倒立摆系统的

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1、word倒立摆系统的设计摘要倒立摆是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统。通过它能有效地反映控 制过程中诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以与跟踪等多种关键问题，是检验各种控制理论 的理想模型。对倒立摆系统的研究不仅具有很重要的理论意义，而且在航天科技和机器人 学领域中也有现实指导性意义。本文以直线二级倒立摆模型为控制对象，阐述了倒立摆稳定控制的研究现状以与倒立 摆系统的控制系统与机械结构组成。在数学模型的根底上，重点分析基于Lagrange方程进展数学模型的方法，以与系统的能控性和能观测性。接着进展了倒立摆系统的LQR控制方法研究。运用最优控制理论，探讨了加权矩阵Q和R的选取方法。然后利用

2、 Matlab软件建立倒立摆系统模型，对二级倒立摆的LQR控制器进展了设计与仿真，利用 Simulink建立了二级倒立摆的LQR控制模型，实现了二级倒 立摆系统的稳定控制。结果明确本文所给出的控制策略是有效的。最后对倒立摆系统时滞问题进展了分析，给出了系统稳定性的判别公式。关键词：倒立摆；Lagrange方程；数学模型；最优控制；SIMULINK5 / 63Desig n of In verted Pen dulum SystemABSTRACTIn vertedpen dulum is a non li near,coupli ng,variableand n aturalun steadi

3、 nesssystem.Duri ng the con trolprocess,pe ndulum can effectively reflect many pivotal problems such as equa ni mity,robust,follow-up and track.Therefore,it is a perfect model used to testing various control theories.Studyingon inverted pendulum not only has a very important theorysig nifica nce,but

4、 also has a realistic directory meaning in aerospace scie nee and tech no logy and robotics.In this paper,we establish mathematical models of double inverted pendulum system,a nd an alyze the con trollabilityand observabilityof thesemodels.Accordi ng to the theoretical an alysis,this paper puts forw

5、ard a soluti onthat it is found by Lin ear Quadratic Optimal Con trol Theory .In the followi ng,wedesign a double inverted pendulum s controller based on the theory.Based onintroducingthe present established mathematical model , the method of theMathematical model was done by an alyz ing the Lagra n

6、ge equati on. An dthe system characteristic was briefly an alyzed.Next we do research on LQRcontrol algorithm of inverted pendulum system.By using optimizati on con trol theory,the selectio n of matrix Q and R is dicussed .It is introduced how to realize the simulation of the inverted pendulum syste

7、m by the Matlab.Double in vertedpen dulum LQR con trolleris desig ned and emulated.LQRcon trol model is programmed by Simuli nk,con trol of double inv erted pen dulum hardware system is realized.A nd it in dicatesthat the con trol strategy proposed in this paper is effctive.Fin ally , we an alysis t

8、he time-delay problem of double inv erted pen dulum system,get the giscriminant formula of the Stability of the system.Keywords: inverted pendulum； Lagrange equation ； mathematical model; optimization control theory； Simulink目录1绪论11.1倒立摆系统研究的意义和前景11.2倒立摆系统的研究现状11.3课题任务22倒立摆系统建模与性能分析32.1系统数学模型的建立3344

9、2.2倒立摆系统性能分析88993倒立摆系统控制与仿真113.1LQR理论根底113.1.1线性二次型问题113.1.2无限时间状态调节器问题123.2矩阵黎卡提方程的求解123.3Simulink 概述 123.4二级倒立摆最优控制器的设计1313144倒立摆系统的实时控制174. 1硬件在回路仿真技术174.2系统实现方案介绍171820205摆系统时滞问题215.1系统的稳定性215.2小结236结论24谢辞25参考文献26附录A27附录B34word1绪论倒立摆系统研究的意义和前景倒立摆系统是一个非线性程度严重的高阶不稳定系统，也是一个典型的多变量系统。它是日常生活中所见到的重心在上，

10、支点在下的控制问题的抽象1。它揭示了自然界的一种根本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。 根据级数，倒立摆系统可以分为一级、二级、三级和多级倒立摆；根据小车的运动方向， 可分为直线和平面倒立摆系统；根据小车运动轨道，可分为水平轨道、斜轨道和圆轨道倒 立摆系统。此外，如果在同一小车上安装两个相互独立的摆杆，即为并行倒立摆系统；如果没有 小车，摆杆直接安装在旋转轴上，即为旋转式倒立摆系统。倒立摆的工作原理大致一样， 即用一种适当的控制方法对小车的加速度进展适当的控制，从而使各摆杆倒置并保持稳定。倒立摆系统是一个可以将理论应用于实际的理想实验平台，它的典型性在于：作

11、为一 种实验装置，它本钱低廉、结构简单、便于模拟、形象直观；作为被控对象，它是一个高 阶、不稳定、多变量、非线性、强耦合的复杂被控系统，可以有效地反映出控制中的许多 问题；作为一种检测模型，它与机器人、飞行器、起重机稳钩装置等的控制有很大的相似 性2。在实际教学中，二级倒立摆系统的研制为人们提供了理论与实践结合的可能3 0因此,对倒立摆的研究具有十分重要的工程意义。1）机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统，尽管第一台机器人问世至今已有三十多年的历史，机器人的关键技术一一机器人的行走控制至今仍未能很好解决。2）在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿势，要不断进展实时控制。3）通信卫星在预

12、先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。4）为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的多级火箭，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进展研究。近年来，人们对倒立摆的研究越来越感兴趣，倒立摆的种类也变得丰富多样。倒立摆系统不仅在高科技领域中得到广泛应用，人们还可以通过倒立摆这样一个严格的控制对 象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力。因此,倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比拟理想实验手段常常用来检验控制策略的效果。到目前为止，人们己经利用包括经典控制理论、现代控制理论以与各种智能控制理论 在

13、内的各种手段先后实现了倒立摆系统的稳定控制4 0随着微型计算机的开展和广泛应用， 又陆续出现了对一级、二级甚至多级倒立摆的稳定控制。倒立摆系统是一个难以控制的不稳定结构，随着级数的增加，控制难度加大。在这样 复杂的控制对象面前，把人工智能的方法引入到控制系统中，就为解决倒立摆控制问题提 出了新的方向。模糊智能控制和神经网络控制是智能控制的重要方面，它们在倒立摆系统 的控制上起到了很大的作用。等设计的PI类模糊控制器用于单级倒立摆 。程福雁等 8将传统控制理论与模糊控制相结合实现了对二级倒立摆的稳定控制。王卫华采用专家模 糊控制解决单级倒立摆的稳定问题910，带控制器带有反响。R.Langari

14、应用多层多变量 模糊控制器于解耦的二级倒立摆系统，执行器由低层的模糊控制器构成，而高层的模糊控 制器起协调作用11。Fujinaka.T.KishidaY等采用神经网络与传统PID控制相结合稳定了二级倒立摆。X乃尧等人采用模糊双闭环的方案，成功的对单级倒立摆12进展了稳定控制。 胡叔旖、孙增沂应用基于规如此的方法实现了二级倒立摆的稳定控制13。X妹琴、陈际达等采用递归神经网络控制了单级倒立摆14。王琳等采用模糊小脑模型控制器仿真控制了单 级倒立摆15。1994年8月，航空航天大学自动化系X明廉教授、沈程智教授领导的人工智 能小组，采用拟人智能控制模仿人面对同样问题的解决思路，成功实现了单电机控

15、制三级平面运动倒立摆的控制16。李洪兴教授领导的模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统实 时智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制理论，于2001年9月实现了三级倒立摆实物系统控制后，又于2002年8月11日在世界上首次成功实现了四级倒立摆实物控制系统 17。在对倒立摆系统的研究过程中新的控制理论的不断出现，使现有的控制理论得到了不 断的完善和开展。倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位地满足自动控制教学的 要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等， 都可以通过倒立摆直观地表现出来。本文介绍了直线倒立摆系统稳定控制的研究现状，在 对倒立摆系统进

16、展数学建模分析的根底上，得到其状态空间方程，运用线性二次型最优控 制原理，利用MATLA计算出状态反响矩阵K,进而设计出稳摆控制器。最后进展倒立摆系 统仿真分析，并且达到了较好的仿真性能指标，验证了算法的有效性。本课题研究的重点：1）倒立摆系统的数学建模；2）倒立摆系统控制算法设计；3）进展仿真研究。7 / 632倒立摆系统的建模与性能分析倒立摆系统的运动分析二级倒立摆的结构示意图如图2-1所示。它主要由以下四局部组成1）在有限长的轨道上作直线运动的小车；2）与小车铰接在一起，并能在竖直平面上360度转动的上下摆;3）驱动小车的电机、传感器等其他传动装置；4）运动控制器。为了建立起数学模型，首

17、先要进展系统的动力学分析，一般摆杆在水平导轨的铅垂面 自由转动，竖直向上是系统的稳定平衡点，小车快速运动在水平导轨上实现摆杆的稳定。 上摆杆的响应最为快速，下摆杆次之，小车的响应最慢。因此要使二级摆稳定在竖直向上 的位置，应该首先稳定上摆杆，然后稳定下摆杆，最后稳定小车。倒立摆系统实际上是一个定常系统，首先要进展系统参数确实定。本设计中系统的参 数表示与取值，如表3-1所示。表2-1二级倒立摆的参数与实际取值表符号含义取值符号含义取值M小车质量12摆杆2转动中心到杆质 心的距离叶摆杆1质量1摆杆1与垂直向上方向 的夹角radm2摆杆2质量2摆杆2与垂直向上方向的夹角radm3质量块的质量F作用

18、在小车上的控制力Nll摆杆1转动中心到杆质 心的距离建模中所涉与的变量与其说明如表2-2所示表2-2二级倒立摆的变量与其说明表符号含义说明x小车水平位移导轨中心为零点1下摆角度以摆杆垂直为零位置2上摆角度以摆杆垂直为零位置u小车上的水平作用力方向向右为正2模型建立的根本方法通常一个自动控制系统数学模型的建立方法，一般说来可分为两大类。一类是机理分 析方法。机理分析是指根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找反映内部机理的 规律。建立的模型常有明确的物理或现实意义。另一类是测试分析方法。测试分折将研究 对象看成一个未知系统，测量系统的输人输出数据，并以此为根底运用统计分析方法，按 照预先设定

19、的准如此选出一个与数据拟合的最好的模型。这种方法称为系统辨识。将这两 种方法结合起来也是常用的建模方法，即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模 型的参数。针对倒立摆系统，可以采用以下机理分析方法进展建模。1）基于受力分析的机理建模方法。它是从被控对象与其所构成系统的物理或者化学机 理出发，先进展受力分析，再根据相关定律和结构数据来建立的数学模型2）基于拉格朗日的机理建模方法。拉格朗日方程是从能量的角度来描述动力学规律 的，当对被控对象本身的认识既有认知局部，又有未知局部，而且处于高速运动的时候， 基于受力分析的机理建模就暴露出一些局限性，所以本文选用拉格朗日方法来推导直线型 二级倒立摆的

20、动力学模型。假如需要模型参数的具体数值，还可用系统测试或其它统计方 法得到。2模型的建立对系统作如下假设：1）小车、一级摆杆和二级摆杆都是刚体；2）皮带轮与皮带间无相对滑动，皮带不能拉伸变长；3) 小车和导轨之间的摩擦力与小车速度成正比；4) 各级摆杆与转轴间的转动摩擦力矩与摆杆的角速度成正比。数学模型的建立：在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可以将二级倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和 质量块组成的系统5利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：L(q,q)T(q,q)V(q,q)其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能 拉格朗日方程由广义坐标qi和L表示为

21、_L _Ldt qi其中，i=1、2、3n ， fi为系统沿该广义坐标方向上的外力。在本系统中，设系统的三个广义坐标分别是x、首先计算系统的动能：T=Tm +Tm1+Tm2 + Tm3，其中Tm为小车动能，匚为摆杆1动能,Tm2为摆杆2动能，为质量块动能TM =1 mX2 = 1M 2l1 pin 1 l212 sin 22 2Tm1为摆杆1绕质心转动动能Tm1=Tm1 +Tm1，其中Tm1为摆杆1质心的平均动能,Tm2 = Tm2 +Tm2，其中Tm2为摆杆2质心的平均动能，Tm2为摆杆2绕质心转动动能2d(h cos Jdt21 d(x l1sin J =_ m.2 dtX2-X Lcos

22、1+1 Eh212 (2-1)=小2=丄仏22 3)12=1ml12621 (2-2)word(2-9)8 / 631如此 Tm1=Tm1 +J =-m12 mi l1 X cos21+3m1112同样可以求出：Tm2 =2 %d(x 2l1 sin 1 l2 sindt2)2d (2l2 cos 2 l2 cos 2)dtTm3=2(2-6)1m22 2X 2l1 (icos122 cos 22li1 sin1222 sin 2(2-3)Tm2 J J2 W22J2 21m2l22322m2l2 6 2(2-4)Tm2=Tm2 +Tm2 =im2*2 2X(2l1 I1 cos 122 co

23、s 2)2m2 4l12b 4 221-l22 4l1l2122 cos( 2d(x 2hsin Jdtd(2l1 cos 1)dt1)(2-5)2m3l1X h cos212m3hT=Tm +Tm1+Tm2+Tm3 = M*2 1 m1X2X2 2*(2l1 1 cos 1 l212 cos 2) + m224112m1 h 1 cos 14l122COS( 21) +系统的势能为:-m3X2 2m3l1x 1 cos 1 2m3l122 1(2-7)V=Vm1 +Vm2 +Vm3 = ggl1 cos 1 2m3gh cos 1m2g(211 cos 112 cos 2)(2-8)得到系统

24、拉格朗日算子L:1L=T V=(M m1 m2 22 2 I2+ ( g 2m2 2m3)h 13m3)X2 (m1 2m2 2m3)Xl1 L cos 1 m22cos( 21)(mi 2m2 2m3)ghcos1 mbgLcos 2 mghcos 1 2m3ghcos 1m2g(2l1 cos 1 l1 cos 2)word10 / 63因为在广义坐标i ,2上无外力作用，故有以下等式成立d ；丄 0(2-10) d L L11dtdt0(2-12)展开以上两式，分别得到下式：6m2l2 f sin(3(m m3)l| 3( 2m2lJ|f cos( 21)g 2血 mO)(gsin3gs

25、in 26I1 fsin( 21 X cos 1)1) 4I2IL 6hXcos(0(2-13)21) 3Xcos20(2-14)将(3-13)、(3-14)对 |1，It求解代数方程，得以下两个等式：1 3gm2 cos( 21)sin 2(3( 2gm sin 1 4gm2Sin 1 4gm3sin6m2I1 cos( 12)s in( 12)2 2mXcos1 4mzXcos 14m3cos 1 3mbXcos( 12)/(2h( 4m11=(9m2(m1 沁航以212mb 12mh 9m2 cos ( 12) (2-15)3gsin 2 6l1 2sin( 12) 3*cos 2)2

26、2m2l112 cos( 12)(6m2l23:sin( 12)3(m1 2(m3)(gsin 1 Xcos 1)/16 2 2 (m2(m 3(m2 m3)l11292 2 24m2l1l2cos ( 12) (2-16)表示成以下两式:1, 2,*, L Lx)(2-17)12fdx, 1, 2,* L L，X)(2-18)取平衡时各变量的初值为零，（X, 1, 2，X，L L，X）=（0，0，0，0，0，0）将|1，H在平衡位置进展泰勒级数展开，并线性化，令K123( 2gg 4gm? 4gm3)2( 4m1 3m2 12叫儿K139m?g2( 4mi 3m212m3)l13( 2mi

27、m2 4m(3) 072( 4mi 3m)212m3)li2g mh 2(m2 m3)K22164m2l2g 3(m2 m3) l294g m 3(m2 mJK23 163 4叫12m 3(m2 m3) l2942 m 2(m2 mJ - m1 3伸2 叫)K27 164m2l2m 3(m2 讥)l2其他参数均为零线性化之后得到：11 K121K132呦(2-19)12 K221K232K27X (2-20)现在得到了两个线性微分方程，由于采用小车加速度作为系统输入，因此还需要一个方程：u X(2-21)取状态变量为:Xi X,X2 I,x3 2,X4 X,X5 i,X6 2由式(3-19)、

28、(3-20)、2000100X10000010X20000001X30000000+u (2-22)X400K12K13000X5K170K22K23000X6K37(3-21)得到状态空间方程如下wordX1x100000X20y 1010000x3X40 u (2-23)20010000X5X6代入各参数，计算得出：K12 ,K13 ,K17 ,K22 , K23 , K 2700010000000100100000 0000010如此A，B，C010000，0000001001000067.258-5.5200005.1730-40.35139.3360000.104系统稳定性原理一个系

29、统要能正常工作，首先必须是要能够稳定。当系统受到外界干扰后，它的平衡 状态被破坏，但在外界干扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的 这种性能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。系统的稳定性就是系统在受到外 界干扰后，系统偏差量过渡过程的收敛性。如果系统在受到扰动后偏差量越来越大，它便 不是一个稳定系统。如果系统是一个线性定常系统，由经典控制理论知道，可用劳斯-赫尔维(Routh-Hurwitz)稳定判据或奈奎斯特(Nyquist)稳定判据对系统的稳定性进展判断。当对 于像二级摆系统这样的高阶非线性系统来说，可以通过一些方法对系统进展转化，使得上 述稳定判据可以应用于这些

30、系统。在解决这类系统稳定性问题时，最通用的方法是基于李11 / 63word亚普诺夫稳定性理论。李亚普诺夫就如何判断稳定性问题归纳成两种方法。李亚普诺夫第一法是解系统的微 分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。对于非线性系统，在工作点附近一定 X围内，可以用线性化了的微分方程来近似地加以描述。如果线性化特征方程式的根全部 都是负实数根，或者具有负实数局部的复根，如此系统在工作点附近是稳定的。李亚普诺 夫第二方法不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进展分析判断。它提供了 判别所有系统稳定性的方法。如果一个系统的某个平衡状态Xe是渐进稳定的，即imx Xe，那么随着系统的运动，

31、其储存的能量将随着时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。李亚普诺 夫引入了 “广义能量函数，称之为李亚普诺夫函数，表示成V(x ,t)，它是状态Xi，X2，, xn和时间t的函数。对于定常系统，“广义能量函数为V(x)。显而易见，如果考察的动 态系统是稳定的，如此仅当存在依赖于状态变量的李亚普诺夫函数以V X V(Xi,X2,川，Xn)对任意x xe(平衡点)时，V(x)0，V(x) 0成立，且对X xe时，V(x)=V(x)=0。系统能控性和能观性一个系统的特性最重要的是它的稳定性、能控性以与能观测性。系统的稳定性分析一 般应用李亚普诺夫稳定性理论。对于系统在平衡点领域的稳定性

32、可以根据前面得到的系统 线性模型来分析。一般摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。 既然需要设计控制器镇定系统，那么首先要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平 衡点附近的性质，因而可以采用以上系统的线性模型来分析。在进展倒立摆的定性分析之 前，有必要先介绍一下线性控制理论中几个关于能控性、能观测性的判定定理20-22。定理一能控性判据：n阶线性定常连续系统X=AX+BU犬态完全能控，当且仅当系 统的能控性矩阵：QcB,AB,A2B.An 1B满秩，即rank QC =n。特别是当输入控制量u(t)为标量时，能控性矩阵QC为方阵；rank QC =n等价于Qc的行列式值

33、det QC0。定理二能观测性判据：n阶线性定常连续系统X AX BuY CX状态完全能观测，当且仅当系统的能观测性矩阵：Q。 C,CA,CA2.CAn1 丁满秩，即 rank Q =n。特别，当输入量y(t)为标量时，能观测性矩阵 Q为方阵；rank Q =n等价 于Qo的行列是指det Qo 0二级倒立摆系统性能1) 稳定性分析根据求线性化后系统模型的特征根来判断系统的稳定性，经过Matlab仿真计算得到系统的开环特征根：12=0, 3=8.5868,4-8.5868,55.7324,6 ，系统有两个极点在 S平面的右半平面上，有两极点在原点，所以系统不稳定。图2-2系统零极点图2) 能控

34、性分析根据能控性的秩判据来判断系统的能控性rankQC rank(B,AB, A2B,A3B, A4B, A5B) 6系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，所以系统能控。3) 能观测性分析根据能观测性的秩判据来判断系统的能观测性：rankQ0 ran k(C, CA, CA2, CA3, CA4, CA5)T 6系统的能观测性矩阵满秩，因此系统能观。3倒立摆系统控制与仿真最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。其中线性二次型性能指标因为可以通过求解Riccatti方程得到控制器参数，并且随着计算机技术的进步，求解过程变得越来越简

35、单，因而在线性多变量时变 系统的控制器设计中应用较广。利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQRg制器233.1LQR理论根底 线性二次型问题设线性时变系统的状态空间表达式为X(t) A(t)x(t) B(t)u(t),x(t。)Xoy(t) C(t)x(t)性能泛函的一般形式：1 tf Tt1 TJx Qdt)x u Q2(t)udtx (tf)Q0x(tf)3-12 to2式中Q(t)n n维半正定的状态加权矩阵；Q2(t) n n维正定的控制加权矩阵；Q。一一 n n维半正定的终端加权矩阵。被积函数第一项Lx xTQ1(t)x，假如x表示误差矢量，那么L.表示误差平方。Lx是用 来衡量

36、误差x大小的代价函数，x越大，如此支付的代价越大。在 x是标量函数的情况下，1 21 tf 2Lxx2,那么丄t x2dt表示误差平方的积分。Q(t)通常是对角线常数阵，对角线上的元2 2素q分别表示对相应误差分量x的重视程度。越加重对误差分量的重视，希望它越小，相 应地，其加权系数5就应取得越大。1被积函数中第二项Lu -uTQ2 (t)u，表示动态过程中对控制的约束或要求。因为Q2(t)2为正定，所以只要存在控制，Lu总是正的。Lu是用来衡量控制功率大小的代价函数。式中-xT(tf )Qox(tf)突出了对终端误差的要求，叫做终端代价函数，参加这一项，来2表现tf时的误差足够小。设计LQR

37、空制器的目的就是确定最优控制u*( t)，使性能指标式(4-1)极小，即使系统 在整个控制过程中的动态跟踪误差与控制能量消耗，以与控制过程完毕时的末尾跟踪偏差 综合最优。无限时间状态调节器问题假如系统受扰偏离原平衡状态后，希望系统能最优地恢复到原平衡状态，不产生稳态 误差，如此必须采用无限时间状态调节器；假如同时要求最优闭环系统渐进稳定，如此应 采用无限时间定常状态调节器，其最优状态反响阵为常阵，可以离线计算，便于实时控制。 本文中倒立摆系统的控制问题就是要设计一最优反响矩阵，并要求其为常阵，故本文调节 器的设计是一个无限时间状态调节器的问题。可以证明，假如线性定常系统X Ax Bu能控，性能

38、泛函为1 ttJx QiX u Q2U dt2 to其中，u不受限制，Qi是半正定常数矩阵，Q2为正定常数矩阵。如此最优控制存在，且唯一：u (t)Q21BTPx(t)Kx(t)式中Pn n维正定常数矩阵，且满足如下 Riccati矩阵代数方程：PA AtP PBQ21BtP Q10式中K为全状态反响矩阵，而P是一个实对称常数矩阵，因此构成的是一个线性定常闭环系统。3.2矩阵黎卡提方程的求解对于线性二次最优控制问题，最终目标是要求出一个状态反响矩阵K。为了得到反响矩阵K,需要求解矩阵黎卡提(Riccati)方程。一般情形下，矩阵黎卡提方程都不可能找到基于受控系统系数矩阵和性能指标加权阵的解阵的

39、现实表达式。目前主要有直接数值解法、舒尔量法、特征向量法、函数符号法等。 求解实践明确，各种算法通常只能求解对应一类矩阵黎卡提方程。现在，我们已经可以在 计算机上利用相关软件来求解矩阵黎卡提微分方程。3.3 Simulink 概述16 / 63wordSimulink是Math Works软件公司为MATLAB!供了新的控制系统模型图输入与仿真工 具而开发的。它是用来对动态系统进展建模、仿真和分析的软件包，是一种面向结构的系 统仿真软件，用于可视化的动态系统仿真24。Simulink包含有Sinks输出方式、Source输入源、Co ntin us（连续系统）、Discrete 离散系统、Ma

40、th数学运算、Lin ear线 性环节、Nonlinear 非线性环节、Connections连结与接口和Extra其他环节 等子模型库。用户也可以定制和创建用户自己的模块。用Simulink创建的模型可以具有递阶结构，用户可以采用从上到下或者从下到上的结构创建模型。定义完一个模型以后， 用户可以通过Simulink的菜单或MATLAB勺命令窗口键入命令来对它进展仿真，菜单方式 对于交互工作非常方便，而命令行方式对于运行一大类仿真非常有用。Simulink的强大在于以下功能有以下几点：1）交互式、图形化的建模环境；2）交互式的仿真环境；3）专用模块库；4）提供了仿真库的扩大和定制机制；5）MA

41、TLABT具箱的集成。3.4二级倒立摆最优控制器的设计3.4.1最优控制器的设计1）二级倒立摆最优控制器的形式F面对二级倒立摆系统设计线性二次型最优控制器。因为二级摆的数学模型式是一个对于终端误差没有要求，且不包含末值控制性能指标的线性时不变系统，所以性能指标可以取为：xT Qx uT Ru dt (3-1)给定无限时间时不变LQ调节问题，根据线性二次型最优控制理论，如此可以组成对应的矩阵黎卡提(Riccati)代数方程PA+At P+Q PBR 1BTP =0(3-2)式中，A B为二级倒立摆系统矩阵，加权阵 Q为对称非负定常矩阵(6 X6)，加权阵R 为正定常矩阵(1 X 1) ,P为上述

42、方程的解阵，它的形式是 6X正定对称阵。所以，二级倒立 摆控制器的最优解为1 Tu Kx , K R B P (3-3)为了求解反响矩阵K,需要求解矩阵黎卡提(Riccati)代数方程的解阵P。这里首先要 选择确定加权阵Q R,下面讨论加权阵的选择方法。2) 加权阵Q R的选取在最优控制器的设计中，最优控制 u和加权阵Q R的关系极大。Q R的数值是相对 的，它们表示减少误差的权和减小控制能量的权的相对重要程度，在实际选择时，先将R的值固定，然后改变Q,加权阵Q R通常在系统仿真与工程实践比拟得到。因为二级倒立 摆控制器是一个单输入的，R成为标量，可直接确定R=1。下面根据仿真和试验确定 Q,

43、因 为对于二级倒立摆这样一个高阶、不稳定的系统，相对于响应速度而言，上、下摆的稳定 性是控制系统设计时面临的主要矛盾，因此在选取阵时，角位移 1、21相对应的加权系数应取较大的值，角速度L、L I对应加权系数取较小的值。一般角位移对应的加权 系数是角速度加权系数的10倍以上，才能够保证实际系统稳定性要求。因为上、下摆稳 定是通过小车的移动来实现的，所以对小车位置x的变化X围不要控制得过严，以免在扰动过大时失去调节作用，所以x对应的加权系数取得要尽量小些。在摆的控制过程中，我 们希望小车有较快的响应速度，来快速调节小车使摆杆不倒，所以小车速度加权系数应取 较大的值。经过反复试验，最后取 Q R为

44、：19 / 63word1000000010000001000Q,R=0.10001000000100000013) 反响矩阵K的求解对于线性二次型最优控制问题，最终目标是要综合出一个状态反响矩阵K。为了得到反响矩阵K,需要求解矩阵黎卡提(Riccati)方程，以得到解阵P。要求设计的控制系统是 以计算机作为控制器，因此这是一个离散和采样控制系统，需要在一个连续的空间内设计 离散控制器。直接使用MATLA求解代数Riccati方程的命令得到反响矩阵如下：K=3.1623,99.4282,118.4465,4.5895,5.7198,18.8248，这里采样周期为 5ms342二级倒立摆系统仿真

45、首先我们在MATLA环境下利用M文件来进展系统仿真。MATLA仿真程序如下：A=0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,67.258,-5.520,0,0,0;0,-40.351,39.336,0,0,0;%矩阵特征值运算B=0;0;0;1;5.173;0.104;C=1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0;0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;D=0;0;0;0;0;0;p=eig(A)%求矩阵A的特征值向量n um,de n=ss2tf(A,B,C,D,1);%状态

46、方程形式转换成传递函数printsys(num,den)%传递函数显示命令Q=10,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0,;0,0,1,0,0,0;0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,21 / 63word0,1；Qc=ctrb(A,B);%求出状态空间系统的可控性矩阵ran k(Qc)%计算矩阵的秩Qo=obsv(A,C);%求出状态空间系统的可观性矩阵ran k(Qo)%计算矩阵的秩R=0.1;K=lqr(A,B,Q,R);%计算最优反响增益矩阵KAc=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;% 时间设置U=0.2*o nes

47、(size(T);冏犬态响应Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);%求解连续时间系统的零subplot(311),% 画出数个图形于同一个视窗之中plot(T,Y(:,1);%x xlabel(Time);% x ylabel(ang1);% y轴和y轴均为线性刻度轴注解轴注解grid;subplot(312),% 画出数个图形于同一个视窗之中plot(T,Y(:,2);%x 轴和y轴均为线性刻度xlabel(Time);% x 轴注解ylabel(a ng2);% y 轴注解grid;subplot(313),% 画出数个图形于同一个视窗之中plot(T,Y(:,3);%xxl

48、abel(Time);% xylabel(dis);% y轴和y轴均为线性刻度轴注解轴注解grid;仿真结果如图3-1所示:111710图3-1-1小车位移曲线46 / 63$ illIIiiiiD 0 51 IS 2253 3S 45Time图3-1-2摆杆1角度变化曲线图3-1-3摆杆2角度变化曲线可以看出，小车位置和两摆杆的稳定时间约3秒，小车位置的上升时间小于2秒，摆杆角度的最大超调量很小。通过上面的 M文件仿真，得出初步结论，即：可以设计 LQR空制器使二级摆系统稳定。以下利用MATLAB寸系统进展再次仿真，以得到实际系统所需要的LQR控制器。在Simulink环境中建立二级倒立摆系

49、统的仿真结构图，如图3-2所示：口图3-2SIMULINK仿真结构图设置仿真步长为5ms仿真时间为5s。在二级摆系统的状态空间结构图中，设置系统 的系数矩阵。将“ to workspace 模块中的“ variable name 改成y。然后再将“ save format 的值选为“ structure with time在MATLAB勺工作空间中输入绘图命令:plot(y.time,y.sig nals.values)仿真结果如如下图所示：图3-3二级倒立摆仿真图图中曲线data1、data2、data3、data4、data5、data6分别表示小车位移、一级摆 角度、二级摆角度、小车速度

50、、一级摆角速度和二级摆角速度的状态对应曲线。可以看到 小车能够在3s内到达平衡位置附近，两摆杆的最大角度以与小车位移偏离初始平衡位置 的距离都非常小。达到平衡位置之后，小车的移动速度和两摆杆的摆动速度都趋于零。仿 真结果证明：线性二次型最优控制器可以稳定二级倒立摆系统，响应速度快，可以用于倒 立摆的实物系统控制。4系统实现方案硬件在回路仿真(Hardware-in-the-Loop Simulation)是指将实物硬件嵌入仿真系统的实时动态仿真技术。它与一般的动态仿真区别在于：前者需要采用实时仿真算法使系统 各部件同步运转而后者无此要求。在纯理论的计算机仿真和对实物的真实控制之间，半实 物仿真

51、搭起了一座连接两者的桥梁。为了不对真实的控制对象产生未预期的损坏，半实物 仿真需要预先在实时算法的控制之下尝试性的对被控对象进展控制，并通过反响的结果校 正修改原始的控制模型与其参数，在需要时甚至推翻原有的不成熟的控制设想。由于半实 物仿真所采用的时钟同步机制与时间片划分方法与被控设备的实际运动规律根本一样，所 以可以最大限度的模拟实际的被控对象，以达到理想的仿真效果，这是传统的动态仿真所 做不到的。4.2系统实现方案介绍在MATLA下实现硬件在回路实时仿真，一般可以通过两种途径来完成，其一是在 MATLAB境中调用硬件系统关于接口的动态库文件，使我们使用的硬件设备能够和基于 WINDOWS作

52、系统的MATLA进展数据交换，然后在软件的编制将这些数据集成的到 Simulink中。第二种方式就是利用 MATLA的实时工具箱RTW4展硬件在回路仿真，这种 方式又分为单机型的 Real-Time Windows Target方案和双机型的xPCTarget方案，通过 目标的方式和Simulink联系起来，通过单独的实时内核的方式驱动外部硬件设备，完成 系统实时控制1 o对于第一种方式，由于 WINDOWS作系统任务执行频率不够高，并不能保证应用程序 在实时情况下运行，因为其不能保证程序在必要时比其它进程抢先。对于实时控制像倒立 摆这样对实时性要求非常高的对象而言，能否达到控制效果是个问题。

53、在这样的平台上进 展实时仿真实验，如果实验效果不太理想，很难说明到底是因为算法结构或参数设计不当 的原因还是因为该平台上实时性达不到要求的原因。对于第二种方式，采用MATLA 的实时工具箱RTW(Real-Time Workshop)实现控制任务，专用的实时内核代替 WINDOWS作系 统接收了实时控制任务，大大提高了系统的实时性，这种方式分为单机型Real-TimeWindowsTarget方式和双机型的xPC Target方式。一、Real-Time Windows Target 方式Real-Time WindowsTarget方式可以将计算机转变成为一个实时系统，既作为主机又作为目标机

54、，而且支持许多类的I/O设备板卡。用户只需要安装相关的软件、一个编译器 和I/O设备板卡，就可将一个PC机用作实时系统并通过I/O设备与外部设备进展连接。 而且内核任务执行的最小周期是1ms完全可以满足倒立摆的实时性控制的要求。利用Real-TimeWindowsTarget可以使快速原型化过程以与硬件在回路仿真这两个功能在用户计算机 上得以实现。Real-TimeWindowsTarget使用的实时内核运行在计算机 CPU勺零环曲处理实 时任务以与数据的存储和传输等，并且使用PC内置的时钟作为自己的时钟。该实时内核在WINDOWS作系统之前从PC机截取中断。这样就阻断了 WINDOWS作系统

55、对资源的任 何调用。之后该内核使用中断去触发被编译过的模型的执行，所以该实时内核为实时运行 Simulink生成的模型提供了最高的优先级。Simulink模型和实时应用程序之间保持着一 个校验机制，实时内核使用这个校验机制来判断Simulink模型结构在代码生成的过程中是否和实时应用程序的结构保持一致。这就保持了当我们在线修改模型参数的时候， Simuli nk模型的参数可以正确地映射到实时应用程序相应的参数上。然而当我们改变 Simulink模型结构的时候Simulink模型和实时应用程序之间的校验值将不能匹配，这样 我们只有重新编译下载Simulink模型至实时应用程序中。由于仅需要使用一

56、台PC机，Real-Time WindowsTarget提供了一种造价低廉的并且有效的快速原型化解决途径，因而十分适用有高等院校的实验教学研究。二、xPC Target 方式对于xPC Target方式，它是一种“双机型的解决途径，即 xPC Target方式需要使 用两台PC机，其中宿主机用于运行Simulink，而目标机如此用于执行所生成的代码。目 标PC机运行了一个高度紧缩型的实时操作内核，该实时操作内核采用了32位保护模式，通过以太网路连接或串口线连接来实现宿主机和目标机之间的通信。由于目标机专门用于执行所生成的代码，因而xPCTarget提高了性能和系统稳定性。目标 PC机要求具有与

57、PC 机兼容的构架，包括PC机主板，任务的执行频率可达100KHZ,例如一个很小的模块对话框 的执行需要10us。xPCTarget不需要DOS,Windows,Linux，或者其它的操作系统，但是需 要一 X包含了高度优化的xPC Target实时内核的启动盘来启动目标机。当 xPC Target内 核使用完毕后，又可以恢复到先前的操作系统中。BIOS(Basic In put Output System) 是xPCTarget实时内核所需要的唯一软件，当系统装在BIOS以后，它将负责搜索xPCTarget 实时内核并且启动它，运行在 32位保护模式下。由于在实物仿真系统的时间模型中，仿真系

58、统的机器周期为理想机器周期。而许多实 物仿真系统本身就包括计算机和物理设备，计算机系统与物理设备之间存在数据交换，因 此要求其中的机器时间本身的精度要能满足要求，即由机器时间模型反解的自然时间与真 实时间误差足够小，这是实物仿真试验的假设前提，因此在仿真试验里，实物仿真系统一 般并不在进展机器时间模型的时间校正，而认为所采用的机器时间模型是理想模型，考虑 到目前仿真计算机的机器时钟部件的高性能，对持续时间并不是很长的倒立摆实时仿真试 验而言，这个假设是合理的。倒立摆在 MATLAB境下的硬件在回路实时仿真试验的实时 性，主要表现在硬件在回路仿真平台的性能能否满足对象的控制要求，这主要包括I/O设备的采样时间和实时系统任务执行时间。硬件方面，我们采用的是固高公司生产的GT-400-SV-PCI-G运动控制卡，最高采样频率为100KHZ,对于例如小车速度、加速度等模拟量和导轨限位开关等开关量的采集和输出 完全可以满足需要。至于输入摆杆与平衡位置角度偏差的光电编码器，由于其精度达非常 高，可以利用GT-400-SV-PCI-G运动控制卡自带的计数器芯片来完成对高频率脉冲信号的 记数。实时系统方面，实时程序的运行于 Simulink离线数学仿真的不同之处在于实时程序 必须实时同步地运行模型代码。由于所有计算都会导致一些计算延迟，这意味着采样间