《专题04 三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题04 三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题(解析版)（22页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、专题04 三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题1【2019年全国联赛】对任意闭区间I，用表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足，则a的值为 .【答案】或【解析】由图像分析得或.2【2017年全国联赛】已知x、y满足.则的取值范围是_。【答案】【解析】由于.由,知因此,当时, 有最小值-1,此吋,y可以取;当时, 有最大值此时，y可以取由的值域为,知的取值范围是。故答案为：3【2016年全国联赛】设函数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为_.【答案】16【解析】由条件知，当且仅当时，取到最大值.根据条件，知任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.反之，当时，任意一个开
2、区间均包含的一个完整周期，此时，.综上，k的最小值为，其中，表示不超过实数x的最大整数.4【2015年全国联赛】若，则_【答案】2【解析】由有，而，求出（负值舍去），所以。5【2015年全国联赛】设为正实数.若存在，使得，则的取值范围是_.【答案】【解析】由.而，故已知条件等价于：存在整数，使得. 当时，区间的长度不小于，故必存在满足式.当时，注意到，.故只要考虑如下几种情形：（1），此时，且，无解；（2），此时，；（3），此时，.综上，并注意到也满足条件，知.故答案为：6【2013年全国联赛】在中，已知，则_.【答案】11【解析】由.7【2012年全国联赛】设的内角的对边分别为，且满足.则_
3、.【答案】4【解析】解法1 有题设及余弦定理得.故.解法2 如图4，过点，垂足为.则.由题设得.又，联立解得.故.解法3 由射影定理得.又，与上式联立解得.故.8【2012年全国联赛】满足的所有正整数的和是_.【答案】33.【解析】由正弦函数的凸性，知当时，.故，.因此，满足的正整数的所有值分别为10、11、12，其和为33.9【2011年全国联赛】若，则的取值范围为_.【答案】【解析】题设不等式等价于.设，所以，所以上的增函数，所以，.故.由，知的取值范围是.故答案为：10【2010年全国联赛】已知函数的最小值为.则实数的取值范围是_.【答案】【解析】令.于是，原函数化为.由内的最小值为，即
4、.故. 当，时，式总成立；当时，；当时，.从而，.11【2019年全国联赛】在ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin（B-A）与sinC的等差中项，求cosB的值.【答案】【解析】由题意ac=b2，整理即sin B=tan A.对ac=b2利用正弦定理并结合三项的等差数列得.即.于是.即.令，则，解得.12【2012年全国联赛】已知函数，其中，且.(1)若对任意，都有，求的取值范围.(2)若，且存在，使，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）.令.则.由题设知解得的取值范围为.（2）因为，所以，.故.从而，.由题设知.解得.故的取值范围是.
5、1【2018年浙江预赛】已知，得，所以_【答案】【解析】.2【2018年浙江预赛】在ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sinA的最小值为_.【答案】【解析】由,又时取等号.3【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为_.【答案】【解析】由.令，所以.4【2018年山西预赛】计算的值为_.【答案】【解析】记，则，所以，.5【2018年江苏预赛】函数的值域是_.【答案】【解析】，因为，所以.故答案为：6【2018年贵州预赛】如图，在ABD中，点C在AD上，AB=CD=1则AC=_【答案】【解析】在ABD中，（其中AD=x） 在BCD中， 由得，因为x+20，x3=2即故答案为：7
6、【2018年贵州预赛】若边长为6的正ABC的三个顶点到平面的距离分别为1， 2，3，则ABC的重心G到平面的距离为_【答案】【解析】（1）当ABC的三个顶点在平面的同侧时，由公式求得重心G到平面的距离为2（2）当ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面的异侧时，求得重心G到平面的距离分别为0，故答案为：8【2018年贵州预赛】函数的所有零点之和等于_【答案】60【解析】函数 的零点即为方程2(5x)sinx在区间0，10上的解函数y=2sinx的图像与函数的图像在区间0，10上的交点的横坐标因为函数y=2sinx的图像与函数的图像均关于点(5，0)对称，且在区间0，10上共有12个交点（
7、6组对称点)每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60所以函数y=2(5x)sin1(0x10)的所有零点之和等于60故答案为：609【2018年重庆预赛】在ABC中，则_【答案】【解析】因为所以注意到：故故答案为：10【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则_.【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用C表示A与B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。得到关于C的等式；由即可得到最后的值。详解： ;所以 ,同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本
8、题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。11【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则_.【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用C表示A与B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。得到关于C的等式；由即可得到最后的值。详解： ;所以 ,同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。
9、12【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则_.【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用C表示A与B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。得到关于C的等式；由即可得到最后的值。详解： ;所以 ,同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。13【2018年贵州预赛】函数的所有零点之和等于_.【答案】60【解析】函数的零点，即为方程在区间上的解.等价于函数
10、的图象与函数的图象，在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象与函数的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数的所有零点之和等于60.14【2018年广西预赛】设.则_.【答案】【解析】由.15【2018年安徽预赛】函数的最小正周期=_.【答案】【解析】，其中的最小正周期是的最小正周期是.故答案为：16【2018年湖南预赛】函数的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_.【答案】 【解析】作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.故答案为：17【2018年广东预赛】已知ABC的三个角A
11、、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、成等比数列，则_.【答案】【解析】因为A、B、C成等差数列，因此.又因为a、c、成等比数列，所以.由正弦定理，整理得.所以.故，所以.故答案为：18【2018年贵州预赛】如图，在ABD中，点C在AD上，AB=CD=1则AC=_【答案】【解析】在ABD中，（其中AD=x） 在BCD中， 由得，因为x+20，x3=2即故答案为：19【2018年湖北预赛】若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_.【答案】4 【解析】设，则.当时，可得.不等式，即，所以.当时，函数单调递减，可得.故实数的最小值为4.20【2018年湖北预赛】设的重心，若，则的
12、最大值为_.【答案】【解析】设的中点为，因为，故是直角三角形，所以.又因为的重心，所以.由三角形的中线长公式可得，所以.所以，当且仅当时等号成立.故的最大值为.21【2016年四川预赛】在ABC中，A、B、C的对边长分别为a、b、c.命题，且b+c=2a；命题为正三角形.则命题P是命题q的（）条件.A充分必要B充分但不必要C必要但不充分D既不充分又不必要【答案】A【解析】若命题q成立，显然，命题p成立.若命题p成立，则A=60.由余弦定理知.故.从而，ABC为正三角形，即命题q成立.综上，命题p是命题q的充分必要条件.22【2016年辽宁预赛】设A、B、C为抛物线上不同的点，R为ABC外接圆的
13、半径求R的取值范围【答案】【解析】对于任意的a0,取, ,O(0,0).则OAB外接圆的圆心在y轴上,设为C(0,b).由于OA的垂直平分线为.令x=0,得故OAB的外接圆的半径可取遍区间上的所有值.设A、B、C为抛物线上不同的点,R为ABC外接圆的半径,(a,b)为其圆心则.有三个不同的实根.因此,必有四个实根,设其为.整理方程得又.23【2016年甘肃预赛】在非等腰中，的对边分别为a、b、c，且满足.（1）求的大小；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）注意到又因为不是等腰三角形，所以，.则.（2）由正弦定理得.又，故.24【2016年陕西预赛】设均为非零实数，且
14、满足.（）求的值；（）在中，若，求的最大值.【答案】（）；（）.【解析】（）先对已知条件左右两边同除以，得到，再令，即可得到，从而得到的表达式，进而可求出的值；（）由（）可求出的值，从而可得到的值，用表示，代入到中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角函数的有界性可求出最值.试题分析：（）由已知得， 令，则，即 所以，即. 故. （）由（）得，因为， 所以，从而，则. 所以 故当，即时，取得最大值为. 考点：1.三角函数恒等变换；2.二倍角公式的应用；3.二次函数求最值；4.观察能力.【方法点晴】本题主要考查的是三角函数恒等变换,二倍角公式的应用,二次函数求最值，属于难题，此类首先不要被其形式吓倒，注意观察其形式特点，发现要求的值，给出的条件中并未体现，因此需要对等式的左右两边同除以，即可得到的形式，变形之后观察发现，这又是正切的和差公式的形式，因此用换元法将用替换掉，从而可求出的值，总结起来，这类题目考查学生的观察，变形能力，同时对三角函数的恒等变换公式的熟练掌握是解决问题的关键.25【2016年吉林预赛】在中，a、b、c分别为的对边，且.求（1）；（2）的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得 又为ABC的内角，故.（2）将代入.当时，取到最大值.22
专题04 三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题(解析版)
