概率论与数理统计练习册复习题和自测题解答.pdf

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1、概 率 论 与 数 理 统 计 练 习 册复 习 题 和 自 测 题 解 答 第 一 章 复 习 题1 、 一 个 工 人 生 产 了 n 个 零 件 ， 以 事 件 表 示 他 生 产 的 第 i个 零 件 是 正 品 （ i 1 ， 2 ， 3 ， ， n ） ， 用 表 示 下 列 事 件 ：（ 1 ） 没 有 一 个 零 件 是 次 品 ； （ 2 ） 至 少 有 一 个 零 件 是 次 品 ；（ 3 ） 仅 仅 只 有 一 个 零 件 是 次 品 ； （ 4 ） 至 少 有 两 个 零 件 是 次 品 。解 ： 1 ） 2 ）3 ） 4 ） 2 、 任 意 两 个 正 整 数 ， 求

2、 它 们 的 和 为 偶 数 的 概 率 。解 ： 3 、 从 数 1 ， 2 ， 3 ， ， n 中 任 意 取 两 数 ， 求 所 取 两 数 之 和 为 偶 数 的 概率 。 解 ： 第 i次 取 到 奇 数 （ i 1 ， 2 ） ； A 两 次 的 和 为 偶 数 当 n 为 奇 数 时 ：当 n 为 偶 数 时 ： 4 、 在 正 方 形 中 任 意 取 一 点 ， 求 使 方 程 有 两 个 实 根 的 概 率 。 解 ：X YX Y 5 、 盒 中 放 有 5 个 乒 乓 球 ， 其 中 4 个 是 新 的 ， 第 一 次 比 赛 时 从 盒 中 任 意 取 2 个 球 去 用

3、 ， 比 赛 后 放 回 盒 中 ， 第 二 次 比 赛 时 再 从 盒 中 任 意 取 2 个 球 ， 求第 二 次 比 赛 时 取 出 的 2 个 球 都 是 新 球 的 概 率 。 解 ： 第 一 次 比 赛 时 拿 到 i只 新 球 （ i 1 ， 2 ） B 第 二 次 比 赛 时 拿 到 2 只 新 球 1 ） 6 、 两 台 机 床 加 工 同 样 的 零 件 ， 第 一 台 加 工 的 零 件 比 第 二 台 多 一 倍 ， 而它 们 生 产 的 废 品 率 分 别 为 0 .0 3 与 0 .0 2 ， 现 把 加 工 出 来 的 零 件 放 在 一 起 （ 1 ） 求 从

4、中 任 意 取 一 件 而 得 到 合 格 品 的 概 率 ；（ 2 ） 如 果 任 意 取 一 件 得 到 的 是 废 品 ， 求 它 是 第 一 台 机 床 所 加 工 的 概 率 。解 ： 从 第 i台 机 床 加 工 的 零 件 中 取 （ i 1 ， 2 ） B 取 一 件 合 格 品 1 ）2 ） 7 、 已 知 某 种 产 品 的 正 品 率 是 0 .9 ， 现 使 用 一 种 检 验 方 法 ， 这 种 方 法 认 正 品 为 合 格 品 的 概 率 是 0 .9 8 ， 而 误 认 废 品 为 合 格 品 的 概 率 为 0 .0 5 ， 求 用 这种 方 法 检 验 为

5、合 格 的 一 件 产 品 确 是 正 品 的 概 率 。 解 ： A 产 品 是 合 格 品 ； B 产 品 被 认 为 是 合 格 品 8 、 假 设 患 肺 癌 的 人 中 吸 烟 的 占 9 0 ， 不 患 肺 癌 的 人 中 吸 烟 的 占 6 0 ，假 设 患 肺 癌 率 为 0 .5 ， 求 不 吸 烟 的 得 肺 癌 的 概 率 。 解 ： A 患 上 肺 癌 ； B 吸 烟 者 9 、 某 型 号 的 高 射 炮 ， 每 门 命 中 敌 机 的 概 率 为 0 .4 ， 现 若 干 门 炮 同 时 射击 ， 欲 以 9 9 的 把 握 击 中 敌 机 ， 问 至 少 要 配

6、置 几 门 高 射 炮 ？ 解 ： 由 解 得 1 0 、 一 居 民 区 间 有 6 部 户 用 电 话 ， 平 均 每 小 时 每 用 户 用 6 分 钟 ， 而 且 各 用户 是 否 用 电 话 是 相 互 独 立 的 。 求 （ 1 ） 刚 好 有 2 户 用 电 话 的 概 率 ； （ 2 ） 至 少 有 2 户 用 电 话 的 概 率 ； （ 3 ） 最 多 有 2 户 用 电 话 的 概 率 。解 ： A 用 户 使 用 电 话 1 ） 2 ）3 ） 第 一 章 自 测 题1 、 设 在 一 次 实 验 中 ， 事 件 A发 生 的 概 率 为 p ， 现 进 行 n 次 独 立

7、 重 复 试 验 ， 则 A至 少 发 生 一 次 的 概 率 是 多 少 ？ 事 件 A至 多 发 生 一 次 的 概 率是 多 少 ？ 解 ：2 、 三 个 箱 子 ， 第 一 个 箱 子 中 有 4 个 黑 球 1 个 白 球 ， 第 二 个 箱 子 中 有 3 个 黑 球 3 个 白 球 ， 第 三 个 箱 子 中 有 3 个 黑 球 5 个 白 球 。 现 随 机 地 取 一 箱 ， 再 从这 个 箱 子 中 取 出 一 球 ， 求 这 个 球 为 白 球 的 概 率 。 若 已 知 取 出 的 一 球 为 白 球 ， 此 球 属 于 第 二 个 箱 子 的 概 率 是 多 少 ？解

8、 ： 从 第 i个 箱 子 里 取 球 ； B 取 到 白 球 3 、 设 三 次 独 立 试 验 中 ， 事 件 A出 现 的 概 率 相 等 ， 若 已 知 A至 少 出 现 一 次 的 概 率 等 于 1 9 /2 7 ， 则 事 件 A在 一 次 实 验 中 出 现 的 概 率 为 多 少 ？解 ： 4 、 设 1 0 件 产 品 中 有 4 件 不 合 格 品 ， 从 中 任 取 两 件 ， 已 知 所 取 的 两 件 产 品 中 有 一 件 是 不 合 格 品 ， 求 另 一 件 也 是 不 合 格 品 的 概 率 。解 ： 有 i件 不 合 格 品 5 、 设 工 厂 A和 工

9、厂 B的 次 品 率 分 别 为 1 和 2 ， 现 从 由 A和 B的 产 品 分 别 占 6 0 %h e 4 0 %的 一 批 产 品 中 随 机 地 抽 取 一 件 ， 发 现 是 次 品 ， 则 该 次 品属 于 A生 产 的 概 率 是 多 少 ？ 解 ： A 从 A厂 中 取 ； B 从 B厂 中 取 ； C 取 到 次 品 6 、 假 设 一 批 产 品 中 一 、 二 、 三 等 品 各 占 6 0 ， 3 0 ， 1 0 ， 从 中 任 意 取 出 一 件 ， 结 果 不 是 三 等 品 ， 则 取 到 的 是 一 等 品 的 概 率 是 多 少 ？解 ： 取 到 i等 品

10、 （ i 1 ， 2 ， 3 ） 7 、 设 两 个 相 互 独 立 的 事 件 A和 B都 不 发 生 的 概 率 为 1 /9 ， A发 生 B不 发 生 的 概 率 与 B发 生 A不 发 生 的 概 率 相 等 ， 求 P（ A） 。 解 ： 由 得 到 8 、 一 射 手 对 同 一 目 标 独 立 的 进 行 4 次 射 击 ， 若 至 少 命 中 一 次 的 概 率 为8 0 /8 1 ， 求 该 射 手 的 命 中 率 。 解 ： 设 命 中 率 为 p ， 则 有9 、 设 有 来 自 三 个 地 区 的 各 1 0 名 ， 1 5 名 ， 和 2 5 名 考 生 的 报 名

11、 表 ， 其 中 女 生 的 报 名 表 分 别 为 3 份 ， 7 份 和 5 份 ， 随 机 地 取 一 个 地 区 的 报 名 表 ， 从 中先 后 抽 取 两 份 。 （ 1 ） 求 先 抽 到 的 一 份 是 女 生 表 的 概 率 ；（ 2 ） 已 知 后 抽 到 的 一 份 是 男 生 表 ， 求 先 抽 到 的 一 份 是 女 生 表 的 概 率 。 解 ： 取 第 i个 地 区 ； （ i 1 ， 2 ） ； B 第 i份 取 到 女 生 的 报 名 表 （ i1 ， 2 ， 3 ） 1 ） 2 ） 1 0 、 设 A、 B、 C两 两 独 立 ， 证 明 A、 B、 C相

12、互 独 立 的 充 要 条 件 是 A与 BC独 立 。 证 明 ：1 1 、 一 实 习 生 用 一 台 机 器 接 连 独 立 地 制 造 3 个 同 种 零 件 ， 第 i个 零 件 不 合 格 的 概 率 为 ， （ i=1 ， 2 ， 3 ） ， 以 X表 示 3 个 零 件 中 合 格 品 的 个 数 ， 求P（ X 2 ） . 解 ： 第 i个 零 件 合 格 1 2 、 甲 袋 中 有 2 个 白 球 1 个 黑 球 ， 乙 袋 中 有 1 个 白 球 2 个 黑 球 ， 从 甲 袋 中 任 取 1 球 放 入 乙 袋 ， 再 从 乙 袋 任 取 1 球 放 入 甲 袋 ， 求

13、 甲 袋 中 仍 是 2 个 白 球 1 个黑 球 的 概 率 。 解 ： A 从 甲 袋 中 取 白 球 ； B 从 乙 袋 中 取 白 球 1 3 、 1 架 长 机 和 2 架 僚 机 一 同 飞 往 某 目 的 地 进 行 轰 炸 ， 但 要 到 达 目 的 地 非 有 无 限 电 导 航 不 可 ， 而 只 有 长 机 具 有 此 项 设 备 。 一 旦 到 达 目 的 地 ， 各 机将 独 立 进 行 轰 炸 ， 且 轰 炸 目 标 的 概 率 均 为 0 .3 。 在 到 达 目 的 地 之 前 ， 必 须 经 过 高 射 炮 阵 地 上 空 ， 此 时 任 一 飞 机 被 击

14、落 的 概 率 为 0 .2 ， 求 目 标 被炸 毁 的 概 率 。 解 ： A 长 机 到 达 目 的 地 ； 有 i台 僚 机 到 达 目 的 地 （ i 0 ， 1 ， 2 ） C 目 标 被 击 毁 而 （ i 0 ， 1 ， 2 ） 第 二 章 复 习 题 1 、 设 随 机 变 量 相 互 独 立 且 密 度 函 数 相 同 ， 均 为Y表 示 中 取 值 大 于 的 随 机 变 量 的 个 数 ， 求 。 解 ： 2 、 向 区 间 内 随 机 投 掷 1 0 个 点 ， 求 区 间 （ 0 .6 ， 0 .8 ） 内 至 少 有 一 个 点 的 概率 。 解 ： 第 i个 落

15、 点 的 坐 标 ； Y 落 在 指 定 区 间 的 点 的 个 数 U（ 0 ， 1 ） ； Y b （ 1 0 ， 0 .2 ） 3 、 设 ， 且 二 次 方 程 无 实 根 的 概 率 为 0 .5 ， 求 。解 ： 4 、 在 电 源 电 压 不 超 过 2 0 0 伏 、 2 0 0 2 4 0 伏 、 超 过 2 4 0 伏 三 种 情 况 下 ， 某 种 电 子 元 件 损 坏 的 概 率 分 别 为 0 .1 、 0 .0 0 1 、 0 .2 ， 假 设 电 源 电 压 ， 求1 ） 、 该 元 件 损 坏 的 概 率 ； 2 ） 、 该 电 子 元 件 损 坏 时 ， 电

16、 源 电 压 在 2 2 0 2 4 0 伏 的 概 率解 ： 1 ） A 元 件 被 损 坏2 ） 5 、 假 设 一 长 家 生 产 的 每 台 仪 器 以 概 率 0 .7 0 可 以 直 接 出 厂 ， 以 概 率 0 .3 需 进 一 步 调 试 ， 经 调 试 后 以 概 率 0 .8 可 以 出 厂 ， 以 概 率 0 .2 定 位 不 合 格 不 能出 厂 。 现 该 长 生 产 了 台 仪 器 （ 假 设 各 台 仪 器 的 生 产 过 程 相 互 独 立 ） ， 求 （ 1 ） 全 部 能 出 厂 的 概 率 ；（ 2 ） 其 中 恰 有 两 件 不 能 出 厂 的 概 率

17、 ； （ 3 ） 其 中 至 少 有 两 件 不 能 出 厂 的 概 率 。解 ： A 产 品 为 合 格 品 ； B 经 调 试 后 为 合 格 品 ； C 产 品 可 以 出 厂 X 可 以 出 厂 的 产 品 数 量1 ） 2 ）3 ） 6 、 某 地 抽 样 结 果 表 明 ， 考 生 的 外 语 成 绩 X（ 百 分 制 ） 近 似 服 从 正 态 分布 ， 9 6 分 以 上 占 考 生 总 数 的 2 .3 ， 求 考 生 的 外 语 成 绩 在 6 0 分 到 8 4 分 之 间 的 概 率 。解 ： 7 、 设 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为 f(x )， 求 下

18、列 随 机 变 量 Y的 概 率 密 度 ： 1 ）解 ： 1 ） 当 y 0 时 2 ） 3 ） 当 时 当 y 0 时 8 、 假 设 随 机 变 量 X在 (1 ,2 )上 服 从 记 均 匀 分 布 ， 试 求 随 机 变 量 的 概 率 密度 。 解 ： ， 当 时当 时 当 时 9 、 假 设 随 机 变 量 X服 从 参 数 为 2 的 指 数 分 布 ， 证 明 在 区 间 (1 ,2 ),内 服 从 均 匀 分 布 。解 ： , 即 证 1 0 、 设 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为 ， 求 随 机 变 量 的 分 布 函 数 。解 ： 第 三 章 复 习 题1 、

19、 设 Y服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 ， 令 求 1 ） 的 联 合 分 布 ； 2 ） 在 下 的 条 件 分 布 。解 ： 1 )、 2 )、2 设 某 班 车 起 点 站 上 客 人 数 X服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 每 位 乘 客 中 途 下 车 的 概 率 为 p （ 0 p 1 ） 且 中 途 下 车 与 否 相 互 对 立 。 以 Y表 示 在 中途 下 车 的 人 数 ， 求 1 ） 在 发 车 时 有 n 个 乘 客 的 条 件 下 ， 中 途 有 m人 下 车 的 概 率 ；2 ） 二 维 随 机 变 量 的 联 合 概 率 分 布 。 解 ： 1

20、 ） 、 （ 0 mn ）2 ） 、 三 、 设 随 机 变 量 X， Y的 联 合 分 布 是 正 方 形 上 的 均 匀 分 布 ， 试 求 的 概 率密 度 。 解 ： 四 、 设 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立 ， 且 都 服 从 参 数 为 p （ 0 p 1 ） 的 0 1 分布 ， 定 义 ， 1 ） 求 Z的 分 布 率 ；2 ） 求 X与 Z的 联 合 分 布 率 ； 3 ） p 为 何 值 时 ， X与 Z相 互 独 立 。解 ： ； 1 ）2 ） 3 ） 由 相 互 独 立 的 定 义 得 ：所 以 解 得五 、 设 的 联 合 密 度 为 求 X与 Y中 至 少

21、 有 一 个 小 于 1 /2 的 概 率 。解 ： 六 、 一 电 子 仪 器 由 两 个 部 件 构 成 ， 以 X和 Y分 别 表 示 两 部 件 的 寿 命（ 单 位 ： 千 小 时 ） ， 已 知 X,Y的 联 合 分 布 函 数 为 1 ） 问 X、 Y是 否 独 立 ？ 2 ） 求 两 个 部 件 的 寿 命 都 超 过 1 0 0 小 时 的 概 率 。解 ： 1 ） 由 得 两 者 相 互 独 立2 ） 七 、 已 知 随 机 变 量 和 的 概 率 分 布 为 而 且 ， 求 1 ） 的 联 合 分 布 率 ；2 ） 问 是 否 对 立 ？ 解 ： 1 ） ， （ 类 似

22、可 以 得 到 其 它 的 概 率 分 布 ） x 1 -1 0 1 0 0 1 0 0 2 ) 所 以 不 相 互 独 立八 、 设 随 机 变 量 相 互 对 立 ， 且 具 有 相 同 的 分 布 率 ： ， ， 求 行 列 式 的 概 率 分 布 。解 ： 九 、 设 随 机 变 量 X， Y相 互 独 立 ， 且 都 服 从 几 何 分 布 ： ， ， 求 的 分 布 率 。解 ： 十 、 设 二 维 随 机 变 量 在 矩 形 区 域 上 服 从 均 匀 分 布 ， 试 求 边 长 为 X和 Y的 矩 形 面 积 S的 概 率 密 度 。解 ： 第 三 章 自 测 题三 、 计 算

23、 题 1 、 传 送 1 5 个 信 号 ， 每 个 信 号 在 传 递 过 程 中 失 真 的 概 率 为 0 .0 6 ， 每 个 信号 是 否 失 真 相 互 独 立 ， 试 求 1 ） 恰 有 一 个 信 号 失 真 的 概 率 ；2 ） 至 少 有 两 个 信 号 失 真 的 概 率 。 解 ： 记 X为 1 5 个 信 号 中 传 递 失 真 的 个 数 ， 则 X B（ 1 5 ， 0 .0 6 ）1 ） 2 ） 、 2 、 某 种 型 号 晶 体 管 的 寿 命 X的 概 率 密 度 为一 台 设 备 中 装 有 此 种 晶 体 管 3 个 ， 求 在 使 用 最 初 1 5

24、0 0 小 时 内 1 ） 没 有 晶 体 管 损 坏 的 概 率 ；2 ） 至 少 有 一 个 晶 体 管 损 坏 的 概 率 P（ 假 设 晶 体 管 损 坏 与 否 相 互 独 立 ） 。解 ： 记 X为 没 有 损 坏 的 晶 体 管 的 个 数 ， X b (3 ,)1 ) 2 ) 3、 测 量 误 差 X服 从 ,必 须 要 测 量 多 少 次 才 能 使 至 少 有 一 次 误 差 不 超 过 1 0 m的 概 率 大 于 0 .9 解 ： 设 测 量 次 数 为 n， 由 题 意 有 4、 一 信 息 同 时 经 过 三 条 信 道 独 立 的 自 A传 输 到 B， 假 定

25、这 三 条 信 道 的 传 输 时 间 都 是 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 分 别 为 ， 求 信 息 最 先 到 达 B的 时 间 的概 率 密 度 解 ： 记 ， 5、 将 n个 球 随 机 的 放 入 标 有 1， 2 n的 n个 盒 子 中 去 ， 每 个 盒 子 撞 球 的 个数 不 限 ， 设 有 球 的 盒 子 的 最 大 标 号 为 X， 求 X的 分 布 率 解 ： 样 本 空 间 的 样 本 点 个 数 ：事 件 所 含 的 样 本 点 个 数 ： ， 即 n个 球 放 到 k个 盒 子 中 的 样 本 点 个 数 除 掉 n个 球 放 到 k-1个 盒 子 中

26、 的 样 本 点 个 数 。 6、 已 知 随 机 变 量 X的 分 布 函 数 单 调 连 续 ， 求 的 概 率 密 度 解 ： 7、 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立 ， 其 中 X的 概 率 分 布 为 ， 而 Y的 概 率 密 度 为 ，求 随 机 变 量 U X+Y的 概 率 密 度 解 ： 第 四 章 复 习 题1 、 设 X的 密 度 函 数 为 ， 不 作 积 分 计 算 出 DX 解 ： 由 2 、 独 立 的 抛 n 次 硬 币 ， 用 Y表 示 正 面 出 现 的 次 数 ， X表 示 反 面 出 现 的 次 数 ， 求 X与 Y的 相 关 系 数解 ： 3 、

27、在 长 为 a的 线 段 上 任 意 取 两 点 长 度 的 数 学 期 望 。 解 ： 设 4 、 将 n 只 球 （ 1 n 号 ） 随 机 地 放 进 n 只 盒 子 （ 1 n 号 ） 中 去 ， 一 只 盒 子 装 一 只 球 。 若 一 只 球 装 入 与 球 同 号 的 盒 子 中 ， 称 为 一 个 配对 ， 记 X为 总 的 配 对 数 ， 求 EX。 解 ： 表 示 所 有 配 对 的 个 数 5 、 设 X为 随 机 变 量 ， C是 常 数 ， 证 明 ， 对 于 。解 ： 6 、 设 有 密 度 函 数 ， 求 。解 ： 记 7 、 自 动 生 产 线 在 调 整 正

28、 常 情 况 下 生 产 出 废 品 的 概 率 为 p ， 在 出 现 一个 废 品 后 立 即 进 行 调 整 ， 求 在 第 一 次 调 整 后 第 二 次 调 整 前 所 生 产 的 平 均 产 品 数 。解 ： 设 第 一 次 调 整 后 与 第 二 次 调 整 前 生 产 的 产 品 数 为 X， 则 ：8 、 已 知 协 方 差 矩 阵 为 ， 求 与 的 相 关 系 数 。 解 ： 9 、 设 X的 密 度 函 数 仅 当 时 非 零 ， 证 明 。证 明 ： 1 0 、 已 知 ， 令 ， 求 ， ， 。 解 ： 由 已 知 1 1 、 设 X与 Y独 立 ， 且 都 服 从

29、 N（ 0 ， 1 /2 ） ， 求 D|X-Y|。解 ： 由 已 知 1 2 、 中 秋 节 期 间 某 食 品 商 场 销 售 月 饼 ， 每 出 售 一 公 斤 可 获 利 a元 ， 过 了 季 节 就 要 处 理 剩 余 的 月 饼 ， 每 出 售 一 公 斤 净 亏 损 b 元 。 设 该 商 场 在 中 秋节 期 间 月 饼 销 售 量 X（ 单 位 ： 公 斤 ） 服 从 m， n 上 的 均 匀 分 布 。 为 使 商 场 中 秋 节 期 间 销 售 月 饼 获 利 最 大 ， 该 商 场 应 购 进 多 少 月 饼 。解 ： 设 进 货 量 为 y ， 销 售 量 为 X，

30、则 X U(m,n ) 则 利 润要 使 得 达 到 最 大 值 ， 即 当 时 第 四 章 自 测 题6 、 某 流 水 生 产 线 上 每 个 产 品 不 合 格 的 概 率 p ， 各 产 品 合 格 与 否 相 互 独 立 ， 当 出 现 一 个 不 合 格 产 品 时 即 停 机 检 修 ， 设 开 机 后 第 一 次 停 机 时 已 生产 了 的 产 品 个 数 为 X， 求 X的 数 学 期 望 和 方 差 。 解 ： 7 、 设 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为（ 1 ） 求 ， ； （ 2 ） 求 与 的 协 方 差 ， 并 问 与 是 否 相 关 ？（ 3

31、） 问 与 是 否 独 立 ？ 为 什 么 ？ 解 ： 1 ） 2 ） 3 ） X与 |X|不 相 互 独 立 8 、 设 随 机 变 量 X和 Y相 互 独 立 ， 且 都 服 从 同 一 分 布 ， X的 概 率 密 度 为 ，0 aa 22 0a a2 2记 事 件 已 知 ， （ 1 ） 求 常 数 a;（ 2 ） 求 。 解 ： 1 ） 2 ） 9 、 设 X是 在 a,b 上 取 值 的 随 机 变 量 ， 证 明 X的 数 学 期 望 与 方 差 满 足 证 明 ： 1 ） 2 ） 现 在 取 1 0 、 设 X、 Y为 两 个 随 机 变 量 ， 证 明 ： 对 任 意 实 数 a,b ,c,d ， 都 有 证 明 ：