概率论例题.pdf

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1、10 1/2, ( ).a bp q a例1. （赌徒破产模型）：甲有本金元，决心再赢元就停止赌博。设甲每局赢的概率是 = 每局输赢都是一元钱，甲输光后停止赌博，求甲输光的概率 (0) 1, ( ) 0, ( ) ( ) k kA B kq q a bq k P B 解： 设 赌博时甲赢， =甲有本金元时最后输光，据题意得， 且1 1( ) ( | ) ( ) ( | )1 1= ( ) ( )2 2k kk kP A P B A P A P B AP B P B 1 1( ) ( 1) ( 1), 1,2, , ,2 2(0) 1, ( ) 0,q k q k q k k a bq q a

2、b 由此得： ( ) .bq a a b 解之得： a b上式表明：当甲的本金有限，则贪心越大，输光的概率就越大。问题：如果甲每局赢的概率变大或变小，结果将有何变化？ 11 12 9 33 3例1. ：盒中有 只乒乓球，其中有只新的，只旧的。第一次比赛时从中任取只（用过即为旧的），比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时再从中任取只，求第二次取出的球都是新球的概率。 XY解：令随机变量 表示第一次比赛时取出的新球数， 随机变量 表示第二次比赛时取出的新球数。 , =0,1,2,3X i i则事件 构成样本空间的一个分割，所求概率为 =3P Y 3=0= = =3| =i P X i P Y X i 3

3、 33 9 3 93 3=0 12 12= 0.1458.i i ii C C CC C 例1.13：商店出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.某顾客选中一箱，若从中任选4只检查，结果都是好的，便买下这箱玻璃杯.问顾客买下的箱子中有一个次品的概率是多少？ 4 , . iBA i i 解:设 从该箱中任取只检查结果都是好的= 箱中含有只次品, 0,1,2. 0 1 2( ) 0.8, ( ) 0.1, ( ) 0.1P A P A P A 据题意得： ，0( | ) 1,P B A 4191 420 4( | ) ,5CP B A C 4182

4、 420 12( | ) .19CP B A C 由贝叶斯公式得 1 11 20 ( ) ( | )( | ) ( ) ( | )i ii P A P B AP A B P A P B A 40.1 195 .4 12 2240.8 1 0.1 0.15 19 2.3 X例 :一个正方体容器盛有3/4的液体，假设在其六个侧面(含上、下两个底面)的随机部位出现了一个小孔，液体自此小孔流出。求剩余液体液面的高度 的分布函数。 0 ( ) 0;x F x 当 时，0 3/4x 当 时， ( ) 0 0F x P X x P X P X x 46 1 1 40 | ;6i ii xP A P A P

5、X x A 3/4 1.x F x 当 时， 1,2, ,6. 1,2,3,44 56iA i i ii 解：不妨假定正方体容器的棱长为1,小孔出现在第个侧面， 其中分别表示个侧面， ，分别表示上、下底面. 2.9: 90 , 0011 05%2 390 3 30例 设同类设备 台设备是否工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是. .在通常情况下,一台设备发生故障可由一个人独立维修,同时每人也只能维修一台设备。问至少要配备多少维修工人,才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于. ；现考虑两种配备维修工人的方法,其一是由个人共同负责 台;其二是由个人各自独立负责 台。问哪种方法在设备发生故

6、障时不能及时维修的概率低？ 22.22 0,11, XY X X Y 例 ：设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求 的概率密度函数。2 2 1 ( 1/2) 3/4 0,1 ( ) -3/4-1/2, 1 3,y x x xx h y y y 解:由于 在区间 上严格单调增加且可导，其反函数为 1 0, 1 3,2 -3/4h y yy 且 = | |Y XY f y f h y h y因此 的概率密度函数为1 1, 1 3, , 1 3,2 -3/4 4 -3= =0, 0, .y yy y 其他， 其他 1, 0 1,= 0, X xf x 而 其他， 1, 1;224 2 , 2 , 1

7、.XX E Y X XY 例. ：设求随机变量 的分布函数。答案 2 20, 11 e , 1 2;1 e , 2.1 1 e .Y y yF y yyP Y ；注意： 2 222.2 : ,0 0 0;, 0 1,0 1;( , ) , 0 1,1 ;, 1 ,0 1;1, 1 ,1 .1 13, 1 .2 3X Yx yx y x yF x y x x yy x yx yX YP X Y 例3 已知二维随机变量 的联合概率分布函数为， 或 求(1) 和 的边缘分布函数； (2) 2Y 0, 0;lim , = , 0 1;1, 1.x yF y P Y y F x y y yy 20, 0

8、;lim , = , 0 1;1, 1.X y xF x P X x F x y x xx 解: (1) 1 1 3, 12 31 1 1 1 1 3, , 1 , 3, 1 .3 2 2 3 12P X YF F F F (2) 23.11: , , ; ( , ) 0, .1 ; 2X Y c x y xf x yc X 例 设 的联合概率密度函数为其他求 常数 随机变量 的边缘概率密度函数。x y x2y x 10 解: (1)由规范性 210d d 1xxx c y 6.c (2) ( ) ( , )dXf x f x y y 26d , 0 1,xx y x 0, 0 1;x or

9、x 26( ), 0 1;0, 0 1 .x x xx or x 0,601 , 0 60,0 60; ( , ) 36000, X Y X YX U x yf x y 解:设 、 分别表示甲、乙到达的时刻，则 与 独立同分布，它们的联合概率密度函数为 否则。例3.15: 甲乙约定8:00 9:00在某地会面。假设两人都在这期间的任一时刻随机到达，先到者最多等待15分钟后就离开。求两人能见面的概率。 45 45 7| | 15 1 .3600 3600 16P X Y 所以，两人能见面的概率为阴影图像的面积 | | 15 ,X Y 根据题意，两人能见面 6060 o 15x y 15y x 1

10、515 xy 2 2. , 21 1 ( , ) 4 0X Y x y x yf x y 例316:已知 的联合概率密度为， ， 其他。 |1 ( | );1 1 2 | .3 3Y Xf y xP Y X 求 条件概率密度条件概率 xy1-1 10D 解:（1） ( ) ( , )dXf x f x y y21 221 d , 1 1,40, 1 or 1;x x y y xx x 2 421 1 , 1 1,80, x x x 其他。xy1-1 10D |-1 1, 0( , )( | ) ( )Y X Xx xf x yf y x f x 当 且 时， 1 |1/31 41/31 1 1

11、 2 | ( | )d3 3 32 9 d .1011 3Y XP Y X f y yy y 242 , 1,10, y x yx 其他。 | |. , 0 2,max 0, 1 min 1, ,( , ) 0, 1 ( ), ( ); (2) ( | ), ( | ); (3) X YX Y Y XX Yx x x y xf x yf x f yf x y f y xX Y 例317:设 的联合概率密度函数为其他。求 与 独立吗？ Y再求 的边缘概率密度函数：( ) ( , )dYf y f x y x 1 d , 0 1,yy x x y 0, 0 1;y or y 1 2 , 0 1,2

12、0, y y 其他。 1 X解: 先求 的边缘概率密度，分四种情况讨论。0 ( ) 0Xx f x 当 时， ；2 ( ) 0Xx f x 当 时， ； 200 1 ( ) ( , )d d ;xXx f x f x y y x y x 当 时， 1 2-11 2 ( ) ( , )d d 2 .X xx f x f x y y x y x x 当 时， 1 1 1y x y x 2 xy |2 0 1 ( , ) | ( )XY Yy f x yf x y f y 当 时， 2 , 1 ,1 20, x y x yy 其他。 |0 1 ( , ) | ( )Y X Xx f x yf y x

13、 f x 当 时， 1, 0 ,0, y xx 其他。 |1 2 ( , ) | ( )Y X Xx f x yf y x f x 当 时， 1 , 1 1,20, x yx 其他。 2 2 Y2 2Y 3 , 0 1, 1 2 , 0 1,( ) 2 , 1 2, 20, 0, 1 2 , 0 1,0 1,21 2 2( ) , 1 2,0 1,20, X X x x y yf x x x x f yx y x yy x xf x f y x y 因为 其他;其他; ( , )f x y X Y 其他。所以，随机变量 与 不独立。 341 XY X Y Z X YZ 例3.25:设随机变量

14、服从参数为 的两点分布，随机变量服从参数为的指数分布，且 与 相互独立，令 ，求 的分布。 ZF z P Z z P X Y z 0 1 1P X P Y z P X P Y z /4 3 1 /4,Y YF z F z ( 1)0, 0,1 e , 0 1,44 e 3e , 1.4zz z z zz 解: 例4.10: 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车。设乘客不知道发车时间，于每小时的任意时刻随机到达车站，求乘客的平均候车时间。解: 设乘客于某时X 分到达车站,候车时间为Y, 则10 , 0 10;30 , 10 30;( ) 55 , 30 55;70 , 55 60.X

15、 XX XY g X X XX X 1 , 0 60; ( ) 600, .X xf x 故 其他6001 E( ) ( ) ( )d ( )d60XY g x f x x g x x 因此=10分25秒。 10 30 55 600 10 30 551 (10 )d (30 )d (55 )d (70 )d60 x x x x x x x x (0,60),X U据题意， 1,2, ,10.iX i i 解:设 为第组的化验次数,1000X表示 人所需要的化验次数，10=1 = .iiX X则例4.13:设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每1

16、00个人一组,把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过；如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数。 10011000 1 0.99100 10 101 1E( ) E Ei ii iX X X 100 10010 0.99 101 (1 0.99 ) 644. 100 100E 0.99 101 (1 0.99 ), 1,2, ,10.iX i 100 100 1 101 (99%) 1 (99%)iiXXP . 例414:理发店里有甲乙丙三个顾客，假定理发店对三个顾客的服务时间都服从参数为 的指数分布.对顾客甲和乙立即开始服务，在对甲或乙服务结束

17、后开始对丙服务，对每个人服务所需的时间是独立的。求丙在理发店的等待时间与逗留时间（逗留时间等于等待时间与服务时间之和）的数学期望。 , ,W min , V W Z.X Y ZX Y 解:设随机变量 分别表示顾客甲、乙、丙所需要的服务时间，则丙在店内的等待时间和逗留时间分别为 = ， 52: 0.75, ,0.74 0.76 0.90?An nA例. 设每次试验中,事件 发生的概率为 试用切比雪夫不等式估计,多大时,才能在 次独立重复试验中事件出现的频率在 之间的概率大于 ,X n A解:设 表示次独立重复试验中事件 发生的次数则 ,0.75X B n0.74 0.76 0.90 .XP nn

18、 由 ，求 0.01 ,n 由切比雪夫不等式，取 故 55 1000012 0.6%1000例.:设一家保险公司里有 个人参加寿命保险，每人每年付 元保险费。在一年内一个人死亡的概率为 ，死亡时其家属可向保险公司领得 元，问:保险公司亏本的概率有多大? X解:设 表示一年内死亡的人数， , , 10000, 0.6%,X B n p n p 则 其中 12 10000 1000 ,Y Y X 设 表示保险公司一年的利润，则 0 12 10000 1000 0 1 120120 10000 0.006 1 0. 100 0.006 0.994P Y P XP X 于是由中心极限定理得 . 20.

19、05 0.8 0.15.例56:对于一个学生而言，参加家长会的家长人数是一个随机变量。设一个学生无家长、有1名家长、名家长来参加会议的概率分别为 、 、 若学校共有400名学生，各学生参加会议的家长人数相互独立,且服从同一分布.求（1）参加会议的家长人数超过450人的概率；（2）有1名家长来参加会议的学生人数不多于340人的概率。 40011 ( 1, ,400),n k n kkS X kk S X 解: 用 表示参加会议的家长人数，表示第个学生来参加会议的家长人数，则 且 0 1 2 0.05 0.8 0.15kX kXPE( ) 1.1, D( ) 0.19.k kX X 通过计算得，

20、450 1 450450 400 1.1 1 1 1.147 0.126.400 0.19n nP S P S 2 B(400,0.8).Y Y 用 表示有1名家长参加会议的学生人数，则 根据中心极限定理，有 340 400 0.8340 400 0.8 0.2 1 2.5 0.9938.P Y . , 1/3. 100 280 320 .XP X 例59:售报员在报摊上卖报已知每个过路人在报摊上买报的概率为 令 是出售了 份报时过路人的数目，求 11,2, ,100,iX i ii 令 表示售出了第 份报纸后到售出第份报纸时的过路人数, 则解: E( ) 300, D( ) 600.X X

21、(300,600),dX Y N由中心极限定理得： 280 320320 300 280 300 600 60020 2 1 0.5858.600P X 所以 1001 2 100 1, , , , ,kkX X X X X因为 相互独立 1 62 21 2 3 4 5 62 (1,1), , , ( 2) ( ), ,X N X X XY a X X b X X X Xa b Y 例6.8:设总体 是来自总体 的样本,试确定常数 使 服从 分布。 212 21, , , ,1= ( )-1 nn iiX X NS X Xn 例6.9:设 是取自 的样本求样本方差 的数学期望与方差。 1 2

22、50 , 1;: ( ) 0, 1., , , ,1 ; 2 0.02 . x xX f x xX X X XX P X 例6.11设总体 的概率密度函数为为来自总体 的样本求的数学期望与方差 111 E( ) E( ) d 0,X X x x x 解 2 1 12 31 01 1D( ) D( ) E( )50 501 2 1d d ,50 50 100X X Xx x x x x (2) d (0,0.01), X Y N因为 根据中心极限定理 0.02 1 0.02P X P X 所以， 0.02 02 1 0.1 0.8415. 2 1 0.2 1, , ,0, nX E X X Xa

23、 p P X a 例7.8:设 是来自总体 的样本，给定实数 求 的极大似然估计。解: X E 因为 ，所以似然函数为 1 e , 0 1, , ;0, in x ii x i nL ，否则,1e , 0 1, , ;0, n ii xn ix i n ，否则。 1d 0,d n iin x 1 1= .n ii n XX 解之得MLE： =1 e ,ap P X a 又因为 p所以，的极大似然估计为 1 e =1 e .aa Xp 1ln ,n iin x 对数似然函数为 10, , , ,0 nX U X X X 例7.9:设 是来自总体 的样本，未知，求参数 的极大似然估计。解: 0,X

24、 U 因为 ，所以似然函数为 11 1, 0 , , ; , ;0, 0, n nn nx x xL 否则, 否则, L 要使得函数 达到最大，只要参数 尽可能小，从而得到参数 的极大似然估计为 = .nX 1 1, 1 , , , nX U X XX 例7.10:设 是来自总体的一个样本求 的极大似然估计。 解: 1, 1X U 因为 ，所以似然函数为 1 11 1, 1 , , 1; , 1 1;2 20, 0, n nn nx x x xL 否则， 否则， L 要使得函数 达到最大，只要参数 满足条件 从而得到参数 的极大似然估计为 11 1nx x 11, 1 .nX X 由此可知，极

25、大似然估计不唯一。 12 2: , , , ,nX X X B m pp 例7.1 设 是来自总体 的一个样本求 的无偏估计量。 分析：由于样本原点矩是总体原点矩的无偏估计量，故利用数学期望的线性运算性质，只要将未知参数表示成总体原点矩的线性函数，然后用样本原点矩作为总体原点矩的估计量，就可求得未知参数的无偏估计量。 解: 22E , E( ) (1 ),X mpX mp mp p 因为 2p故 的无偏估计量为 2 22 1 11 1 1 1 .1n ni i ii ip X X X Xm m n m m n 2 21E X , 1E ,n iiXX Xn 而 2 21 E( ) E .1p X Xm m 所以