ag体育app高一数学导数及其运用练习题.pdf

《ag体育app高一数学导数及其运用练习题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ag体育app高一数学导数及其运用练习题.pdf（22页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、官 方 直 通 车 ag1 8 6 丶 cn本 资 料 来 源 于 七 彩 教 育 网 导 数 单 元 检 测 二29 已 知 函 数 3 21 1( ) 3 2f x x ax bx 在 区 间 11) ， ， (13， 内 各 有 一 个 极 值 点 （ I） 求 2 4a b 的 最 大 值 ；（ II） 当 2 4 8a b 时 ， 设 函 数 ( )y f x 在 点 (1 (1)A f， 处 的 切 线 为 l， 若 l在 点 A处 穿过 函 数 ( )y f x 的 图 象 （ 即 动 点 在 点 A附 近 沿 曲 线 ( )y f x 运 动 ， 经 过 点 A时 ， 从 l的

2、 一 侧 进 入 另 一 侧 ） ， 求 函 数 ( )f x 的 表 达 式 解 ： （ I） 因 为 函 数 3 21 1( ) 3 2f x x ax bx 在 区 间 11) ， ， (13， 内 分 别 有 一 个 极 值 点 ， 所以 2( )f x x ax b 0 在 11) ， ， (13， 内 分 别 有 一 个 实 根 ，设 两 实 根 为 1 2x x， （ 1 2x x ） ， 则 22 1 4x x a b ， 且 2 10 4x x 于 是20 4 4a b ， 20 4 16a b ， 且 当 1 1x ， 2 3x ， 即 2a ， 3b 时 等 号成 立 故

3、 2 4a b 的 最 大 值 是 16（ II） 解 法 一 ： 由 (1) 1f a b 知 ( )f x 在 点 (1 (1)f， 处 的 切 线 l的 方 程 是(1) (1)( 1)y f f x ， 即 2 1(1 ) 3 2y a b x a ，因 为 切 线 l在 点 (1 ( )A f x， 处 空 过 ( )y f x 的 图 象 ，所 以 2 1( ) ( ) (1 ) 3 2g x f x a b x a 在 1x 两 边 附 近 的 函 数 值 异 号 ， 则1x 不 是 ( )g x 的 极 值 点 而 ( )g x 3 21 1 2 1(1 )3 2 3 2x a

4、x bx a b x a ， 且2 2( ) (1 ) 1 ( 1)( 1 )g x x ax b a b x ax a x x a 若 1 1 a ， 则 1x 和 1x a 都 是 ( )g x 的 极 值 点 所 以 1 1 a ， 即 2a ， 又 由 2 4 8a b ， 得 1b ， 故 3 21( ) 3f x x x x 解 法 二 ： 同 解 法 一 得 2 1( ) ( ) (1 ) 3 2g x f x a b x a 21 3 3( 1) (1 ) (2 )3 2 2ax x x a 因 为 切 线 l在 点 (1 (1)A f， 处 穿 过 ( )y f x 的 图

5、象 ， 所 以 ( )g x 在 1x 两 边 附 近 的 函 数 值 异号 ， 于 是 存 在 1 2m m， （ 1 21m m ） 当 1 1m x 时 ， ( ) 0g x ， 当 21 x m 时 ， ( ) 0g x ；或 当 1 1m x 时 ， ( ) 0g x ， 当 21 x m 时 ， ( ) 0g x 设 2 3 3( ) 1 22 2a ah x x x ， 则当 1 1m x 时 ， ( ) 0h x ， 当 21 x m 时 ， ( ) 0h x ；或 当 1 1m x 时 ， ( ) 0h x ， 当 21 x m 时 ， ( ) 0h x 由 (1) 0h 知

6、 1x 是 ( )h x 的 一 个 极 值 点 ， 则 3(1) 2 1 1 02ah ，所 以 2a ， 又 由 2 4 8a b ， 得 1b ， 故 3 21( ) 3f x x x x 30 已 知 函 数 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 1tf x x t x x x t ， 1( ) ( )2g x f x （ I） 证 明 ： 当 2 2t 时 ， ( )g x 在 R上 是 增 函 数 ；（ II） 对 于 给 定 的 闭 区 间 a b， ， 试 说 明 存 在 实 数 k ， 当 t k 时 ， ( )g x 在 闭 区 间 a b， 上 是 减 函 数 ；（ II

7、I） 证 明 ： 3( ) 2f x 31 已 知 函 数 3 2 2( ) 9 cos 48 cos 18sinf x x x x ， ( ) ( )g x f x ， 且 对 任 意 的实 数 t均 有 (1 cos ) 0g t ， (3 sin ) 0g t （ I） 求 函 数 ( )f x 的 解 析 式 ； （ II） 若 对 任 意 的 26 6m ， ， 恒 有 2( ) 11f x x mx ， 求 x的 取 值 范 围 32 设 函 数 ( ) e ex xf x （ ） 证 明 ： ( )f x 的 导 数 ( ) 2f x ； （ ） 若 对 所 有 0 x 都 有

8、( )f x ax ， 求 a的 取 值 范 围 解 ： （ ） ( )f x 的 导 数 ( ) e ex xf x 由 于 e e 2 e e 2x -x x x ， 故 ( ) 2f x （ 当 且 仅 当 0 x 时 ， 等 号 成 立 ） （ ） 令 ( ) ( )g x f x ax ， 则( ) ( ) e ex xg x f x a a ，（ ） 若 2a ， 当 0 x 时 ， ( ) e e 2 0 x xg x a a ， 故 ( )g x 在 (0 )， 上 为 增 函 数 ，所 以 ， 0 x 时 ， ( ) (0)g x g ， 即 ( )f x ax （ ） 若

9、2a ， 方 程 ( ) 0g x 的 正 根 为 21 4ln 2a ax ，此 时 ， 若 1(0 )x x ， ， 则 ( ) 0g x ， 故 ( )g x 在 该 区 间 为 减 函 数 所 以 ， 1(0 )x x ， 时 ， ( ) (0) 0g x g ， 即 ( )f x ax ， 与 题 设 ( )f x ax 相 矛 盾 综 上 ， 满 足 条 件 的 a的 取 值 范 围 是 2 ， 33 设 函 数 3 2( ) 2 3 3 8f x x ax bx c 在 1x 及 2x 时 取 得 极 值 （ ） 求 a、 b 的 值 ；（ ） 若 对 于 任 意 的 0 3x

10、， ， 都 有 2( )f x c 成 立 ， 求 c的 取 值 范 围 解 ： （ ） 2( ) 6 6 3f x x ax b ，因 为 函 数 ( )f x 在 1x 及 2x 取 得 极 值 ， 则 有 (1) 0f ， (2) 0f 即 6 6 3 024 12 3 0a ba b ， 解 得 3a ， 4b （ ） 由 （ ） 可 知 ， 3 2( ) 2 9 12 8f x x x x c ，2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x 当 (01)x ， 时 ， ( ) 0f x ；当 (1 2)x ， 时 ， ( ) 0f x ；当 (2 3)x ， 时

11、 ， ( ) 0f x 所 以 ， 当 1x 时 ， ( )f x 取 得 极 大 值 (1) 5 8f c ， 又 (0) 8f c ， (3) 9 8f c 则 当 0 3x ， 时 ， ( )f x 的 最 大 值 为 (3) 9 8f c 因 为 对 于 任 意 的 0 3x ， ， 有 2( )f x c 恒 成 立 ， 所 以 29 8c c ，解 得 1c 或 9c ，因 此 c的 取 值 范 围 为 ( 1) (9 ) ， ， 34 已 知 函 数 3( )f x x x （ 1） 求 曲 线 ( )y f x 在 点 ( ( )M t f t， 处 的 切 线 方 程 ；（

12、2） 设 0a ， 如 果 过 点 ( )a b， 可 作 曲 线 ( )y f x 的 三 条 切 线 ， 证 明 ： ( )a b f a 解 ： （ 1） 求 函 数 ( )f x 的 导 数 ； 2( ) 3 1x xf 曲 线 ( )y f x 在 点 ( ( )M t f t， 处 的 切 线 方 程 为 ：( ) ( )( )y f t f t x t ，即 2 3(3 1) 2y t x t （ 2） 如 果 有 一 条 切 线 过 点 ( )a b， ， 则 存 在 t， 使2 3(3 1) 2b t a t 于 是 ， 若 过 点 ( )a b， 可 作 曲 线 ( )y

13、f x 的 三 条 切 线 ， 则 方 程3 22 3 0t at a b 有 三 个 相 异 的 实 数 根 记 3 2( ) 2 3g t t at a b ，则 2( ) 6 6g t t at 6 ( )t t a 当 t变 化 时 ， ( ) ( )g t g t， 变 化 情 况 如 下 表 ：t ( 0)， 0 (0 )a， a ( )a ，( )g t 0 0 ( )g t 极 大 值 a b 极 小 值 ( )b f a 由 ( )g t 的 单 调 性 ， 当 极 大 值 0a b 或 极 小 值 ( ) 0b f a 时 ， 方 程 ( ) 0g t 最 多 有一 个 实

14、 数 根 ； 当 0a b 时 ， 解 方 程 ( ) 0g t 得 30 2at t ， ， 即 方 程 ( ) 0g t 只 有 两 个 相 异 的 实数 根 ；当 ( ) 0b f a 时 ， 解 方 程 ( ) 0g t 得 2at t a ， ， 即 方 程 ( ) 0g t 只 有 两 个 相 异的 实 数 根 综 上 ， 如 果 过 ( )a b， 可 作 曲 线 ( )y f x 三 条 切 线 ， 即 ( ) 0g t 有 三 个 相 异 的 实 数 根 ，则 0( ) 0.a bb f a ，即 ( )a b f a 35 已 知 函 数 3 21( ) (2 ) 13f

15、x ax bx b x 在 1x x 处 取 得 极 大 值 ， 在 2x x 处 取 得 极 小 值 ， 且 1 20 1 2x x （ 1） 证 明 0a ；（ 2） 若 z=a+2b,求 z的 取 值 范 围 。解 ： 求 函 数 ( )f x 的 导 数 2( ) 2 2f x ax bx b （ ） 由 函 数 ( )f x 在 1x x 处 取 得 极 大 值 ， 在 2x x 处 取 得 极 小 值 ， 知 1 2x x， 是 ( ) 0f x 的 两 个 根 所 以 1 2( ) ( )( )f x a x x x x 当 1x x 时 ， ( )f x 为 增 函 数 ， (

16、 ) 0f x ， 由 1 0 x x ， 2 0 x x 得 0a （ ） 在 题 设 下 ， 1 20 1 2x x 等 价 于 (0) 0(1) 0(2) 0fff 即 2 02 2 04 4 2 0ba b ba b b 化 简 得 2 03 2 04 5 2 0ba ba b 此 不 等 式 组 表 示 的 区 域 为 平 面 aOb上 三 条 直 线 ： 2 0 3 2 0 4 5 2 0b a b a b ， ， 所 围 成 的 ABC 的 内 部 ， 其 三 个 顶 点 分 别 为 ： 4 6 (2 2) (4 2)7 7A B C ， ， ， ， ， z在 这 三 点 的 值

17、 依 次 为 16 6 87 ， ， 所 以 z的 取 值 范 围 为 16 87 ， 36 设 函 数 2( ) ln( 1)f x x b x ， 其 中 0b （ ） 当 12b 时 ， 判 断 函 数 ( )f x 在 定 义 域 上 的 单 调 性 ；（ ） 求 函 数 ( )f x 的 极 值 点 ；（ ） 证 明 对 任 意 的 正 整 数 n， 不 等 式 2 31 1 1ln 1n n n 都 成 立 解 ： （ ） 由 题 意 知 ， ( )f x 的 定 义 域 为 ( 1 ) ， ， 32 2( ) 2 1 1b x x bf x x x x 设 2( ) 2 2g x

18、 x x b ， 其 图 象 的 对 称 轴 为 1 ( 1 )2x ， ，max 1 1( ) 2 2g x g b 当 12b 时 ， max 1( ) 02g x b ，即 2( ) 2 3 0g x x x b 在 ( 1 ) ， 上 恒 成 立 ，当 ( 1 )x ， 时 ， ( ) 0f x ， 当 12b 时 ， 函 数 ( )f x 在 定 义 域 ( 1 ) ， 上 单 调 递 增 b a21 2 4O 4 67 7A ， (4 2)C ，(2 2)B ， （ ） 由 （ ） 得 ， 当 12b 时 ， 函 数 ( )f x 无 极 值 点 12b 时 ， 312 2( )

19、01xf x x 有 两 个 相 同 的 解 12x ，11 2x ， 时 ， ( ) 0f x ，12x ， 时 ， ( ) 0f x ，12b 时 ， 函 数 ( )f x 在 ( 1 ) ， 上 无 极 值 点 当 12b 时 ， ( ) 0f x 有 两 个 不 同 解 ， 1 1 1 22 bx ， 2 1 1 22 bx ，0b 时 ， 1 1 1 2 12 bx ， 2 1 1 2 02 bx ，即 1 ( 1 )x ， ， 2 1x ， 0b 时 ， ( )f x ， ( )f x 随 x的 变 化 情 况 如 下 表 ：x 1( 1 )x ， 1x 2( )x ，( )f x

20、 0 ( )f x 极 小 值 由 此 表 可 知 ： 0b 时 ， ( )f x 有 惟 一 极 小 值 点 1 1 1 22 bx ，当 10 2b 时 ， 1 1 1 2 12 bx ，1 2 ( 1 )x x ， ，此 时 ， ( )f x ， ( )f x 随 x的 变 化 情 况 如 下 表 ：x 1( 1 )x ， 1x 1 2( )x x， 1x 1( )x ，( )f x 0 0 ( )f x 极 大 值 极 小值 由 此 表 可 知 ： 10 2b 时 ， ( )f x 有 一 个 极 大 值 1 1 1 22 bx 和 一 个 极 小 值 点2 1 1 22 bx ；综

21、上 所 述 ：0b 时 ， ( )f x 有 惟 一 最 小 值 点 1 1 22 bx ；10 2b 时 ， ( )f x 有 一 个 极 大 值 点 1 1 22 bx 和 一 个 极 小 值 点 1 1 2bx x ；12b 时 ， ( )f x 无 极 值 点 （ ） 当 1b 时 ， 函 数 2( ) ln( 1)f x x x ，令 函 数 2 2 2( ) ( ) ln( 1)h x x f x x x x ，则 2 22 1 3 ( 1)( ) 3 2 1 1x xh x x x x x 当 0 x ， 时 ， ( ) 0f x ， 所 以 函 数 ( )h x 在 0 ， 上

22、 单 调 递 增 ， 又 (0) 0h (0 )x ， 时 ， 恒 有 ( ) (0) 0h x h ， 即 2 3 ln( 1)x x x 恒 成 立 故 当 (0 )x ， 时 ， 有 2 3ln( 1)x x x 对 任 意 正 整 数 n取 1 (0 )x n ， ， 则 有 2 31 1 1ln 1n n n 所 以 结 论 成 立 37 设 函 数 2( ) lnf x ax b x ， 其 中 0ab 证 明 ： 当 0ab 时 ， 函 数 ( )f x 没 有 极 值 点 ； 当 0ab 时 ， 函 数 ( )f x 有 且 只 有 一 个 极值 点 ， 并 求 出 极 值 证

23、 明 ： 因 为 2( ) ln 0f x ax b x ab ， ， 所 以 ( )f x 的 定 义 域 为 (0 )， ( )f x 222 b ax bax x x 当 0ab 时 ， 如 果 0 0 ( ) 0 ( )a b f x f x ， ， ， 在 (0 )， 上 单 调 递 增 ；如 果 0 0 ( ) 0 ( )a b f x f x ， ， ， 在 (0 )， 上 单 调 递 减 所 以 当 0ab ， 函 数 ( )f x 没 有 极 值 点 当 0ab 时 ，2 2 2( ) b ba x xa af x x 令 ( ) 0f x ，将 1 (0 )2bx a ，

24、（ 舍 去 ） ， 2 (0 )2bx a ， ，当 0 0a b ， 时 ， ( ) ( )f x f x ， 随 x的 变 化 情 况 如 下 表 ：x 0 2ba ， 2ba 2ba ，( )f x 0 ( )f x 极 小 值 从 上 表 可 看 出 ，函 数 ( )f x 有 且 只 有 一 个 极 小 值 点 ， 极 小 值 为 1 ln2 2 2b b bf a a 当 0 0a b ， 时 ， ( ) ( )f x f x ， 随 x的 变 化 情 况 如 下 表 ：x 0 2ba ， 2ba 2ba ，( )f x 0 ( )f x 极 大 值 从 上 表 可 看 出 ，函

25、数 ( )f x 有 且 只 有 一 个 极 大 值 点 ， 极 大 值 为 1 ln2 2 2b b bf a a 综 上 所 述 ，当 0ab 时 ， 函 数 ( )f x 没 有 极 值 点 ；当 0ab 时 ，若 0 0a b ， 时 ， 函 数 ( )f x 有 且 只 有 一 个 极 小 值 点 ， 极 小 值 为 1 ln2 2b ba 若 0 0a b ， 时 ， 函 数 ( )f x 有 且 只 有 一 个 极 大 值 点 ， 极 大 值 为 1 ln2 2b ba 38 设 函 数 f(x)= ,2 2 aaxx c 其 中 a为 实 数 .( )若 f(x)的 定 义 域

26、 为 R,求 a的 取 值 范 围 ;( )当 f(x)的 定 义 域 为 R 时 ， 求 f(x)的 单 减 区 间 .解 ： （ ） ( )f x 的 定 义 域 为 R ， 2 0 x ax a 恒 成 立 ， 2 4 0a a ，0 4a ， 即 当 0 4a 时 ( )f x 的 定 义 域 为 R （ ） 2 2( 2)e( ) ( )xx x af x x ax a ， 令 ( ) 0f x ， 得 ( 2) 0 x x a 由 ( ) 0f x ， 得 0 x 或 2x a ， 又 0 4a ，0 2a 时 ， 由 ( ) 0f x 得 0 2x a ；当 2a 时 ， ( )

27、 0f x ； 当 2 4a 时 ， 由 ( ) 0f x 得 2 0a x ，即 当 0 2a 时 ， ( )f x 的 单 调 减 区 间 为 (0 2 )a， ；当 2 4a 时 ， ( )f x 的 单 调 减 区 间 为 (2 0)a ， 39 已 知 cxbxaxxf 23)( 在 区 间 0,1上 是 增 函 数 ,在 区 间 ),1(),0,( 上 是 减 函 数 ,又 .23)21( f( )求 )(xf 的 解 析 式 ; ( )若 在 区 间 ,0 m (m 0)上 恒 有 )(xf x 成 立 ,求 m 的 取 值 范 围 .解 ： （ ） 2( ) 3 2f x ax

28、 bx c ， 由 已 知 (0) (1) 0f f ，即 03 2 0ca b c ， ， 解 得 0 32cb a ， 2( ) 3 3f x ax ax ， 1 3 3 32 4 2 2a af ， 2a ， 3 2( ) 2 3f x x x （ ） 令 ( )f x x ， 即 3 22 3 0 x x x ，(2 1)( 1) 0 x x x ， 10 2x 或 1x 又 ( )f x x 在 区 间 0 m， 上 恒 成 立 ， 10 2m 已 知 函 数 0()( 2 xxaxxf ， 常 数 )aR （ 1） 讨 论 函 数 )(xf 的 奇 偶 性 ， 并 说 明 理 由

29、；（ 2） 若 函 数 )(xf 在 2 )x ， 上 为 增 函 数 ， 求 a的 取 值 范 围 解 ： （ 1） 当 0a 时 ， 2)( xxf ，对 任 意 ( 0) (0 )x ， ， ， )()()( 22 xfxxxf ， )(xf 为 偶 函 数 当 0a 时 ， 2( ) ( 0 0)af x x a xx ， ，取 1x ， 得 ( 1) (1) 2 0 ( 1) (1) 2 0f f f f a ， ，( 1) (1) ( 1) (1)f f f f ， ， 函 数 )(xf 既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 （ 2） 解 法 一 ： 设 1 22 x

30、 x ， 22212121 )()( xaxxaxxfxf axxxxxx xx )()( 212121 21 ，要 使 函 数 )(xf 在 2 )x ， 上 为 增 函 数 ， 必 须 0)()( 21 xfxf 恒 成 立 1 2 1 20 4x x x x ， ， 即 )( 2121 xxxxa 恒 成 立 又 421 xx ， 16)( 2121 xxxx a 的 取 值 范 围 是 ( 16， 解 法 二 ： 当 0a 时 ， 2)( xxf ， 显 然 在 2 )， 为 增 函 数 当 0a 时 ， 反 比 例 函 数 xa 在 2 )， 为 增 函 数 ，xaxxf 2)( 在

31、 2 )， 为 增 函 数 当 0a 时 ， 同 解 法 一 40 已 知 函 数 0()( 2 xxaxxf ， 常 数 )aR （ 1） 当 2a 时 ， 解 不 等 式 12)1()( xxfxf ； （ 2） 讨 论 函 数 )(xf 的 奇 偶 性 ， 并 说 明 理 由 解 ： （ 1） 1212)1(2 22 xxxxx ，0122 xx ，0)1( xx 原 不 等 式 的 解 为 10 x （ 2） 当 0a 时 ， 2)( xxf ，对 任 意 ( 0) (0 )x ， ， ， )()()( 22 xfxxxf ，)(xf 为 偶 函 数 当 0a 时 ， 2( ) ( 0

32、 0)af x x a xx ， ，取 1x ， 得 ( 1) (1) 2 0 ( 1) (1) 2 0f f f f a ， ，( 1) (1) ( 1) (1)f f f f ， ， 函 数 )(xf 既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 41 设 函 数 ),1,(11)( NxnNnnxf n 且 . ( )当 x=6时 ,求 nn 11 的 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 的 项 ;( )对 任 意 的 实 数 x,证 明 2 )2()2( fxf );)()()( 的 导 函 数是 xfxfxf ( )是 否 存 在 Na ,使 得 an nk k1 11

33、 na )1( 恒 成 立 ?若 存 在 ,试 证 明 你 的 结 论 并求 出 a的 值 ;若 不 存 在 ,请 说 明 理 由 .本 题 考 察 函 数 、 不 等 式 、 导 数 、 二 项 式 定 理 、 组 合 数 计 算 公 式 等 内 容 和 数 学 思 想 方 法 。 考 查综 合 推 理 论 证 与 分 析 解 决 问 题 的 能 力 及 创 新 意 识 。（ ） 解 ： 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 的 项 是 第 4项 ， 这 项 是 33 56 31 201C n n （ ） 证 法 一 ： 因 2 21 12 2 1 1nf x f n n 2 21 1

34、2 1 1nn n 1 12 1 1nn n 12 1 nn 1 12 1 ln 1 2 nn 1 12 1 ln 1 2n f xn n 证 法 二 ： 因 2 21 12 2 1 1nf x f n n 2 21 12 1 1nn n 1 12 1 1nn n 而 1 12 2 1 ln 1nf x n n 故 只 需 对 11 n 和 1ln 1 n 进 行 比 较 。 令 ln 1g x x x x ， 有 1 11 xg x x x 由 1 0 xx ， 得 1x 因 为 当 0 1x 时 ， 0g x ， g x 单 调 递 减 ； 当 1 x 时 ， 0g x ， g x 单调

35、递 增 ， 所 以 在 1x 处 g x 有 极 小 值 1故 当 1x 时 ， 1 1g x g ，从 而 有 ln 1x x ， 亦 即 ln 1 lnx x x 故 有 1 11 ln 1n n 恒 成 立 。 所 以 2 2 2f x f f x ， 原 不 等 式 成 立 。（ ） 对 m N ， 且 1m有 20 1 21 1 1 1 11 m k mk mm m m m mC C C C Cm m m m m 21 1 1 1 2 11 1 11 1 2! ! !k mm m m m m k m mm k m m m 1 1 1 1 2 1 1 1 12 1 1 1 1 1 12

36、! ! !k mm k m m m m m m 1 1 1 12 2! 3! ! !k m 1 1 1 12 2 1 3 2 1 1k k m m 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 3 1 1k k m m 13 3m 又 因 1 0 2,3,4, ,kkmC k mm ， 故 12 1 3mm 12 1 3mm ， 从 而 有 1 12 1 3knkn nk 成 立 ，即 存 在 2a ， 使 得 1 12 1 3knkn nk 恒 成 立 。42 设 函 数 3( )f x ax bx c ( 0)a 为 奇 函 数 ， 其 图 象 在 点 (1, (1)f 处 的 切 线 与 直

37、 线6 7 0 x y 垂 直 ， 导 函 数 ( )f x 的 最 小 值 为 12 （ ） 求 a， b ， c的 值 ；（ ） 求 函 数 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 ， 并 求 函 数 ( )f x 在 1,3 上 的 最 大 值 和 最 小 值 解 析 ： 本 题 考 查 函 数 的 奇 偶 性 、 单 调 性 、 二 次 函 数 的 最 值 、 导 数 的 应 用 等 基 础 知 识 ， 以 及 推理 能 力 和 运 算 能 力 （ ） ( )f x 为 奇 函 数 ， ( ) ( )f x f x 即 3 3ax bx c ax bx c 0c 2( ) 3f x

38、ax b 的 最 小 值 为 12 12b 又 直 线 6 7 0 x y 的 斜 率 为 16 因 此 ， (1) 3 6f a b 2a ， 12b ， 0c （ ） 3( ) 2 12f x x x 2( ) 6 12 6( 2)( 2)f x x x x ， 列 表 如 下 ：x ( , 2) 2 ( 2, 2) 2 ( 2, )( )f x 0 0 ( )f x 极 大 极 小 所 以 函 数 ( )f x 的 单 调 增 区 间 是 ( , 2) 和 ( 2, ) ( 1) 10f ， ( 2) 8 2f ， (3) 18f ( )f x 在 1,3 上 的 最 大 值 是 (3)

39、 18f ， 最 小 值 是 ( 2) 8 2f （ 天 津 理 20）已 知 函 数 222 1( ) ( )1ax af x xx R ， 其 中 aR （ ） 当 1a 时 ， 求 曲 线 ( )y f x 在 点 (2 (2)f， 处 的 切 线 方 程 ； （ ） 当 0a 时 ， 求 函 数 ( )f x 的 单 调 区 间 与 极 值 本 小 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 两 个 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 的 导 数 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 和 极 值 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 能 力 及 分 类 讨 论 的

40、思 想 方 法 满 分 12 分 （ ） 解 ： 当 1a 时 ， 22( ) 1xf x x ， 4(2) 5f ，又 2 22 2 2 22( 1) 2 2 2 2( ) ( 1) ( 1)x x x xf x x x ， 6(2) 25f 所 以 ， 曲 线 ( )y f x 在 点 (2 (2)f， 处 的 切 线 方 程 为 4 6 ( 2)5 25y x ，即 6 2 32 0 x y （ ） 解 ： 2 22 2 2 22 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)( ) ( 1) ( 1)a x x ax a x a axf x x x 由 于 0a ， 以 下 分 两 种 情

41、 况 讨 论 （ 1） 当 0a 时 ， 令 ( ) 0f x ， 得 到 1 1x a ， 2x a 当 x变 化 时 ， ( ) ( )f x f x ， 的 变化 情 况 如 下 表 ： x 1a ， 1a 1 aa ， a ( )a ， ( )f x 0 0 ( )f x 极 小 值 极 大 值 所 以 ( )f x 在 区 间 1a ， ， ( )a ， 内 为 减 函 数 ， 在 区 间 1 aa ， 内 为 增 函 数 函 数 ( )f x 在 1 1x a 处 取 得 极 小 值 1f a ， 且 21f aa ，函 数 ( )f x 在 2 1x a 处 取 得 极 大 值

42、( )f a ， 且 ( ) 1f a （ 2） 当 0a 时 ， 令 ( ) 0f x ， 得 到 1 2 1x a x a ， ， 当 x变 化 时 ， ( ) ( )f x f x ， 的 变 化情 况 如 下 表 ： x a ， a 1a a ， 1a 1a ， +( )f x 0 0 ( )f x 极 大 值 极 小 值 所 以 ( )f x 在 区 间 ( )a ， ， 1a ， + 内 为 增 函 数 ， 在 区 间 1a a ， 内 为 减 函 数 函 数 ( )f x 在 1x a 处 取 得 极 大 值 ( )f a ， 且 ( ) 1f a 函 数 ( )f x 在 2

43、1x a 处 取 得 极 小 值 1f a ， 且 21f aa 设 函 数 2( ) ( )f x x x a （ xR ） ， 其 中 aR （ ） 当 1a 时 ， 求 曲 线 ( )y f x 在 点 (2 (2)f， 处 的 切 线 方 程 ；（ ） 当 0a 时 ， 求 函 数 ( )f x 的 极 大 值 和 极 小 值 ； （ ） 当 3a 时 ， 证 明 存 在 1 0k ， ， 使 得 不 等 式 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x 对 任 意的 xR 恒 成 立 本 小 题 主 要 考 查 运 用 导 数 研 究 函 数 的 性 质 、 曲 线 的

44、 切 线 方 程 ， 函 数 的 极 值 、 解 不 等 式 等 基 础知 识 ， 考 查 综 合 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 及 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 满 分 14分 （ ） 解 ： 当 1a 时 ， 2 3 2( ) ( 1) 2f x x x x x x ， 得 (2) 2f ， 且2( ) 3 4 1f x x x ， (2) 5f 所 以 ， 曲 线 2( 1)y x x 在 点 (2 2)， 处 的 切 线 方 程 是 2 5( 2)y x ， 整 理 得5 8 0 x y （ ） 解 ： 2 3 2 2( ) ( ) 2f x x x a x ax a

45、x 2 2( ) 3 4 (3 )( )f x x ax a x a x a 令 ( ) 0f x ， 解 得 3ax 或 x a 由 于 0a ， 以 下 分 两 种 情 况 讨 论 （ 1） 若 0a ， 当 x变 化 时 ， ( )f x 的 正 负 如 下 表 ：x 3a ， 3a 3a a ， a ( )a ， ( )f x 0 0 因 此 ， 函 数 ( )f x 在 3ax 处 取 得 极 小 值 3af ， 且343 27af a ；函 数 ( )f x 在 x a 处 取 得 极 大 值 ( )f a ， 且( ) 0f a （ 2） 若 0a ， 当 x变 化 时 ， (

46、)f x 的 正 负 如 下 表 ：x a ， a 3aa ， 3a 3a ， ( )f x 0 0 因 此 ， 函 数 ( )f x 在 x a 处 取 得 极 小 值 ( )f a ， 且( ) 0f a ；函 数 ( )f x 在 3ax 处 取 得 极 大 值 3af ， 且343 27af a （ ） 证 明 ： 由 3a ， 得 13a ， 当 1 0k ， 时 ，cos 1k x ， 2 2cos 1k x 由 （ ） 知 ， ( )f x 在 1 ， 上 是 减 函 数 ， 要 使 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x ， xR只 要 2 2cos cos

47、 ( )k x k x x R即 2 2cos cos ( )x x k k x R 设 22 1 1( ) cos cos cos 2 4g x x x x ， 则 函 数 ( )g x 在 R上 的 最 大 值 为 2 要 使 式 恒 成 立 ， 必 须 2 2k k ， 即 2k 或 1k 所 以 ， 在 区 间 1 0 ， 上 存 在 1k ， 使 得 2 2( cos ) ( cos )f k x f k x 对 任 意 的 xR 恒成 立 设 3( ) 3xf x ， 对 任 意 实 数 t， 记 23 2( ) 3tg x t x t （ I） 求 函 数 ( ) ( )ty f

48、 x g x 的 单 调 区 间 ；（ II） 求 证 ： （ ） 当 0 x 时 ， ( )f x g ( ) ( )tf x g x 对 任 意 正 实 数 t成 立 ；（ ） 有 且 仅 有 一 个 正 实 数 0 x ， 使 得 0 0( ) ( )x tg x g x 对 任 意 正 实 数 t成 立 本 题 主 要 考 查 函 数 的 基 本 性 质 ， 导 数 的 应 用 及 不 等 式 的 证 明 等 基 础 知 识 ， 以 及 综 合 运 用 所 学知 识 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 满 分 15 分 （ I） 解 ： 3 1643 3xy x 由 2 4 0y

49、x ， 得2x 因 为 当 ( 2)x ， 时 ， y0，当 ( 2 2)x ， 时 ， 0y ， 当 (2 )x ， 时 ， 0y ，故 所 求 函 数 的 单 调 递 增 区 间 是 ( 2) ， ， (2 )， ，单 调 递 减 区 间 是 ( 2 2) ， （ II） 证 明 ： （ i） 方 法 一 ：令 23 3 2( ) ( ) ( ) ( 0)3 3t xh x f x g x t x t x ， 则22 3( )h x x t ， 当 0t 时 ， 由 ( ) 0h x ， 得 13x t ，当 13( )x x ， 时 ， ( ) 0h x ，所 以 ( )h x 在 (0

50、 )， 内 的 最 小 值 是 13( ) 0h t 故 当 0 x 时 ， ( ) ( )tf x g x 对 任 意 正 实 数 t成 立 方 法 二 ：对 任 意 固 定 的 0 x ， 令 23 2( ) ( ) ( 0)3th t g x t x t t ， 则1 13 32( ) ( )3h t t x t ，由 ( ) 0h t ， 得 3t x 当 30 t x 时 ， ( ) 0h t 当 3t x 时 ， ( ) 0h t ，所 以 当 3t x 时 ， ( )h t 取 得 最 大 值 3 31( ) 3h x x 因 此 当 0 x 时 ， ( ) ( )f x g x

51、 对 任 意 正 实 数 t成 立 （ ii） 方 法 一 ：8(2) (2)3 tf g 由 （ i） 得 ， (2) (2)t tg g 对 任 意 正 实 数 t成 立 即 存 在 正 实 数 0 2x ， 使 得 (2) (2)x tg g 对 任 意 正 实 数 t成 立 下 面 证 明 0 x 的 唯 一 性 ：当 0 2x ， 0 0 x ， 8t 时 ，300( ) 3xf x ， 0 0 16( ) 4 3xg x x ，由 （ i） 得 ， 30 0 1643 3x x ，再 取 30t x ， 得 30 300( ) 3x xg x ，所 以 30300 0 016( )

52、 4 ( )3 3x xxg x x g x ，即 0 2x 时 ， 不 满 足 0 0( ) ( )x tg x g x 对 任 意 0t 都 成 立 故 有 且 仅 有 一 个 正 实 数 0 2x ，使 得 0 0( )0 ( )x tg x g x 对 任 意 正 实 数 t成 立 方 法 二 ： 对 任 意 0 0 x ， 0 0 16( ) 4 3xg x x ，因 为 0( )tg x 关 于 t的 最 大 值 是 3013 x ， 所 以 要 使 0 0( ) ( )x tg x g x 对 任 意 正 实 数 成 立 的 充 分 必要 条 件 是 ： 30 016 14 3

53、3x x ，即 20 0( 2) ( 4) 0 x x ， 又 因 为 0 0 x ， 不 等 式 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 0 2x ，所 以 有 且 仅 有 一 个 正 实 数 0 2x ，使 得 0 0( ) ( )x tg x g x 对 任 意 正 实 数 t成 立 已 知 函 数 cbxxaxxf 44 ln)( (x0)在 x = 1 处 取 得 极 值 -3-c， 其 中 a,b,c 为 常 数 。（ 1） 试 确 定 a,b的 值 ；（ 2） 讨 论 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；（ 3） 若 对 任 意 x0， 不 等 式 22)( cxf 恒 成 立

54、 ， 求 c的 取 值 范 围 。 解 ： （ I） 由 题 意 知 (1) 3f c ， 因 此 3b c c ， 从 而 3b 又 对 ( )f x 求 导 得3 4 31( ) 4 ln 4f x ax x ax bxx 3(4 ln 4 )x a x a b 由 题 意 (1) 0f ， 因 此 4 0a b ， 解 得 12a （ II） 由 （ I） 知 3( ) 48 lnf x x x （ 0 x ） ， 令 ( ) 0f x ， 解 得 1x 当 0 1x 时 ， ( ) 0f x ， 此 时 ( )f x 为 减 函 数 ； 当 1x 时 ， ( ) 0f x ， 此 时

55、( )f x 为 增 函 数 因 此 ( )f x 的 单 调 递 减 区 间 为 (01)， ， 而 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 为 (1 )， （ III） 由 （ II） 知 ， ( )f x 在 1x 处 取 得 极 小 值 (1) 3f c ， 此 极 小 值 也 是 最 小 值 ， 要使 2( ) 2f x c （ 0 x ） 恒 成 立 ， 只 需 23 2c c 即 22 3 0c c ， 从 而 (2 3)( 1) 0c c ，解 得 32c 或 1c 所 以 c的 取 值 范 围 为 3( 1 2 ， ， 用 长 为 18 cm 的 钢 条 围 成 一 个 长

56、 方 体 形 状 的 框 架 ， 要 求 长 方 体 的 长 与 宽 之 比 为 2： 1， 问 该 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 各 为 多 少 时 ， 其 体 积 最 大 ？ 最 大 体 积 是 多 少 ？（ 20） （ 本 小 题 12 分 ）解 ： 设 长 方 体 的 宽 为 x（ m） ， 则 长 为 2x(m)， 高 为 230(m)35.441218 xxxh .故 长 方 体 的 体 积 为 ).230()(m69)35.4(2)( 3322 xxxxxxV 从 而 ).1(18)35.4(1818)( 2 xxxxxxV 令 V （ x） 0， 解 得 x=0（ 舍 去 ） 或 x=1， 因 此 x=1. 当 0 x 1时 ， V （ x） 0； 当 1 x 32 时 ， V （ x） 0，故 在 x=1 处 V（ x） 取 得 极 大 值 ， 并 且 这 个 极 大 值 就 是 V（ x） 的 最 大 值 。从 而 最 大 体 积 V V （ x） 9 12-6 13（ m3） ， 此 时 长 方 体 的 长 为 2 m， 高 为 1.5 m.答 ： 当 长 方 体 的 长 为 2 m时 ， 宽 为 1 m， 高 为 1.5 m时 ， 体 积 最 大 ， 最 大 体 积 为 3 m3。