2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷(附答案详解)

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1、2021 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 3的相反数是( )A.13B.3C.13D.32.在平面直角坐标系中，把点𝐴(0, 1)向左平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 的坐 标为( )A.(0,1)B.(0, 3)C.(2, 1)D.(2, 1)3.下列运算正确的是( )A.𝑥8 𝑥 2 = 𝑥 4 (𝑥 0)B. (𝑚 + 𝑛) 2 = 𝑚 2 + 𝑛 2C.3𝑎

2、 + 2𝑏 = 5𝑎𝑏D.(𝑦3)2= 𝑦64.如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为( )A.B.C.D.1803605407205.如图，在𝑅𝑡 𝐴𝐵𝐶 中，𝐶 = 90，𝐴𝐵 = 10，𝐴𝐶 = 8，D 是 AC 上一点，𝐴𝐷 = 5，𝐷𝐸 𝐴𝐵，垂足为 E，

3、则𝐴𝐸 = ( )A.B.C.D.23456.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如图所示，则这 些运动员成绩的中位数为( )A.160B.165C.170D.1757.如图摆放一副三角尺，𝐵 = 𝐸𝐷𝐹 = 90，点 E 在 AC 上，点 D 在 BC 的延长线上， 𝐸𝐹/𝐵𝐶 ，𝐴 = 30，𝐹 = 45，则𝐶𝐸𝐷 = ( )第

4、 1 页，共 21 页2 𝑘𝑥2 A.B.C.D.152025308.关于 x 的方程𝑥 2 2𝑥 + 𝑎 = 0(𝑎 为常数)无实数根，则点(𝑎, 𝑎 + 1)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且𝐷𝐸/𝐴𝐶 ，𝐶𝐸/𝐷𝐵 ，则四边形 OCED 是( )A.梯形B.

5、矩形C.菱形D.正方形10. 设函数𝑦 =1𝑘𝑥，𝑦= (𝑘 0)，当2 𝑥 3时，函数的𝑦1最大值是 a，函数𝑦 的最小值是𝑎 4，则𝑎𝑘 = ( )A.4B.6C.8D.10二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 11. 12 =_12. 分解因式：𝑎𝑥 2 𝑎 =_𝑥 + 𝑦 = 313. 方程组𝑥 

6、9910; = 1的解是_14. 如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出𝑂𝐴 = 1，𝑂𝐵 = 2，然后沿 AB 剪下一个 𝐴𝑂𝐵 ，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为_ 15. 如图，从一块直径为 6 的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半 径是_ 16. 如图，在平面直角坐标系中，有一个𝑅𝑡 𝑂𝐴𝐵 ，𝐴𝐵Ү

7、74; = 90，𝐴𝑂𝐵 = 30，直角边 OB 在 y 轴正半轴上，点 A 在第一象限，且𝑂𝐴 = 1，将𝑅𝑡 𝑂𝐵𝐴绕原点 O 逆时第 2 页，共 21 页1 12 22021𝑥 2 0针旋转30，同时把各边长扩大为原来的 2 倍(即𝑂𝐴1= 2𝑂𝐴)，得到𝑅𝑡 𝑂𝐴 𝐵1

8、1，同理，将𝑅𝑡 𝑂𝐴 𝐵 绕原点 O 逆时针旋转30，同时把各边长扩大为原来的 2 倍，得到𝑅𝑡 𝑂𝐴 𝐵 ，依此规律，得到𝑅𝑡 𝑂𝐴 _ 𝐵2021 2021，则点𝐵 的纵坐标为三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分）17. 解不等式组： ，并将其解集在数轴上表示出来3𝑥 + 2 118. 如图，已知 BD 平分

9、𝐴𝐵𝐶 ，𝐴 = 𝐶 求证 𝐴𝐵𝐷 𝐶𝐵𝐷 第 3 页，共 21 页19. 已知𝑀 = (𝑥 + 3)(𝑥 2) + (𝑥 + 1)2+ 5(1)化简 M；(2)𝑥 是面积为 5 的正方形边长，求 M 的值20. 某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为 A 票和 B 票.已知每张 A 票的票价比

10、 B 票的票价少 9 元，且用 312元购买 A 票的张数与用 420 元购买 B 票的张数相等.求每张 A 票和 B 票的票价各是 多少元？21. 为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周， 包括以下项目：数学知识竞赛；数学谜语；数学手抄报；数学计算接力赛；数独游戏.为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两 个不完整的统计图，如图：(1)本次随机抽查的学生人数为_ 人，补全图()；(2)该校共有 800 名学生，可估计出该校学生最喜爱“数学知识竞赛”的人数为 _ 人，图()中扇形的圆心角度数为_ 度；第 4 页，共 21 页2 3(

11、3)该校计划在“，”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“，”这两项活动的概率22. 一次函数𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 与反比例函数𝑦 = (1)求 b 的值；𝑘𝑥的图象都经过点(2, 1)(2)点(2𝑎, 𝑦 )，(𝑎, 𝑦 )，(3𝑎, 𝑦 )，𝑎 0，都在反比例函数图象上，根据图象比较𝑦1 2 3 1𝑦

12、 ，𝑦 的大小，23. 如图， 𝑂 是四边形 ABCD 的外接圆，AC 是 𝑂 的直径，𝐵𝐸 𝐷𝐶 ，交 DC 的延长线于点 E，CB 平分𝐴𝐶𝐸 (1)求证：BE 是 𝑂 的切线第 5 页，共 21 页(2)若𝐴𝐵 = 2 𝐵𝐶，𝐶𝐸 = 1，求点 B 到 AD 的距离24. 抛物线 G：𝑦 = ү

13、09; 2 2𝑎𝑥 𝑎 + 3(𝑎 为常数)的顶点为 A(1)用 a 表示点 A 的坐标；(2)经过探究发现，随着 a 的变化，点 A 始终在某一抛物线 H 上，若将抛物线 G 向 右平移𝑡(𝑡 0) 个单位后，所得抛物线顶点 B 仍在抛物线 H 上；平移距离 t是 a 的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出 a 的取值范围；如果不是，请说明理由；若𝑦 = 𝑥 2 2𝑎𝑥 𝑎 + 3在𝑥 4时，都有 y

14、 随 x 的增大而增大，设抛物线 H 的 顶点为 C，借助图象，求直线 AC 与 x 轴交点的横坐标的最小值25. 不在射线 DA 上的点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 外一点，且满足𝐴𝑃𝐵 = 45，以 AP，AD 为邻边作 APQD(1)如图，若点 P 在射线 CB 上，请用尺规补全图形；(2)若点 P 不在射线 CB 上，求𝑃𝐴𝑄 的度数；(3)设 AQ 与 PD 交点为 O， 𝐴𝑃𝑂 的面积最大时，求 tan𝐴w

15、863;𝑂的值第 6 页，共 21 页第 7 页，共 21 页6 6 6 答案和解析1.【答案】D【解析】解：3的相反数是 3，故选：D。根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案。本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数。2.【答案】B【解析】解：将点𝐴(0, 1)向左平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 的横坐标为 0，纵坐标为1 2 = 3， 𝐵 的坐标为(0, 3)故选：B根据向左平移横坐标减，可得结论本题考查了坐标与图形变化 平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减； 纵坐标上移加，下移减3.【答案】D【

16、解析】解：A、原式= 𝑥 ，所以 A 选项不符合题意；B、原式= 𝑚2+ 2𝑚𝑛 + 𝑛2，所以 B 选项不符合题意；C、3a 与 2b 不能合并，所以 C 选项不符合题意；D、原式= 𝑥 ，所以 D 选项符合题意故选：D根据同底数幂的除法法则对 A 进行判断；根据完全平方公式对 B 进行判断；根据合并同 类项对 C 进行判断；根据幂的乘方对 D 进行判断本题考查了完全平方公式：熟练掌握完全平方公式是解决此类问题的关键；完全平方公式为(𝑎 𝑏)2= 𝑎

17、2 2𝑎𝑏 + 𝑏2.也考查了整式的运算4.【答案】A第 8 页，共 21 页【解析】解：从正三棱柱的上面看：可以得到一个正三角形，故其俯视图的内角和为180 故选：A找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心 观察能力，属于基础题5.【答案】C【解析】解： 𝐴 = 𝐴，𝐴𝐸𝐷 = 𝐶 = 90， 𝐴𝐷𝐸

18、𝐴𝐵𝐶 ，𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶，510=𝐴𝐸8， 𝐴𝐸 = 4，故选：C通过证 𝐴𝐷𝐸 𝐴𝐵𝐶 ，可得结论本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键6.【答案】B【解析】解：把这些数从小到大排列，中位数是第 8 个数，则这些运动员成绩的中

19、位数为 165cm故选：B根据中位数的定义直接解答即可本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义7.【答案】A【解析】解：如图， 𝐸𝐷𝐹 = 90，𝐹 = 45， 𝐷𝐸𝐹 = 45， 𝐵 = 90，𝐴 = 30，第 9 页，共 21 页 𝐴𝐶𝐵 = 60， 𝐸𝐹/𝐵𝐶 ， 𝐶𝐸𝐹 = &#

20、119860;𝐶𝐵 = 60， 𝐶𝐷𝐸 = 𝐶𝐸𝐹 𝐷𝐸𝐹 = 15故选：A由三角形内角和定理可知，𝐷𝐸𝐹 = 45，𝐴𝐶𝐵 = 60，再由平行线的性质可得，𝐶𝐸𝐹 = 60，最后可得结论本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目中的条件找到角之间的关系 是解题关键，是

21、一道比较简单的题目8.【答案】A【解析】解： 𝑎 = 1，𝑏 = 2，𝑐 = 𝑎 ，= 𝑏 2 4𝑎𝑐 = (2) 2 4 1 𝑎 = 4 4𝑎 1，点(𝑎, 𝑎 + 1)在第一象限，故选：A关于 x 的方程𝑥2 2𝑥 + 𝑎 = 0无实数根，即判别 = 𝑏2 4𝑎𝑐 0 方程有两个不相等的实数根；(2) = 0 方程有两个相

22、等的实数根；(3) 0，2 𝑥 3， 𝑦1随 x 的增大而减小，𝑦 随 x 的增大而增大，当𝑥 = 2时，𝑦1取最大值，最大值为2= 𝑎；当𝑥 = 2时，𝑦 取最小值，最小值为𝑘2= 𝑎 4；由得𝑎 = 2，𝑘 = 4， 𝑎𝑘 = 8，故选：C首先根据 k 与 x 的取值分析函数𝑦 ，𝑦 增减性，根据增减性确定最值，进而求解本题考查了反比例函

23、数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值，进而求解11.【答案】23【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题关键将 12 分解为4 3，进 而开平方得出即可【解答】解：12 = 4 3 = 4 3 = 2312.【答案】𝑎(𝑥 + 1)(𝑥 1)【解析】解：𝑎𝑥2 𝑎 ，= 𝑎(𝑥 2 1)，= 𝑎(𝑥 + 1)(𝑥 1)应先提取公因式 a，再利用平方差公式进行二次分解主要考查提公因式法

24、分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能第 11 页，共 21 页𝑦 = 1𝑦 = 1𝑦 = 13 2 再分解为止𝑥 = 213.【答案】【解析】解：𝑥 + 𝑦 = 3，𝑥 𝑦 = 1 + 得：2𝑥 = 4，即𝑥 = 2， 得：2𝑦 = 2，即𝑦 = 1，𝑥 = 2则方程组的解为 𝑥 = 2故答案为： 方程组利用加减消元法求出解即可此题考查了解二元一次方程

25、组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减 消元法14.【答案】45【解析】解：由题意，四边形是菱形， 𝐴𝑂𝐵 = 90，𝑂𝐴 = 1，𝑂𝐵 = 2， 𝐴𝐵 = 𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵 2 = 12 + 22 = 5，四边形的周长为45，故答案为：45直接利用折叠方法可得出展开的四边形是菱形，利用勾股定理求出 AB 即可此题主要考查了剪纸问题，正确得出展开的四边形是菱形是解题的关键15

26、.【答案】4【解析】解：连接 BC， 𝐶𝐴𝐵 = 90， 𝐵𝐶 为圆的直径， 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 32， 𝐵𝐶 的长=90𝜋3 2 = 3 2 𝜋， 180 2第 12 页，共 21 页3 23 2 3 2 31 3 32 32 32019𝑛设圆锥的底面圆的半径为 r，由题意得，2𝜋𝑟 =3 22𝜋，解得，𝑟

27、= ，4即圆锥的底面圆的半径为 ，4故答案为： 4连接 BC，根据圆周角定理得到 BC 为圆的直径，求出 AC，根据弧长公式求出𝐵𝐶的长， 根据圆锥的侧面展开图计算本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长16.【答案】3 22019【解析】解：在𝑅𝑡 𝐴𝑂𝐵 中，𝐴𝑂𝐵 = 30，𝑂𝐴 = 1， 

28、9874;𝐵 = 𝑂𝐴 cos𝐴𝑂𝐵 = ，2由题意得，𝑂𝐵= 2𝑂𝐵 = 2 2，𝑂𝐵 = 2𝑂𝐵 = 22 ， 2 1𝑂𝐵 = 2𝑂𝐵 = 2 𝑛 1𝑛= 3 2𝑛1， 2021 12 = 168 5，点𝐵2021 的纵坐标为：3 22020

29、𝑐𝑜𝑠60 = 3 22020 = 3 22019 ，2故答案为：3 2 根据余弦的定义求出 OB，根据题意求出𝑂𝐵 ，根据题意找出规律，根据规律解答即可本题考查的是位似变换的性质、图形的变化规律、锐角三角函数的定义，正确得到图形 的变化规律是解题的关键17.【答案】解：解不等式𝑥 2 0，得：𝑥 2，解不等式3𝑥 + 2 1 ，得：𝑥 1 ，则不等式组的解集为1 0时， 3𝑎 2𝑎 𝑎 ， ү

30、10; 𝑦 𝑦 3 1 2，当𝑎 0时， 3𝑎 2𝑎 𝑎 ， 𝑦 𝑦 0， 2𝑎 1 0，即𝑎 12， 𝑡 是 a 的函数，𝑡 = 2𝑎 1(𝑎 )；2 𝑦 = 𝑥 2 2𝑎𝑥 𝑎 + 3在𝑥 4时，都有 y 随 x 的增大而增大， 对称轴，𝑥 = ⻔

31、6; 4，抛物线 H：𝑦 = (𝑥 + ) 2 +2 4， 𝐶( , )，2 4设直线 AC 的解析式为𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 ，代入点 A，点 C 的坐标得，1 132 4 ，解得， 𝑎𝑘 + 𝑏 = 𝑎 2 𝑎 + 3𝑘 = 𝑎 ，𝑏 = 𝑎 + 32 𝑦 = (𝑎 )𝑥 𝑎

32、+ 3，2 2第 18 页，共 21 页1 1 当𝑦 = 0时，𝑥 =𝑎32𝑎2=1 132 4𝑎112，又𝑎 4 ，当𝑎 = 4 时，x 有最小值107，直线 AC 与 x 轴交点的横坐标的最小值107【解析】(1)把抛物线的解析式化成顶点式即可；(2)根据抛物线的平移可得出平移后的抛物线，并求出抛物线的顶点 B，由抛物线的对称性可得出 a 和 t之间的函数关系；有题意可得抛物线 G 的对称轴𝑥 = 𝑎 4 ，并求出抛物线 H 的顶点 C，联立，求出

33、 直线解析式，表达出直线 AC 与 x 轴的交点的横坐标，再求出它的最小值本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式等，最后一问可画出图象直接 判断25.【答案】解：(1)如图 1，以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线 CB 于点 P；(2)如图 2，连接 QA，QC，QB，BD，四边形 APQD 是平行四边形， 𝐴𝑃 = 𝐷𝑄 ，𝑃𝑄/𝐴𝐷 ，𝐴𝑃/𝑄𝐷 ， 𝑃Ү

34、60;𝐷 𝐴𝐷𝑄 = 180， 𝑃𝐴𝐵 = 90 𝐴𝐷𝑄 ， 𝑃𝐴𝐵 = 90 𝐴𝐷𝑄 = 𝑄𝐷𝐶 ，又 𝐴𝑃 = 𝑄𝐷 ，𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 ，第 19 页，共 21 页

35、1 4 𝑃𝐴𝐵 𝑄𝐷𝐶(𝑆𝐴𝑆) ， 𝐴𝑃𝐵 = 𝐷𝑄𝐶 = 45，四边形 ABCD 是正方形， 𝐴𝐵𝐷 = 𝐷𝐵𝐶 = 45， 𝐶𝑄𝐷 = 𝐶𝐵𝐷 = 45，点 B，

36、点 C，点 D，点 Q 四点共圆， 𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝑄𝐷 = 90， 𝐵𝑄𝐷 = 𝐵𝐴𝐷 = 90，点 B，点 D，点 A，点 Q 四点共圆， 𝐴𝑄𝐷 = 𝐴𝐵𝐷 = 45， 𝐴𝑃/𝑄𝐷 ， 𝑃𝐴𝑄 =

37、 𝐴𝑄𝐷 = 45；(3) 四边形 APQD 是平行四边形， 𝑆𝑃𝑂= 𝑆𝐴𝑃𝑄𝐷，当APQD 的面积最大时 𝐴𝑃𝑂的面积取最大值， 𝑆𝐴𝑃𝑄𝐷= 𝐴𝐷 点 P 到 AD 的距离，当点 P 到 AD 的距离最大时，APQD 的面积最大，如图 3，以 AB 为斜边作

38、等腰直角三角形 ABE，以 E 为圆心，AE 为半径 𝐴𝐵𝑃 的外接圆，延长 CB 交 𝐸 于 H，过点 E 作𝐹𝐸 𝐵𝐻 ，交 𝐸 于 P，交 DA 的延长线于 F，此时 点 P 到 AD 的距离最大， 𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 ，𝐴𝐸𝐵 = 90，𝐴𝐵 = 2， 𝐸𝐴𝐵

39、 = 45，𝐴𝐸 = 2， 𝐸𝐴𝐹 = 45， 𝐸𝐹 𝐴𝐹 ， 𝐸𝐴𝐹 = 𝐹𝐸𝐴 = 45，第 20 页，共 21 页= 𝑆= 4 2 𝐹𝑃 1+ 𝐴𝐹 = 𝐸𝐹 = 1， 𝑃𝐹 = 1 + 2， 𝑆

40、;𝐴𝑃𝑄𝐷最大= 𝐴𝐷 𝑃𝐹 = 2 (1 + 2)， 𝑆𝐴𝑃𝑂最大1 1+2𝐴𝑃𝑄𝐷， tan𝐴𝐷𝑂 = =𝐷𝐹 3【解析】(1)以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交射线 CB 于点 P；(2)如图 2，连接 QA，QC，QB，BD，由“SAS”可 w

41、875;𝐴𝐵 𝑄𝐷𝐶，可得𝐴𝑃𝐵 = 𝐷𝑄𝐶 =45，通过证明点 B，点 D，点 A，点 Q 四点共圆，可得𝐴𝑄𝐷 = 𝐴𝐵𝐷 = 45，即可求 解；(3)由平行四边形的面积公式可得当点 P 到 AD 的距离最大时， APQD 的面积最大，此时 𝐴𝑃𝑂的面积取最大值，利用圆的有关知识和等腰直角三角形的性质可求解本题是三角形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数， 圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键第 21 页，共 21 页