（江苏专用）2021版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性教师用书文苏教版

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1、（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性教师用书文苏教版3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的

2、最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.【知识拓展】1.在某区间内f(x)0(f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(

3、x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()(6)三次函数在R上必有极大值和极小值.()1.(教材改编)f(x)x36x2的单调递减区间为 .答案(0,4)解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x0，得cos x，又x(0，)，所以x.3.(教材改编)函数y3x39x5的极大值为 .答案11解析y9x29.令y0，得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)y00y极大值极小值从上表

4、可以看出，当x1时，函数y有极大值，3(1)39(1)511.4.(2016苏中八校联考)函数f(x)xln x的单调递减区间为 .答案(0,1)解析函数的定义域是(0，)，f(x)1，令f(x)0，得0x0时，ex1，aex0).令y0，得0x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.(2)因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(

5、x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为(，)；当f(x)0时，解得0x，即函数的单调递减区间为(0，).题型二含参数的函数的单调性例2(2016江苏新海中学月考改编)已知函数f(x)2x3tx23t2x(t0)，求f(x)的单调区间.解f(x)6x23tx3t23(2xt)(xt).令f(x)0，得xt或x.t0，以下分两种情况进行讨论：若t0，则0，得xt；由f(x)0，得x0，则t.由f(x)0，得x；由f(x)0，得tx.当t0时，f(x)的单调递增区间为(，t)，(，)，单调递减区间为(t，).思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类

6、讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增.题型三已知函数单调性求参数例3(2016南通模拟)

7、已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min即可.而G(x)(1)21，所以G(x)min1.所以a1，即a的取值范围为(1，).(2)由h(x)在1,4上单调递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立.所以aG(x)max，而G(x)(1)21，因为x1

8、,4，所以，1，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是，).引申探究1.本题(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围.解由h(x)在1,4上单调递增得，当x1,4时，h(x)0恒成立，即当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，()min1(此时x1)，a1，即a的取值范围是(，1.2.本题(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围.解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)有解，又当x1,4时，()min1，a1，即a的取值范围是(1，).思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x

9、)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.已知函数f(x)exln xaex(aR).(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围.解(1)f(x)exln xexaex(aln x)ex，f(1)(1a)e，由(1a)e1，得a2.(2)由(1)知f(x)(aln x)ex，若

10、f(x)为单调递减函数，则f(x)0在x0时恒成立.即aln x0在x0时恒成立.所以aln x在x0时恒成立.令g(x)ln x(x0)，则g(x)(x0)，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0x0时恒成立，即aln x0在x0时恒成立，所以aln x在x0时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，1.5.用分类讨论思想研究函数的单调性典例(16分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性.思想方法指导含参数的函数的单调性问题一般要分类

11、讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.规范解答解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb.2分由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴，得g(1)12ab0，b2a1.4分(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1；由g(x)1.8分当a0时，令g(x)0，得x1或x，9分若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x

12、)0，得1x；若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.14分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.16分1.(2015课标全国改编)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是 .答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数

13、，在(，0)上为增函数.所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，知使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1).2.已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的 条件.答案充分不必要解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.3.在区间(1,1)内不是增函数的函数是 .yexx；ysin x；yx36x29x2；yx2x1.答案解析yexx，yex10，在区间(1,1)内是增函数；ysin x，ycos x，在区间(1,

14、1)内是增函数；yx36x29x2，y3x212x93(x2)23，在区间(1,1)内是增函数；yx2x1，y2x1，在区间(，1)内y0，在区间(1，)内y0，则2mt22t，又(t22t)max1，2m1，m.6.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x10，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即，所以.7.(2016苏州模拟)若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1,3)，则bc .答案12解析f(x)3x22bxc，由题意知1x3是不等式3x22bxcf(c)f(d)f(b)f(a)f(e)f(c)f(b)f(a)f(c)f(e)f(d)

15、答案解析依题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，因此正确.9.若函数f(x)x3x22ax在，)上存在单调递增区间，则a的取值范围是 .答案(，)解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a(x)22a.当x，)时，f(x)的最大值为f()2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是(，).10.(2016全国甲卷改编)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是 .答案解析函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xac

16、os x0，即acos xcos2x在(，)恒成立.当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上为增函数，得af(1)；当1cos x0时，得acos x，令tcos x，f(t)t在1,0)上为增函数，得af(1).综上，可得a的取值范围是.11.(2016江苏南京十三中月考)函数f(x)ax33x23x(a0).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围.解(1)函数f(x)ax33x23x(a0)，f(x)3ax26x3，令f(x)0，即3ax26x30，则36(1a).当a1

17、时，0，f(x)0，f(x)在R上是增函数；当a0，f(x)0有两个根，x1，x2.()当0a0，当x(x2，x1)时，f(x)0，故函数f(x)在(，x2)，(x1，)上是增函数，在(x2，x1)上是减函数；()当a0时，易知当x(，x1)或x(x2，)时，f(x)0，故函数f(x)在(，x1)，(x2，)上是减函数，在(x1，x2)上是增函数.(2)当a0时，f(x)3ax26x30(x(1,2)，故a0时，f(x)在区间(1,2)上是增函数，当a0时，由f(x)在区间(1,2)上是增函数，可得即解得a，所以a0)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a

18、.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)(x0).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去.当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数.综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5).13.已知函数f(x)x3x2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解(1)f(x)x2axx(xa).当a0时，f(x)x20恒成立，f(x)在R上单调递增.当a0时，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0，f(x)的增区间为(，0)，(a，)，减区间为(0，a).当a0；当x(a,0)时，f(x)0，f(x)的增区间为(，a)，(0，)，减区间为(a,0).(2)g(x)x3x22x，g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即当x(2，1)时，a(x)max2即可.所以满足要求的a的取值范围是(，2).31