.先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的倒入2号杯,然后搅匀.再从2号杯倒出所盛液体的到1号杯.按着倒出所余液体的到3号杯.问:这时每个杯中含盐量与含糖量之比是多少?答 案1. (元).2. (厘米).3. 王的钱数是张的,李的钱数是张的,故张原有(元),李

23、原有(元), 张与李共剩下(元).4. 带一名徒弟的师傅人数是(位);于是带二名或三名徒弟的师傅人数是27-18=9(位),他们共带了40-18=22(名)徒弟. 假设这9位师傅都带了三名徒弟,就少了(位)徒弟,这说明5位师傅没有带三名徒弟,而是带两名徒弟.5. (个).6. 第二队人数是第一队人数的; 第三队人数是第一队人数的,三队人数和是第一队人数的.由于四队人数和为100人,第一队人数只能是20.故第四队有(人).7. (元).8. 小峰未借前有书(本),小明未借之前有(本),小刚原有书(本).9. 第六次剪前绳长(米); 第四次剪前绳长=15(米),第二次剪前绳长(米),绳子原长32+1=33米.10. 不及格人数占,因该班学生人数不超过60人. 故不及格人数是(人).11. (个).12. 该校去数学奥校的学生数只能是17和23的公倍数,即应是的倍数,又学生去奥校人数应小于780. 故只能是391人,于是没有去奥校的有780-391=389(人).13. .14. 最后在1号杯中,含糖(克); 含盐(克),含盐、糖之比为; 在2号杯中,含糖(克); 含盐(克), 含盐、糖之比为; 在3号杯中,含糖(克); 含盐(克), 含盐、糖之比为.